2 đạo Hàm, Vi Phân Và ứng Dụng - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (25 trang)

Trang chủ

Giáo án - Bài giảng

Toán học

2 đạo hàm, vi phân và ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (266.13 KB, 25 trang )

Đạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’HospitalĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụng(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)ThS. Trần Bảo NgọcBộ môn Toán, Khoa Khoa học, Đại học Nông Lâm TP HCMEmail: ThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital1.1. Đạo hàmCác định nghĩa đạo hàm, bảng công thức đạo hàm của các hàmsơ cấp cơ bản và cũng như đạo hàm hàm hợp có thể xem tronggiáo trình (đã học ở cấp THPT). Ở đây ta nhắc lại :Đạo hàm của các hàm số lượng giác ngược1,1 − x21(arctan x) =,1 + x2(arcsin x) = √−11 − x2−1(arccot x) =1 + x2(arccos x) = √Ví dụ 1.1. Tính đạo hàm của hàm sốa) y = arcsin 3xb) y = arccosThS. Trần Bảo Ngọc1 − x2c) y = arctan (cos 2x)Đạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital1.1. Đạo hàma) y = (arcsin 3x) =(3x)1−(3x)2√b) y = arccos 1 − x 2=c) y = arctan (cos 2x)==√3.1 − 9x 2√−( 1 − x 2 )x= √.√|x| 1 − x 21 − ( 1 − x 2 )2(cos 2x)−2 sin 2x=.21 + cos 2x1 + cos2 2xVí dụ 1.2. Tính đạo hàm của hàm số2a) y = xxexb) y =cos xc) y =31 − sin x1 + sin xy= (x ln x) = (1 + ln x)y=⇒ y = y (1 + ln x) = x x (1 + ln x).a) Ta có ln y = x ln x suy raThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital1.1. Đạo hàm22b) Ta có y . cos x = e x =⇒ y . cos x − y sin x = 2xe x . Suy ra22x222e2xe x + cos2xe x + y sin x2xe x cos x + e x sin xx sin x==y =cos xcos xcos2 xc) Lấy mũ 3 hai vế, ta được y 3 =3y 2 y =1 − sin xhay1 + sin x− cos x(1 + sin x) − cos x(1 − sin x)−2 cos x=2(1 + sin x)(1 + sin x)2−2 cos x−2 cos x=suy ra y = 23y (1 + sin x)23(1 + sin x)2ThS. Trần Bảo Ngọc31 + sin x1 − sin xĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụng2.Đạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital1.1. Đạo hàmarcsin x. Chọn đáp án đúng.Ví dụ 1.3. Cho hàm số y = √1 − x21B. (1 − x 2 )y − xy = 1A. y =1 − x2√1 − x 2 − x arcsin x√D. (1 − x 2 )y + xy = 1C. y =(1 − x 2 ) 1 − x 2Ta có y1 − x 2 = arcsin x ⇒ y1 − x2 + y √−x1=√21−x1 − x2Suy ra (1 − x 2 )y − xy = 1 −→ Chọn đáp án B.√1 − x 2 + x arcsin x√.Lưu ý : Tính toán đạo hàm ta được y =(1 − x 2 ) 1 − x 2ThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital1.2. Đạo hàm cấp caoĐạo hàm cấp cao và công thức Leibniz1Đạo hàm cấp 0 : y (0) = y2Đạo hàm cấp n ≥ 1 : y (n) = y (n−1)3Công thức Leibniz (đạo hàm ncấp cao của tích 2 hàm số)(f .g )(n) =Cnk f (k) g (n−k) .k=0Đạo hàm cấp cao hàm lượng giácnπ(sin ax)(n) = an sin ax +2nπ(n)n(cos ax) = a cos ax +2ThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital1.2. Đạo hàm cấp caoĐạo hàm cấp cao hàm lũy thừa và mũ(e ax )(n) = an e ax1ax + b(n)=(n)[ln (ax + b)]và(xe x )(n) = (n + x)e x .(−a)n n!.