Bài 1 GIỚI Hạn Của Dãy Số - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.doc) (37 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Lớp 11
>>
3. Toán học

Bài 1 GIỚI hạn của dãy số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (503.64 KB, 37 trang )

CHƯƠNG 4: GIỚI HẠNBÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐMục tiêu Kiến thức+ Hiểu được khái niệm giới hạn của dãy số.+ Biết được một số định lí giới hạn của dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn. Kĩ năng+Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí về giới hạn của dãy số vào giải các bài tập.+Biết cách tính giới hạn của dãy số.+Biết cách tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 91.1. Định nghĩa: Ta có nói rằng dãy số ( un ) có giới Nhận xét:hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương a) Dãy số ( un ) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãynhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từmột số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đốisố ( un)có giới hạn 0.nhỏ hơn số dương đó.b) Dãy số không đổi ( un ) , với un = 0 có giới hạnKhi đó ta viết: lim un = 0 hoặc un → 0.0.un = 0 ”, đọc là dãy số ( un ) có giới(Kí hiệu “ nlim→+∞hạn là 0 khi n dần đến vô cực).1.2. Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặpDựa vào định nghĩa, người ta chứng minh được rằng:a) lim1= 0;nb) lim1= 0;nc) lim1= 0;3nd) Dãy số không đổi ( un ) với un = 0 có giới hạn 0.e) Nếu q < 1 thì lim q n = 0.Định lí sau đây thường được sử dụng để chứng minhmột số dãy số có giới hạn 0.Cho hai dãy số ( un ) và ( vn ) .Nếu un ≤ vn với mọi n và lim vn = 0 thì lim un = 0.2. Dãy số có giới hạn hữu hạnNhận xét:2.1. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn- Dãy số ( un ) có giới hạn là số thực L, khi và chỉĐịnh nghĩa: Ta nói rằng dãy số ( un ) có giới hạn làkhi khoảng cách từ điểm un đến điểm L là un − Lsố thực L nếu lim ( un − L ) = 0.gần 0 bao nhiêu cũng được miễn là chọn n đủKhi đó ta viết lim un = L hoặc un → L.lớn. Tức là khi biểu diễn các số hạng trên trục sốTức là lim un = L ⇔ lim ( un − L ) = 0.ta thấy khi n tăng thì các điểm un tụ tại quanh2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn hàm sốđiểm L.Định lí 1: Giả sử lim un = L. Khi đó:- Có những dãy số khơng có giới hạn hữu hạn. lim un = L vàChẳng hạn dãy số3un = 3 L .( ( −1) ) ,ntức là dãy số:Trang 2  Nếu un ≥ 0, ∀n ∈ ¥ * thì L ≥ 0 và lim un = L .Định lí 2: Giả sử lim un = L;lim vn = M và c là một−1;1; −1;1;...- Nếu C là hằng số thì lim C = C.hằng số.Khi đó lim ( un + vn ) = L + M . lim ( un − vn ) = L − M . lim ( un .vn ) = L.M . lim ( cun ) = cL. limunL=(nếu M ≠ 0 ).vn MĐịnh lí 3 (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ba dãy số( un ) , ( vn ) , ( wn )và số thực L. Nếu un ≤ vn ≤ wn vớimọi n và lim un = lim wn = L thì lim vn = L.Định lí 4: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.2.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạnKhái niệm: Cấp số nhân gọi là lùi vơ hạn nếu cócơng bội q thỏa mãn điều kiện q < 1.Tổng các số hạng:S = u1 + u2 + u3 + ... = u1 + u1q + u1q 2 + u1q 3 + ... =( q < 1) .3. Dãy số có giới hạn vơ cực3.1. Định nghĩa dãy số có giới hạn vơ cựcĐịnh nghĩa:u1,1− qNhận xét: Nếu lim un = −∞ thì lim ( −un ) = +∞.Chú ý: Các dãy số có giới hạn là +∞ hoặc −∞ được Ta nói rằng dãy số ( un ) có giới hạn là +∞ nếu với gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực haymỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy dần đến vô cực.số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số  Dãy số có giới hạn là số thực L được gọi là dãydương đó.số có giới hạn hữu hạn.Khi đó ta viết lim un = +∞ hoặc un → +∞.Nhận xét: Ta nói rằng dãy số ( un ) có giới hạn là −∞ nếu với Từ định nghĩa, ta có kết quả sau:a) lim n = +∞ .mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số,kể từ một số hạn nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm b) lim n = +∞.