Các Dạng Toán Về đạo Hàm Của Hàm Số, Cách Tính Và Bài Tập áp Dụng

Bài viết này chúng ta sẽ củng cố lại một số kiến thức cần nhớ về đạo hàm, cách tính đạo hàm của hàm cơ bản, đạo hàm của hàm hợp hay đạo hàm của hàm trị tuyệt đối,... để từ đó có thể dễ dàng giải các dạng toán về đạo hàm.

I. Lý thuyết về Đạo hàm

1. Đạo hàm là gì?

- Đạo hàm: là tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại điểm x0. Giá trị của đạo hàm thể hiện chiều biến thiên của hàm số và độ lớn của biến thiên này. Đạo hàm có ý nghĩa hình học và vật lý.

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b), đạo hàm của hàm số tại điểm x0 là:

- Nếu ký hiệu:  và  thì:

- Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm x0.

2. Ý nghĩa của đạo hàm

• Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

- Cho hàm số f(x) có đồ thị (C).

- f'(x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại M0(x0;y0) ∈ (C) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 là:

 

• Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:

- Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) = s'(t0).

- Cường độ tức thời của lượng điện Q = Q(t) tại điểm t0 là I(t0) = Q'(t0).

3. Quy tắc tính đạo hàm của hàm số

- Bước 1: Với Δx là số giá của đối số tại x0, tính: 

- Bước 2: Lập tỉ số:  và tính 

• Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

 - Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 ⇒ f(x) liên tục tại x0

* Lưu ý: Ngược lại chưa chắc đúng, tức là f(x) liên tục tại x0 chưa chắc f(x) đã có đạo hàm tại x0.

4. Công thức tính đạo hàm của hàm số cơ bản

• 

•  

• 

• 

• 

• 

• 

5. Công thức tính đạo hàm của hàm hợp

- Cho u = u(x); v = v(x); C là  hằng số

• 

• 

• 

• Nếu 

* Chú ý: khi tính đạo hàm của hàm hợp ta tính đạo hàm của hàm số theo biến u rồi nhân với đạo hàm của hàm số u theo biến x.

II. Một số dạng toán về đạo hàm của hàm số

• Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số

* Phương pháp: Vận dụng các quy tắc và cách tính đạo hàm đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp, nếu bài toán yêu cầu tính đạo hàm tại điểm x0 thì ta tính đạo hàm của hàm đó rồi thay x0 vào để được kết quả.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) 

b) 

c)

d) 

* Lời giải:

a) 

- Ta có: 

⇒ 

b) 

- Ta có:

⇒

c)

- Ta có: 

⇒

d) 

- Ta có: 

⇒ 

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau tại các điểm tương ứng

a) y = -x3 + 3x2 - 5x + 1 tại x0 = -1.

b) y = sin2x + cosx tại x0 = -π/4

c)  tại x0 = 2.

* Lời giải:

a) Ta có: y' = -3x2 + 6x - 5

⇒ y'(-1) = -3.(-1)2 + 6(-1) - 5 = -3 - 6 - 5 = -14

b) Ta có: y' = 2cos2x - sinx

⇒ 

c) Ta có: 

⇒

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau 

a)      b)

c)

d) 

e) 

f) 

g) 

* Lời giải:

a) Ta có:

 

b) Ta có:

 

c) Ta có:

 

d) Ta có:

 

e) Ta có:

 

f) Ta có:

 

g) Ta có: 

 

• Dạng 2: Giải phương trình y' = 0

* Phương pháp: Tính y' sau đó giải phương trình y'=0

Ví dụ 1: Giải phương trình y'=0 biết

a)     b) 

c)      d)  

e)      f) 

g)      h) 

* Lời giải:

a) 

- Ta có: 

 

⇒ Ta thấy 2 nghiệm trên thỏa điều kiện x≠1 nên phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2.

b) 

- Ta có: 

⇒ Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = 2.

c) 

- Ta có: 

⇒ Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = 3/2 và x = 1/2.

d) 

- Ta có: 

⇒ Ta thấy 2 nghiệm trên thỏa điều kiện x≠-1 nên phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2.

e) 

- Ta có: 

⇒ Ta thấy 2 nghiệm trên thỏa điều kiện x≠-1 nên phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = -2.

f) 

- Ta có: 

⇒ Phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt x = 0 và x = 

g)

- Ta có: 

⇒ Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = -1 và x = 3.

h) 

- Ta có: 

- Giải phương trình trên ta được:  và 

⇒ Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

• Dạng 3: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm

* Phương pháp: Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi về hàm lượng giác

Ví dụ 1: Chứng minh rằng

a)  với 

b)  với 

c)  với 

* Lời giải:

a)  với 

- Ta có: , khi đó:

⇒ 

⇒ Ta có điều phải chứng minh.

b)  với 

- Ta có: 

- Khi đó:

⇒ Ta có điều phải chứng minh.

c)  với 

- Ta có 

- Khi đó:

⇒ Ta có điều phải chứng minh.

III. Bài tập về Đạo hàm