(ax + b)n+1=aax + b(n−1)=a1ax + b(n−1)Ví dụ 1.4. Tính đạo hàmx21−xc) cấp 5 của y = ln(1 − 2x)a) cấp 7 của y =a) Ta có y = −b) cấp 10 của y = cos2 xd) cấp 5 của y = x 2 e 2x1 − x211+= −1 − x +1−x1−x1−xThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụng.Đạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital1.2. Đạo hàm cấp cao7− (−1) .7!(7)=⇒ y (7) =11−xb) Ta có y =1 1+ cos 2x2 2=⇒ y (10) ==(1 −=x)87!.(1 − x)8110π1(cos 2x)(10) = .210 . cos 2x +222= 29 . cos (2x + 5π) = −512 cos 2x.Lưu ý ta sử dụng công thức : sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin bcos(a + b) = cos a cos b − sin a sin bc) y =−2⇒y (5) =−21 − 2x11 − 2xThS. Trần Bảo Ngọc(4)= −224 .4!−768=5(1 − 2x)(1 − 2x)5Đạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital1.2. Đạo hàm cấp caod) y (5) = C50 (x 2 )(0) (e 2x )(5) + C51 (x 2 ) (e 2x )(4) + C52 (x 2 ) (e 2x )= x 2 .25 e 2x + 5.2x.24 e 2x + 10.2.23 e 2x= 32x 2 + 160x + 160 e 2xVí dụ 1.5. Cho hàm số y = x cos2 x. Chọn đáp án đúng.A. xy − y − x 2 sin 2x = 0B. xy + y − x 2 sin 2x = 0C. Đạo hàm y (10) = −29 x cos 2x + 5 sin 2xD. Đạo hàm y (10) = −29 x cos 2x − 5 sin 2x11Ta có y = x + x cos 2x22101⇒ y (10) = C10 x(cos 2x)(10) + C10(x) (cos 2x)(9)2⇒ y (10) = 1.x.29 cos(2x + 5π) + 10.28 cos 2x +ThS. Trần Bảo Ngọc9π2−→ Chọn C.Đạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital1.3. Đạo hàm của hàm theo tham sốĐịnh lýx = x(t)Nếu hàm số y = f (x) được cho dưới dạng tham sốy = y (t)thì yx =yt.xtVí dụ 1.6.x = cos3 tTính đạo hàm yx của hàm sốy = sin3 tTheo công thức đạo hàm theo tham số, ta cóyx =yt3 sin2 t cos t== − tan t.−3 cos2 t sin txtThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital2.1. Vi phânCho hàm số y = f (x) xác định tại x0 .Gọi ∆x là số gia của biến x tại x0 . Đặt∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ).Định nghĩa : Nếu ∆f = A.∆x + α.∆xvới A là hằng số, α là một VCB trongquá trình ∆x → 0 thì ta nói :Hàm số y = f (x) khả vi tại x0 .Biểu thức A.∆x là vi phân của hàm số y = f (x) tại x0 .Ký hiệu df (x0 ) = A.∆x.ThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital2.1. Vi phânVí dụ 2.1.Tìm vi phân của hàm số f (x) = x 2 bằng định nghĩa tại x0 = 3.Gọi ∆x là số gia của biến x tại x0 = 3. Ta có∆f =f (3 + ∆x) − f (3) = (3 + ∆x)2 − 32 = 6∆x + α.∆x.với α = ∆x. Chú ý rằng lim α = 0, do đó, α là một vô cùng bé∆x→0trong quá trình ∆x → 0. Suy raHàm số y = x 2 khả vi tại x0 = 3.Vi phân của hàm số tại x0 = 3 là df (3) = 6∆x.ThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital2.1. Vi phânĐịnh lý cơ bản về vi phânCho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f khả vitại x0 . Hơn nữa khi f có vi phân tại x0 (tức là có đạo hàm tại x0 )ta luôn có :df (x0 ) = f (x0 ).∆x.dx = ∆x.Ví dụ 2.2.Tìm vi phân của hàm số y = x 2 tại x0 = 3.Ta có f (x) = 2x suy ra f (3) = 6. Do vậydf (3) = f (3).∆x = 6dx.Tổng quát. