Công Thức Tính đường Cao Trong Tam Giác Hay Nhất - TopLoigiai

Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Để xác định đường cao trong tam giác chúng ta dùng công thức nào. Cùng Top lời giải tìm hiểu qua bài viết sau:

Mục lục nội dung 1. Đường cao của tam giác là gì?2. Công thức tính đường cao trong tam giác2. 1 Tính đường cao trong tam giác thường2.2 Tính đường cao trong tam giác đều2.3 Công thức tính đường cao trong tam giác vuông2.4 Công thức tính đường cao trong tam giác cân3. Tính chất ba đường cao của tam giác4. Vẽ đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân5. Đặc biệt đối với tam giác đều6. Bài tập vận dụng áp dụng công thức tính đường cao trong tam giácCâu hỏi trắc nghiệmTự Luận 

1. Đường cao của tam giác là gì?

- Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.

- Ví dụ: Đoạn thẳng AI là một đường cao của tam giác ABC, còn nói AI là đường cao xuất phát từ đỉnh A (của tam giác ABC).

- Mỗi tam giác có ba đường cao.

2. Công thức tính đường cao trong tam giác

Ở trong bài này chúng ta sẽ cùng nhau đi tìm công thức tính đường cao trong tam giác thường, tam giác đều, tam giác cân và tam giác vuông.

2. 1 Tính đường cao trong tam giác thường

- Cách tính đường cao trong tam giác sử dụng công thức Heron:

+ Với a, b, c là độ dài các cạnh; ha là đường cao được kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC; p là nửa chu vi:

2.2 Tính đường cao trong tam giác đều

- Giả sử tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a như hình vẽ:

- Trong đó:

+ h là đường cao của tam giác đều

+ a là độ dài cạnh của tam giác đều

2.3 Công thức tính đường cao trong tam giác vuông

- Giả sử có tam giác vuông ABC vuông tại A như hình vẽ trên:

- Công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

1. a2 = b2 + c2

2. b2 = a.b′ và c2 = a.c′

3. ah = bc

4. h2=b′.c'

5. 

- Trong đó:

+ a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông như hình trên;

+ b’ là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền;

+ c’ là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền;

+ h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.

2.4 Công thức tính đường cao trong tam giác cân

- Giả sử các bạn có tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc tại H như hình trên:

- Công thức tính đường cao AH:

- Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:

⇒ HB=HC= ½BC

- Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

AH²+BH²=AB²

⇒AH²=AB²−BH²

3. Tính chất ba đường cao của tam giác

- Định lí: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác

4. Vẽ đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân

- Tính chất của tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

- Nhận xét:

+ Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân

+ Đặc biệt đối với tam giác đều, từ tính chất trên suy ra: Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

5. Đặc biệt đối với tam giác đều

- Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

6. Bài tập vận dụng áp dụng công thức tính đường cao trong tam giác

Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1: Cho ΔABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Em hãy chọn phát biểu đúng:

A. H là trọng tâm của ΔABC

B. H là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

C. CH là đường cao của ΔABC

D. CH là đường trung trực của ΔABC

Vì hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH là đường cao của ΔABC và H là trực tâm tam giác ΔABC nên A, B, D sai, C đúng.

Chọn đáp án C

Bài 2: Cho ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến khi đó

A. AM ⊥ BC

B. AM là đường trung trực của BC

C. AM là đường phân giác của góc BAC

D. Cả A, B, C đều đúng

Vì ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác của tam giác ABC

Chọn đáp án D

Bài 3: Cho ΔABC cân tại A, trung tuyến AM. Biết BC = 24cm, AM = 5cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC

A. AB = AC = 13cm

B. AB = AC = 14cm

C. AB = AC = 15cm

D. AB = AC = 16cm

ΔABC cân tại A (gt) mà AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác đó.

Vì AM là trung tuyến của ΔABC nên M là trung điểm của BC

Bài 4: Đường cao của tam giác đều cạnh a có bình phương độ dài là

Xét tam giác ABC đều cạnh AB = AC = BC = a có AM là đường trung tuyến suy ra AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay AM ⊥ BC tại M

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là (3a2)/4

Chọn đáp án A

Bài 5: Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng

A. AI > AK

 B. AI < AK 

C. AI = 2AK 

D. AI = AK

Tự Luận 

Bài tập 1: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân

Xét ΔABC có AI vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác

AI là đường trung trực ⇒ AI ⊥ BC và I là trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:

AI chung

∠(BAI) = ∠(CAI) (do AI là phân giác góc BAC)

⇒ ΔABI = ΔACI (góc nhọn – cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔABC cân tại A

Bài tập 2: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân

Xét ΔABC có AI vừa là đường trung trực vừa là đường cao

⇒ AI ⊥ BC và I là trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:

AI chung

IB = IC ( do I là trung điểm BC)

⇒ ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔABC cân tại A

Bài tập 3: Nếu một tam giác có một đường phân giác đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân

Xét ΔABC có AI vừa là đường phân giác vừa là đường cao

AI là đường cao ⇒ AI ⊥ BC

Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:

AI chung

∠(BAI) = ∠(CAI) (do AI là phân giác góc BAC)

⇒ ΔABI = ΔACI (góc nhọn – cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔABC cân tại A

Bài tập 4: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân

Xét ΔABC có AI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

AI là đường cao ⇒ AI ⊥ BC

AI là đường trung tuyến ⇒ I là trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:

AI chung

IB = IC ( do I là trung điểm BC)

⇒ ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔABC cân tại A