Chuyên đề: Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,

NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

 

A. CHUẨN KIẾN THỨC

1. Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên D

      i) Số $M$ gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số \[y=f\left( x \right)\] trên D nếu

 

2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số

Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \[y=f\left( x \right)\] trên D ta tính $y'$, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN, GTNN.

Chú ý:

* Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] luôn tăng hoặc luôn giảm trên \[\left[ a;b \right]\] thì$\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ a;b }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f(x)=\max \{f(a),f(b)\};\text{ }\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ a;b }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,f(x)=\min \{f(a),f(b)\}$ .

* Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ a;b \right]\] thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau

B1: Tính $y'$ và tìm các điểm ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ mà tại đó $y'$ triệt tiêu hoặc hàm số không có đạo hàm.

B2: Tính các giá trị $f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),...,f({{x}_{n}}),f(a),f(b)$.Khi đó

$\underset{x\in [a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f(x)=\max \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }f({{x}_{1}}),...,f({{x}_{n}}),f(a),f(b)\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$

$\underset{x\in [a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,f(x)=\min \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }f({{x}_{1}}),...,f({{x}_{n}}),f(a),f(b)\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$.

* Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\]  là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN  trên một đoạn nằm trong D có độ dài bằng T.

* Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ $t=u(x)$, ta

tìm được $t\in E$ với$\text{ }\forall x\in D$, ta có  \[y=g\left( t \right)\] thì Max, Min của hàm $f$ trên D chính là Max, Min của hàm$g$ trên $E$.

 

* Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.

* Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min.

Chú ý:

Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\]  là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên \[D\] ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN  trên một đoạn thuộc \[D\] có độ dài bằng \[T\].

* Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên \[D\]. Khi đặt ẩn phụ $t=u\left( x \right)$, ta tìm được $t\in E$ với$\text{ }\forall x\in D$, ta có  \[y=g\left( t \right)\] thì Max, Min của hàm $f$ trên \[D\] chính là Max, Min của hàm $g$trên $E$.

* Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.

* Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min.

* Ta cần phân biệt hai khái niệm cơ bản :

+ Giá trị lớn nhất của hàm số \[y=f\left( x \right)\] trên \[D\] với cực đại của hàm số .

+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y=f\left( x \right)\] trên \[D\] với cực tiểu của hàm số .

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y=f\left( x \right)\] trên \[D\] mang tính toàn cục , còn giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số chỉ mang tính địa phương.

                                       B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI  CÁC DẠNG BÀI TẬP.

                            

Phương pháp .

Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] thì f đạt giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Nếu hàm số f liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b )thì giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của f trên [a;b] luôn tồn tại , hơn nữa các giá trị này chỉ đạt được tại các điểm cực trị hoặc tại hai biên a,b.Do đó trong trường hợp này để tìm $\underset{x\in [a,b]}{\mathop{\max }}\,f(x)\,\,,\,\,\underset{x\in [a,b]}{\mathop{\min }}\,f(x)$,ta có thể tiến hành một cách đơn giản hơn như sau:

• Tính f’(x) và tìm các nghiệm ${{\text{x}}_{\text{1}}},{{\text{x}}_{\text{2}}},\ldots .,{{\text{x}}_{\text{n}}}$ thuộc (a;b) của phương trình f’(x) = 0.
• Tính $f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),....,f({{x}_{n}}),\,f(a),\,f(b)$.
• Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên [a,b].