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x. Khi đódf (x) = f (x).dxThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital2.1. Vi phânVí dụ 2.3. Cho hàm số y = arcsin 2x. Chọn đáp án đúng.2dx2A. dy = √B. dy = √21 − 2x1 − 4x 2√C. dy34= 4dxD. Đáp án khácTheo định lý cơ bản về vi phân, ta có(2x)dy = (arcsin 2x) dx =1−(2x)2dx = √2dx.1 − 4x 2−→ A, B là các đáp án sai.√dy3=42dx√1−4342ThS. Trần Bảo Ngọc=212dx = 4dx −→ Chọn C.Đạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital2.2. Vi phân cấp caoĐịnh lý.Vi phân cấp n của hàm số y = f (x) là d n f (x) = f (n) (x)(dx)n .Ví dụ 2.4.Chọn đáp án sai.1(−a)n n!(dx)n=ax + b(ax + b)n+1a(−a)n−1 (n − 1)!(dx)n−1B. d n ln(ax + b) =(ax + b)nnπC. d n cos ax = an cos ax +(dx)n D. d n e 2x = 2n e 2x (dx)n2A. d nd n ln(ax + b) =a(−a)n−1 (n − 1)!(dx)n−1−→ Chọn B.(ax + b)nThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital2.3. Ứng dụng tính gần đúngĐịnh lý (Công thức áp dụng vi phân tính gần đúng)Cho hàm số y = f (x) có vi phân tại x0 . Khi ∆x → 0 ta cóf (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + df (x0 ).Ví dụ 2.5. Tính gần đúng các giá trị√a) 4 15, 8b) sin 310c) arcsin 0.54√a) Đặt f (x) = 4 x, x0 = 16, ∆x = −0, 2. Ta có11 31f (x) = x 4 = x − 4 = √444 x3√f (x0 ) = 4 16 = 2 và11df (x0 ) = f (x0 )∆x = √.(−0, 2) = −431604 161319415, 8 = f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + df (x0 ) = 2 −=.160160ThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital2.3. Ứng dụng tính gần đúngb)Đặt f (x) = sin x, x0 =f (x0 ) = sinππ, ∆x =. Ta có f (x) = cos x.61801π= và62√π3ππdf (x0 ) = f (x0 )∆x = cos.=6 180360√13π0sin 31 = f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + df (x0 ) = +.2360c)1Đặt f (x) = arcsin x, x0 = 0, 5, ∆x = 0, 04, ⇒ f (x) = √1−x2πf (x0 ) = arcsin 0.5 = và6√12 3df (x0 ) = f (x0 )∆x =.0, 04 =751 − 0, 52√π 2 3arcsin 0, 54 = f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + df (x0 ) = +.675ThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital3. Công thức khai triển Taylor (dành cho toán A1)Mục đích : Xấp xỉ một hàm số y = f (x) cho trước bởi một đathức có dạng Pn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + ... + an (x − x0 )n .Ví dụ : e x ≈ 1 + x +x2 x3xn++ ... +với n khá lớn.2!3!n!Định lý (Công thức Taylor khai triển Taylor)nf (x) =k=0f (k) (x0 )(x − x0 )k + Rn (x) vớik!Phần dư Lagrange : Rn (x) =f (n+1) (c)(x − x0 )n+1 , với c là(n + 1)!một số nằm giữa x và x0 .Phần dư Peano : Rn (x) = O (x − x0 )nThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital3. Công thức khai triển Taylor (dành cho toán A1)Ví dụ 4.1.Viết khai triển Taylor của hàm số f (x) = x 3 + 2x 2 − 3x + 4 tạix = −1.Ta có f (x) = 3x 2 + 4x − 3, f (x) = 6x + 4, f (x) = 6,f (k) (x) = 0 với mọi k ≥ 4. Suy raf (−1) = 8, f (−1) = −4, f (−1) = −2, f (−1) = 6.Áp dụng công thức Taylor với phần dư Lagrange ta cóf (−1)f (−1)f (−1)(x + 1)0 +(x + 1) +(x + 1)2 +f (x) =0!1!2!f (−1)f (4) (c)(x + 1)3 + R3 (x) với R3 (x) =(x + 1)4 = 0 trong3!4!