Chuyên đề: Bài Toán Chứa Tham Số Trong Phương Trình Bậc Hai

CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A. Lý thuyết

I.  Ứng dụng hệ thức Vi-ét:

Xét phương trình bậc hai: \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( * \right)\text{ ,}\left( a\ne 0 \right),\Delta ={{b}^{2}}-4ac\].

Gọi \[S\], \[P\] lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm \[{{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\].

Hệ thức Viét:  .

• Điều kiện \[PT\,\left( * \right)\] có hai nghiệm trái dấu \[\Leftrightarrow P0\Leftrightarrow -8m+2>0\Leftrightarrow m0$

  $\Leftrightarrow \Delta -\left( 2{{m}^{2}}-4m-5 \right)0$, $\forall m$.

Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Ta có $A=\left( 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 2{{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)=5{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)=9{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}$

$=9\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)-2{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}={{m}^{2}}+m-11$

$={{m}^{2}}+2.m.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-11={{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{45}{4}\ge -\frac{45}{4}$, $\forall m$

Dấu $''=''$ xảy ra $m+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}$

Vậy ${{A}_{\min }}=-\frac{45}{4}$ với $m=-\frac{1}{2}$.

Câu 17:

1. ${{\Delta }^{'}}={{\left( -m \right)}^{2}}-1.\left( {{m}^{2}}-\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}>0$, $\forall m$.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.

         b. Hai nghiệm của phương trình là  

Theo đề bài ta có $\left| m-\frac{\sqrt{2}}{2} \right|=\left| m+\frac{\sqrt{2}}{2} \right|\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\sqrt{2}m+\frac{1}{2}={{m}^{2}}+\sqrt{2}m+\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}m=0\Leftrightarrow m=0$

  c. Theo định lý Pitago ta có: ${{\left( m-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( m+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-8=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4=0$ 

Câu 18:

1. Vì phương trình ${{x}^{2}}-2x+m+3=0$ có nghiệm $x=-1$ nên ta có:

    ${{(-1)}^{2}}-2.(-1)+m+3=0\Leftrightarrow m+6=0\Leftrightarrow m=-6$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

    ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\Leftrightarrow -1+{{x}_{2}}=2\Leftrightarrow {{x}_{2}}=3$

Vậy $m=6$ và nghiệm còn lại là $x=3$.

2. $\Delta '={{1}^{2}}-1.\left( m+3 \right)=-m-2$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {{\Delta }^{'}}>0\Leftrightarrow m0\Leftrightarrow m0\] nên phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt: \[{{m}_{1}}=-3+\sqrt{31};\,{{m}_{2}}=-3-\sqrt{31}\]

Vậy \[m\in \left\{ -3+\sqrt{31};\,-3-\sqrt{31} \right\}\]

 

Bài viết gợi ý:

1. Chuyên đề: Quỹ tích

2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

3. Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức bằng quy nạp

4. Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức bằng phản chứng

5. Chuyên đề: Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức

6. Phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức

7. Chuyên đề: Các bài toán rút gọn nâng cao