Các ví dụ:

 

Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: \[y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+5\],\[x\in [-2;3]\]

   

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \[D=\mathbb{R}\], xét \[x\in [-2;3]\]

Ta có: \[y'=4{{x}^{3}}-4x\] và \[y'=0\Leftrightarrow 4x({{x}^{2}}-1)=0\Rightarrow x=0\] hoặc \[x=\pm 1\]

\[y(0)=5;\mathsf{ }y(-1)=4;\mathsf{ }y(1)=4;\mathsf{ }y(-2)=13;\mathsf{ }y(3)=68.\]

Vậy,  \[\underset{x\in [-2;3]}{\mathop{max}}\,y=68\] khi \[x=3\] và \[\underset{x\in [-2;3]}{\mathop{min}}\,y=4\] khi \[x=\pm 1\]

Ví dụ 2 :

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: \[y={{x}^{5}}-5{{x}^{4}}+5{{x}^{3}}+2\],\[x\in [-1;2]\]

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \[D=\mathbb{R}\], xét \[x\in [-1;2]\]

Ta có: \[y'=5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+15{{x}^{2}}\] và \[y'=0\Leftrightarrow 5{{x}^{4}}-20{{x}^{3}}+15{{x}^{2}}=0\Rightarrow x=0,x=1,\] \[x=3\notin [-1;2]\]

\[y(0)=2;\mathsf{ }y(1)=3;\mathsf{ }y(-1)=-9;\mathsf{ }y(2)=-6.\]

Vậy, \[\underset{x\in [-1;2]}{\mathop{max}}\,y=3\] khi \[x=1\]và \[\underset{x\in [-1;2]}{\mathop{min}}\,y=-9\] khi \[x=-1\]

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1. $y=3-x+\left| {{x}^{2}}-4x+3 \right|$

2. $y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}+\left| x-1 \right|$

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1. $y=\left( 3-x \right)\sqrt{5-{{x}^{2}}}$ 3. $\text{y}=\text{x}+\text{2}+\sqrt{2x-{{x}^{2}}}$

2. $y=x+\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ 4. .$y=\left( x-6 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+4}$,  $\forall x\in \left[ 0;3 \right]$.

Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1. $y=\frac{{{x}^{2}}+1}{2{{x}^{2}}+x+2}$

2. $y=\frac{20{{x}^{2}}+10x+3}{3{{x}^{2}}+2x+1}\text{ }$

Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1. $y=\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-x+1},x\in \left[ -2;3 \right]$

2. $y=\sqrt{-{{x}^{2}}+4x+21}-\sqrt{-{{x}^{2}}+3x+10}$

Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1. $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-6x+3\,\,\,,\,\,x\in [0;4]$                                   2. \[y={{x}^{6}}+4{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{3}}\] trên đoạn \[\left[ -1;1 \right]\]           

3. \[y=\frac{x+\sqrt{1+9{{x}^{2}}}}{8{{x}^{2}}+1}\] trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$

Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1.$y=(x+3)\sqrt{-{{x}^{2}}-2x+3}$                                                                                                                        2. $y=\sqrt{45+20{{x}^{2}}}+\left| 2x-3 \right|$

                      

Phương pháp .

Chú ý: \[t=\sin x,\left| t \right|\le 1\], \[t=\cos x,\left| t \right|\le 1\]

Các ví dụ

Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: \[y=\frac{\sin x+1}{{{\sin }^{2}}x+\sin x+1}\]

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \[D=\mathbb{R}\]

Đặt \[t=\sin x,\left| t \right|\le 1\], ta có: \[y=\frac{t+1}{{{t}^{2}}+t+1}\] với \[t\in [-1;1]\]

Ta có:  \[y'=\frac{-{{t}^{2}}-2t}{{{({{t}^{2}}+t+1)}^{2}}}\] và \[y'=0\Leftrightarrow -{{t}^{2}}-2t=0\Rightarrow t=0\] hoặc \[t=-2\notin [-1;1]\]

\[y(0)=1;\mathsf{ }y(-1)=0;\mathsf{ }y(1)=\frac{2}{3}.\]

Vậy,  \[\underset{t\in [-1;1]}{\mathop{max}}\,y=1\]  khi \[x=0\]và \[\underset{x\in [-1;1]}{\mathop{min}}\,y=0\] khi \[x=-1\]

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC không tù. Tìm GTLN của biểu thức : $P=\cos 2A+2\sqrt{2}\left( \cos B+\cos C \right)$

Lời giải.