đó c là một số nằm giữa −1 và x. Vậyf (x) = 8 − 4(x + 1) − (x + 1)2 + (x + 1)3 .ThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital3. Công thức khai triển Taylor (dành cho toán A1)Ví dụ 4.2.Viết khai triển Mac Laurin của hàm số f (x) = cos2 x đến x 4 vớiphần dư Peano.Ta có f (x) = − sin 2x, f (x) = −2 cos 2x, f (x) = 4 sin 2x,f (x) = 8 cos 2x. Suy raf (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = −2, f (0) = 0, f(0) = 8.Áp dụng công thức Mac Laurin với phần dư Peano ta cóf (0) 0 f (0)f (0) 2 f (0) 3 f (0) 4x +x+x +x +x + O(x 4 )0!1!2!3!4!1= 1 − x 2 + x 4 + O(x 4 ).3f (x) =ThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital4. Qui tắc L’HospitalQui tắc L’HospitalNếu f (x), g (x) là hai hàm số khả vi trên một lân cận của x0 vàf (x)limtồn tại thìx→x0 g (x)f (x)0∞ Lf (x)limcó dạng hoặc= limx→x0 g (x)x→x0∞0 g (x)Ví dụ 4.1. Tính các giới hạn3a) lim+ x 4+ln xx→0a) lim+ x34+ln x1b) limπ (tan x)2 cos xc) lim (x + e x ) xx→+∞x→ 2(00 ) = e3 ln x4+ln xx→0+lim(∞∞)L=elimx→0+( x3 )( x1 ) = e 3 .x→0ThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital4. Qui tắc L’Hospitallimπ 2 cos x ln(tan x) (0.∞)b) limπ (tan x)2 cos x (∞0 ) = e x→ 2x→ 2=eln(tan x)lim 2 1x→ πcos x2()∞∞( )Llimπ 2=e1x→ 2c) lim (x + e x ) x (∞0 ) = e1cos2 x tan xsin xcos2 xlim 2=eln(x+e x )limxx→+∞x→ π2cos xsin2 x= 1.∞∞( )x→+∞L=exlim 1+e xx→+∞ x+e(∞∞)L=eexlimxx→+∞ 1+e∞(∞)L=exlim e xx→+∞ e= e.Chú ýNếu limx→x0limx→x0f (x)không tồn tại thì ta không thể khẳng địnhg (x)f (x)tồn tại hay không tồn tại.g (x)ThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital4. Qui tắc L’HospitalKhử các dạn vô định ∞ − ∞, 0.∞, 00 , ∞0 , 0∞0∞Đưa các dạng vô định này về dạng vô định hoặc(được sử0∞dụng quy tắc L’Hospital) như sau :0∞ − ∞ : Quy đồng đưa về dạng .000∞∞0.∞ : Viết thành 1 (dạng ) hoặc 1 (dạng)0∞(∞)(0)00 , ∞0 , 0∞ : Sử dụng công thức ab = e b.lna .Ví dụ 4.2. Tính các giới hạna) limx→0cot x −1xb) lim (2 − x)tanx→1ThS. Trần Bảo Ngọcπx2c) limx→011− xxe −1Đạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’Hospital4. Qui tắc L’Hospitala) limx→0cot x −1xx→0= limx cos x − sin xx2= lim− sin x= 0.2x→0x→0b) lim (2 − x)tan00=ec) limx→0L00( )x→1cos x − x sin x − cos x2xL−1−( π2)sin2 πx2lim2πx2(0.∞)sin2πx2=e= e x→1 π11ex − 1 − x 0− x= limx→0 x(e x − 1)xe −10ex − 1x→0 e x − 1 + xe x= limx→0(1∞ ) = e x→1lim(1−x)πxx→1 cot 2L= lim= limlim (1−x). tanπx2x→1limx cos x − sin xx→0x sin xcos x1−sin xx= lim00L2= eπ.1ex1= lim= .xxx→0 2e + xex→0 2 + x2= limThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụngĐạo hàm Vi phân CT. Taylor QT. L’HospitalĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụng"Một ngày ngồi trách móc sao bằng một giờlàm việc. Một giờ này làm lòng ta nhẹ và túita nặng."Benjamin Franklin.HẾT.ThS. Trần Bảo NgọcĐạo hàm, Vi phân và Ứng dụng