Hàm Số Liên Tục Và Bài Tập Liên Quan - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.docx) (15 trang)

Trang chủ

Thể loại khác

Tài liệu khác

Hàm Số Liên Tục và Bài Tập Liên Quan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (178.1 KB, 15 trang )

TIỂU LUẬN: HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ BÀI TẬP LIÊN QUANA. LỜI MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đê tàiToán nói chung và toán giải tích nói riêng có những ứng dụng trongnghành khoa học khác nhau, đặc biệt trong khoa học công nghệ thông tin. Cácnghiên cứu và phân tích về mặt định lượng được tiến hành thông qua quy môtoán. Vì thế mà các nhà nghiên cứu ngành công nghệ thông tin có nhu cầu sửdụng nhiều công cụ toán học, đặc biệt là công cụ giải tích như đạo hàm và cácphương pháp tối ưu.Đề tài tiểu luận này đề cập đến những kiến thứchàm số liên và ứng dụng. Việctìm hiểu kiến thức này là hoàn toàn cần thiết và bổ ích giúp ta hiểu sau hơn vềhàm số nói chung và hàm số liên tục nói riêng. Đó cũng là lý do em chọn“Hàm số liên tục và bài tập liên quan” làm đề tài nghiên cứu.2. Mục đích nghiên cứu- Nghiên cứu về hàm số liên tục và bài tập liên quan3. Đối tượng nghiên cứu- Hàm số liên tục : định nghĩa, tính chất.4. Phương pháp nghiên cứu- Phương pháp quan sát- Phương pháp điều tra- Phương pháp xử lí số liệu- Phương pháp tổng hợp- Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia- Phương pháp thống kê5. Nhiệm vụ nghiên cứu- Đề tài gồm có hai chươngChương 1: Lý thuyết hàm số liên tụcChương 2: Bài tập liên quanB. NỘI DUNGCHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT HÀM SỐ LIÊN TỤC1 . Hàm số liên tụcCác khái niệm cơ bảnĐịnh nghĩa 1: Liên tục tại một điểmGiả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và xo∈ (a;b). Hàm số f được gọi làliên tục tại điểm xo nếu:Hàm số không liên tục tại điểm xo được gọi là gián đoạn tại điểm xo.Ví dụ 1:a) Hàm số f(x)=x2 liên tục tại mọi điểm xo ∈R vì : (x) = xo2 =f (xo)b) Hàm sốf(x)=gián đoạn tại điểm x=0 vì không tồn tại (x)=Định nghĩa 2: Liên tục tại một khoảng, đoạn.a Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặctập hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liêntục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.b Hàm số f xác định trên đoạn [a;b] được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếunó liên tục trên khoảng (a;b) và = f(a), = f(b).Ví dụ 2:Xét tính liên tục của hàm số f(x)=trên đoạn [−1;1].Giải:Hàm số đã cho xác định trên đoạn [−1;1].Vì với mọi xo∈(−1;1) ta có:(x)= = = f(xo)Nên hàm số f liên tục trên khoảng (−1;1). Ngoài ra, ta có:= = 0 = f(-1),Và= = 0 = f(1).Do đó, hàm số liên tục trên đoạn [−1;1].Nhận xét:1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàmsố liên tục tại điểm đó (Trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đóphải khác 0).2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trêntập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định củachúng).Định lí 1: Các hàm số lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục trêntập xác định của chúng.1.2. Hàm số liên tục trên đoạn, liên tục đều1.2.1. Các tính chất của hàm sốliên tục trên đoạn1.2.1.1. Tính chất 1Định lí 2: (Định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục )Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu f(a)≠f(b) thì với mỗi số thực Mnằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c)=M.