Ta có $A\le {{90}^{0}}\Rightarrow \cos 2A=2{{\cos }^{2}}A-1\le 2\cos A-1=1-4{{\sin }^{2}}\frac{A}{2}$

Đẳng thức có $\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}A=\cos A$ .

$\cos B+\cos C=2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{B-C}{2}\le 2\sin \frac{C}{2}$

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1. \[y=x-\operatorname{s}\text{in2}x\] trên đoạn \[\left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\].

2. .\[y=\text{ 2sin}x-\frac{4}{3}{{\sin }^{3}}x\] trên đoạn\[\left[ \text{0;}\pi  \right]\].

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1. $y=\frac{1+{{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x}{1+{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}$

2. $y=\sin \frac{2x}{1+{{x}^{2}}}+\cos \frac{4x}{1+{{x}^{2}}}+1$

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:       

 1. $y=2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{6}\sin x$ trên đoạn $\left[ 0;\,\pi  \right]$.

2. \[y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{2}}x+2\] 3. \[y=x-\sin 2x\] trên đoạn \[\left[ -\frac{\pi }{2};\pi  \right]\] 4.\[y=\frac{\sin x+1}{{{\sin }^{2}}x+\sin x+1}\]	5. \[y=\frac{{{\sin }^{6}}x\left| \cos x \right|+{{\cos }^{6}}x\left| \sin x \right|}{\left| \sin x \right|+\left| \cos x \right|}\] 6. $y=2{{\cos }^{6}}x-\frac{3}{4}\cos 2x$ 7. $y={{\sin }^{3}}x-{{\cos }^{3}}x$
8. $y=\frac{1}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}$	9. $y=\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\cos x}$.

 

                   

Do khuôn khổ chương trình, tác giả chỉ giới thiệu những bài toán cơ bản, trọng tâm thường xuất hiện trong đề kiểm tra 45 phút, thi học kì. Bạn đọc muốn tìm hiểu kĩ hơn dạng toán này, hãy tìm đọc cuốn: “ Bất đẳng thức và bài toán min – max  trong các bài kiểm tra, thi học kì và trong kì thi tuyển sinh Đại học “ cùng tác giả.

Phương pháp .

Nhắc lại bất đẳng thức Cô si ( BĐT trung bình cộng – trung bình nhân )

$\bullet $  Hai số: Với hai số thực $a,b\ge 0$ ta luôn có: $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b$.

Hệ quả: Với hai số thực dương $a,b$ ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$.

$\bullet $ Ba số: Với ba số thực $a,b,c\ge 0$ ta luôn có: $\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

Hệ quả: Với ba số thực dương $a,b,c$ ta luôn có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}$

$\bullet $ Tổng quát: Với $n$ số thực không âm ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ ta luôn có:

$\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{a}_{1}}.{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các số ${{a}_{i}}$ bằng nhau.

Hệ quả: Với $n$ số thực dương ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ ta có: $\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+...+\frac{1}{{{a}_{n}}}\ge \frac{{{n}^{2}}}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}$

Một số lưu ý khi áp dụng BĐT Cô si:

$\bullet $ Bất đẳng thức Cô si chỉ áp dụng cho các số thực không âm, đồng thời là sự so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân.

$\bullet $ Điều kiện để xảy ra dấu "=" là các số bằng nhau.

Phương pháp:

Nội dụng của phương pháp này là tìm cách đưa một bất đẳng thức nhiều biến về bất đẳng thức chứa một biến. Một trong những công cụ tối ưu khi chứng minh bất đẳng thức một biến là công cụ đạo hàm. Quan trọng nhất ở phương pháp này là tìm cách đánh giá để đưa về một biến. Để đưa về một biến, chúng ta cần lưu ý:

$\bullet $ Nếu một bất đẳng thức hai biến có điều kiện và trong điều kiện có một biến nhất thì ta có thể rút biến đó và thế vào bất đẳng thức cần chứng minh ta được một bất đẳng thức một biến. Tuy nhiên cách làm này chúng ta chỉ sử lí khi bất đẳng thức không quá phức tạp.