đó.c) lim 3 n = +∞.Trang 3 kd) lim n = +∞ ( k > 0 ) .Khi đó ta viết lim un = −∞ hoặc un → −∞.ne) lim q = +∞ ( q > 1) . Định lí: Nếu lim un = +∞ thì lim1= 0.un3.2. Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cựcQuy tắc 1 Nếu lim un = +∞;lim vn = +∞ thì lim ( un .vn ) = +∞ . Nếu lim un = +∞;lim vn = −∞ thì lim ( un .vn ) = −∞. Nếu lim un = −∞;lim vn = +∞ thì lim ( un .vn ) = −∞. Nếu lim un = −∞;lim vn = −∞ thì lim ( un .vn ) = +∞.Quy tắc 2 Nếu lim un = +∞;lim vn = L ≠ 0+∞ khi L > 0.thì lim ( un .vn ) = −∞ khi L < 0 Nếu lim un = −∞;lim vn = L ≠ 0−∞ khi L > 0.thì lim ( un .vn ) = +∞ khi L < 0Quy tắc 3Nếu lim un = L ≠ 0 , lim vn = 0 thì Khi lim un = L > 0 ⇒ limun  +∞ khi vn > 0, ∀n=.vn  −∞ khi vn < 0, ∀n Khi lim un = L < 0 ⇒ limun  −∞ khi vn > 0, ∀n=.vn  +∞ khi vn < 0, ∀n3.3. Một số kết quảa) limMở rộng:nqn= +∞ và lim n = 0 , với q > 1.qnTa có limb) Cho hai dãy số ( un ) và ( vn ) ,nkqnlim= 0 , với q > 1 và kvà=+∞qnnklà một số nguyên dương. Nếu un ≤ vn với mọi n và lim un = +∞ thìlim vn = +∞. Nếu lim un = L ∈ ¡ và lim vn = +∞ thì limun= 0.vn Nếu lim un = +∞ (hoặc −∞ ) và lim un = L ∈ ¡ thìTrang 4 lim ( un + vn ) = +∞ (hoặc −∞ ).SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓADÃY SỐCÓ GIỚI HẠN 0Định nghĩaDãy số có giới hạn 0 nếu với mọi sốdương nhỏ tùy ý cho trước, mọi sốhạng của dãy số, kể từ một số hạng nàođó trở đi, đều có giá trị tuyệt đơi nhỏhơn số dương đó.Trường hợpvớithường gặpCho hai dãy số vàTrang 5 Dãy số cógiới hạnĐịnh nghĩaDãy số có giới hạn là số thực L nếuhữu hạnPhép tínhgiới hạnlim ( cun ) = cLCác định líCho ba dãy sốNgun líkẹp giữaNếuThìTổng của cấp sốnhân lùi vô hạnTrang 6 Dãy sốcó giới hạnvơ cựcĐịnh nghĩaDãy số có giới hạn là nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọisố hạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn sốdương đó.Dãy số có giới hạn là nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi sốhạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âmđó.12Định nghĩa3Trang 7 II. CÁC DẠNG BÀI TẬPDạng 1: Dãy số có giới hạn bằng định nghĩaBài toán 1. Chứng minh dãy số có giới hạn 0 bằng định nghĩaPhương pháp giảiVí dụ: Chứng minh các dãy số ( un ) sau đây cóCách 1: Áp dụng định nghĩa.Cách 2: Sử dụng các định lí sau: Nếu k là số thực dương thì limgiới hạn là 0.1= 0.nka) un =( −1)n3n + 2b) un =.sin 4n.n+3 Với hai dãy số ( un ) và ( vn ) .hướng dẫn giảinếu un ≤ vn với mọi n và lim vn = 0 và lim un = 0.a) Với mỗi số dương ε tùy ý cho trước, ta có Nếu q < 1 thì lim q n = 0.un =( −1)n3n + 2=11 0 ).nk Nếu un ; vn là hàm số mũ thì chia cả tử và mẫu choa n với a là cơ số lớn nhất. Sau đó sử dụng cơngthức: lim q n = 0 với q < 1.Chú ý: Thông thường, ta sẽ biến đổi các dãy sốtổng quát về dãy số có giới hạn 0 quen thuộc nhưtrên.Ví dụ mẫuVí dụ 1: Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0.a) un =()2n + 3 − 2n .b) un =()n+2 − n−2 .Hướng dẫn giảia) Ta có(2n + 3 − 2n⇒ 2n + 3 − 2n =Mà)() (2n + 3 + 2n =) (22n + 3 −2n)2=33.2n + 3 + 2n33333