* Ý nghĩa hình học của định lí: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và M làmột số thực nằm giữa f(a)và f(b) thì đường thẳng y=M cắt đồ thị của hàmsố y=f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c ∈(a;b).* Hệ quả:Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) 0 , ∃δ > 0 sao chovới mọi cặp M1, M2 ∈ D mà ρ(M1, M2) < δ ta đều có:< ε.Ví dụ 4: Xét hàm số z = trên R2Với mọi cặp M1( , M2 ta có:≤Do ≥Định lý 3 (Định lý Cantor): Nếu f:[a ,b ] → R liên tục thì nó liên tục đều trên[a,b]Ví dụ 5: Hàm x = liên tục trên khoảng (0,1) nhưng không liên tục đều trênkhoảng này.Thật vậy, ∃ = 1, ∃= , = .Khi đó = 0, nhưng= =n≥1=ε.CHƯƠNG 2: BÀI TẬP LIÊN QUANBài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = tại x = 1, x = 2Tại x = 1: Ta có : f(1) = -2(x)= = -2(x)= f(1)Vậy f(1) liên tục tại x =1.Tại x = 2 thì f(x) không xác địnhVậy f(x) không liên tục tại x = 2.Bài tập 2 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) = tại x = 1Ta có : f(1) = 5= =4( 2x +3) = 5Không tồn tại f(x)Vậy f(x) không liên tục tại x = 1.Bài tập 3: Xét tính liên tục hàm số f(x) = tại x = 2.Ta có f(2) = 2= =f(x) = f(2)Vậy f(x) liên tục tại x = 2.Bài tập 4 : Cho hàm số f(x) = , gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x= 1Ta có:(x)= = = -1Để f(x) liên tục tại x = 1 thì gán f(1) = -1Vậy f(x) =Bài tập 5 :Cho hàm số f(x) = , gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x = 1.Ta có:(x)= = +∞(x)= = -∞Vậy không thể gán giá trị cho f(1)để f(x) liên tục tại x=1Bài tập 6: Định α để f(x) liên tục tại x =F(x) =GiảiTa có:F(0) = a + 2(x)= )= a +2(x)= = = -1 f(x) liên tục tại x = 0, khi và chỉ khi:F(x) = (x)=  α = -3Vậy α = -3 thì f(x) liên tục tại x = 0.Bài tập 7: Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) =F(x) xác định ∀x ∈ R\ { 1;2}F(x) là hàm hửu tỉ  f(x) liên tục trên ∀x ∈ R\ { 1;2}Khi x # 1 : Ta có f(x) = = = F(x) không xác đinh tại x = 2 F(x) gián đoạn tại x = 2Khi x = 1: Ta có f(1)= -2(x)= = )= = -2(x)= f(1) f(x) liên tục tại x = 1Vậy f(x) chỉ gián đoạn tại x = 2.Bài tập 8: Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R:af(x) =Ta có : f(x) = là hàm số đa thứcbVậy f(x) liên tục trên Rf(x) =TXĐ: D = R\(1)Bài tập 9: Cho f,g : [0,1]  [0,1] là các hàm liên tục thỏa mãn f(g(x)) = g(f(x))với mọi x [0,1]. Giả sử f là một hàm đơn điệu. Chứng minh rằng tồn tại [0,1]sao cho f() = g() =Giải:Vì g liên tục nên tồn tại α [0,1] sao cho g(α) = α. Đặt = f (α),= f(), ... = f() với mọi n N. Khi đó là một dãy đơn điệu và bị chặn. Vì vậy tồntại [0,1] sao cho = . Do hàm f liên tục nên ta cũng có f() =Mặc khác g(=g (f())= f(g()) = f(g()) = .Dể thấy rằng g () = = = f() = .Bài tập 10: Cho f là hàm số liên tục trên R thỏa mãnf(x +h) – 2f(x) + f(x-h) → 0 (h→∞) (*)với mọi x R. Chứng minh rằngabcNếu f là hàm số lẻ thì f(x) = Ax với mọi x RNếu f là hàm số chẳn thì f là hàm hằngChứng minh rằng f(x) = Ax + B, A,B = const.Giải:aTừ giả thiết ta có:F(x) = , ∀x ∈ Rf(x +h) ==== f(x) + f(y)Từ đó suy ra f(x) = Ax, A = const.bcTự giảiĐặt f(x) = + , ∀x ∈ Rg(x) =h(x) =Vì g là hàm số chẵn thỏa mãn điều kiện (*) , h