$\bullet $ Nếu điều kiện của bài toán và bất đẳng thức cần chứng minh là những biểu thức đối sứng hai biến thì ta có thể chuyển về tổng và tích hai biến đó. Lưu ý: ${{S}^{2}}\ge 4P$.

$\bullet $ Khi gặp bài toán chứng minh  BĐT hai biến có dạng :$\frac{f\left( x,y \right)}{g\left( x,y \right)}\ge p$, trong đó $f\left( x,y \right)$ và $g\left( x,y \right)$ là những biểu thức đẳng cấp bậc $k$ hai biến, ta có thể đặt $x=ty\text{ }\left( y\ne 0 \right)$. Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành : $\frac{f\left( t,1 \right)}{g\left( t,1 \right)}\ge p$ đây là BĐT một biến. Để chứng minh BĐT này ta có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.

$\bullet $ Nếu trong bất đẳng thức xuất hiện các số hạng: $\frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}+\frac{{{b}^{n}}}{{{a}^{n}}}$ thì ta có thể đặt $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Các ví dụ

Ví dụ 1.

Cho  \[x>0,\mathsf{ }y>0\] và  \[x+\mathsf{ }y=\frac{5}{4}\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P=\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}\].

Lời giải.

1. Cách 1 : Ta có : $x+y=\frac{5}{4}\Rightarrow 4y=5-4x\Rightarrow P=\frac{4}{x}+\frac{1}{5-4x}$.

Xét hàm số : $f\left( x \right)=\frac{4}{x}+\frac{1}{5-4x}$ xác định và liên tục trên khoảng $\left( 0;\frac{5}{4} \right)$

Ta có : $f'\left( x \right)=-\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{4}{{{\left( 5-4x \right)}^{2}}}$.

Trên khoảng $\left( 0;\frac{5}{4} \right):\mathsf{ }f'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow x=1$.

Lập bảng biến thiên, ta được \[\underset{x\in \left( 0;\frac{5}{4} \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=5\] \[\Rightarrow \min P=5\]khi $x=1,\mathsf{ }y=\frac{1}{4}$.

Cách 2 :  $\left( x+y \right)P=\left( \frac{4}{x}+\frac{1}{4y} \right)\left( x+y \right)=\frac{x}{4y}+\frac{4y}{x}+\frac{17}{4}\ge 2+\frac{17}{4}=\frac{25}{4}$

Suy ra $P\ge 5$. Đẳng thức xảy ra: $\frac{x}{4y}=\frac{4y}{x}$ và $x+y=\frac{5}{4}$ hay $x=1,\mathsf{ }y=\frac{1}{4}$.

Lời giải.

Ta có $y=3-x\ge 1\Rightarrow x\le 2\Rightarrow x\in \left[ 0;2 \right]$

Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x+18$ trên $\left[ 0;2 \right]$ ta có:

$f'(x)=3{{x}^{2}}+2x-5\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$

Hơn nữa: $f\left( 0 \right)=18,\mathsf{ }f\left( 1 \right)=15,\mathsf{ }f\left( 2 \right)=20$

Vậy, $\max P=\underset{\text{x}\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(2)=20$ khi $x=2$, $\min P=\underset{\text{x}\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(1)=15$ khi x=1

Bài viết gợi ý:

1. Đáp án Toán tất cả các mã đề của BGD năm 2019

2. Đề và Đáp án môn Toán Thi THPT Quốc Gia 2019

3. Ứng Dụng Tích Phân: BÀI TOÁN VẬN TỐC QUÃNG ĐƯỜNG

4. BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

5. Cách tính số liên kết pi trong Hóa Hữu Cơ

6. Công thức tính diện tích, thể tích hình xuyến

7. Chính thức công bố đề Minh Họa Toán lần 2 năm học 2019