là hàm số lẻ thỏa mãn điều kiện(*) nên ta suy ra f(x) = Ax + B từ câu a,b.Bài tập 11: Cho f, g là các hàm liên tục trên R thỏa mản:Chứng minh rằng phương trình f(x) = x có nghiệmGiải:Chọn và đặt = f() , n ≥ 1.Ta có ≤ g( – g(), ≤ g( – g(),Do đó g() là một dãy giảm và bị chặn dưới. Đặt l =Vì ≤ g( – g(),nên≤ g( – g(),Từ đó suy ra là một dãy Cauchy. Gọi c = . Ta dể thấy rằng f(c) =c.Bài tập 12: Cho f : [0,1]  [0,1] là các hàm liên tục thỏa mãn f(0)= 0. Và≥,abChứng minh rằng f(x) = x với mọi xKết luận trên còn đúng không nếu thay bởi R?Giải:aTừ giả thiết suy ra f đơn ánh, do đó f đơn điệu. Dể thấy rằng f(1) ≥ 1 nênf đơn điệu tăng, và ta suy ra được f(1) = 1.Ta thấyf(x) = ≥ x, với mọi x1 - f(x) = ≥ 1 - x, với mọi x .Vì vậy f(x) = x với mọi xbXét hàm f(x) = 2x.Bài tập 13:Cho f : R  [0,+∞] có tính chất: với mọi ε > 0, tập { x R: f(x) ≥ ε}là hữu hạn.abChứng minh rằng với mỗi khoảng mở (a,b) ⊂ R, tồn tại (a,b) sao cho f()= 0.Hãy chứng minh f liên tục tại mọi thỏa mãn f() = 0.Giải:aVới mỗi n N, đặt = { x R: f(x) ≥ }. Vì hữu hạn nên tồn tại , (a,b), 0, ta có tập = { x R: f(x) ≥ ε} là hữu hạn và không ∈.Vì vậy tồn tại δ > 0, sao cho [- δ, + δ] ∩= Ø. Khi đó, 0 ≤ f() ≤ ε với < δ , tứclà f liên tục tại .Bài tập 14: Cho f : R → R liên tục thỏa mản f(f(x)) = - với mọi x ∈ R. Chứngminh f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ R.Giải :Với mọi x ≤0, gọi y ∈ R sao cho x = - . Khi đóF(x) = f(-) = f(f(f(y))) = - [f(-≤ 0.Ta sẽ chứng minh thêm rằng f(x) ≤ 0 với mọi x > 0. Thật vậy, từ giả thiết suy raf đơn ánh trên ( 0, + ∞), do đó đơn điệu trên khoảng này.Giả sử tồn tại ∈( 0, + ∞) sao cho f() > 0. Gọi là 2 số thực thỏa mản 0 0 lấy δ = ε ta thấy ∀ x, ∈ R mà < δ thì= = 0 cho ta bất kì ,ta chỉ cần chọn δ = ε thì khi ∀ x, ∈ R, < δ ta có< ε .Bài tập 19:Chứng minh rằng f(x) = liên tục đều trên khoảng (−1,1). Thật vậy, lấy hai điểmbất kì ∀ x,∈ ( -1,1), khi đó= == 0 nhỏ tùy ý, ta chỉ cần chọn δ = , khi đó ∀x, ∈ ( -1,1) mà = δ< 2δ = 2 = εNhận xét: Để chứng minh hàm f(x) không liên tục đều trên tập A ta chỉ cầnchứng minh mệnh đề sau: ∃ε > 0, ∃∈ A sao cho → 0 thì≥εC. KẾT LUẬNHàm số là một trong những khái niệm cơ bản của giải tích toán học. Nói riêng,hàm số liên tục được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoahọc và kỹ thuật. Nhiều tính chất đáng quí của hàm số được khai thác triệt để vàlà giả thiết không thể thiếu trong nhiều nghiên cứu: tính liên tục, tính khả vi vàtinh chất cực trị của hàm.Luận văn này nhằm tập trung tìm hiểu những kiến thức giải tích và tối ưu hóacơ bản liên quan đến hàm số liên tục, cần dùng trong phân tích và nghiên cứukinh tế về mặt lượng(bổ sung cho các nghiên cứu định tính).Chương 1: Trình bày khái quát về hàm số liên tục tại 1 điểm, hàm số liêntục trên một khoảng, đoạn và liên tục đều.Chương 2: Áp dụng với những bài tập liên quan đến hàm số liên tục.Tác giả đã cố gắng sắp xếp và trình bày vấn đề theo cách hiểu rõ ràng và trựcquan nhất có thể, đưa ra các bài tập áp dụng cho nhiều khái niệm và sự kiện đềcập tới trong tiểu luận.Hi vọng bài tiểu luận này sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các đốitượng không chuyên sâu về toán muốn tìm hiểu và vận dụng công cụ giải tích,đặc biệt là các phương pháp tối ưu trong chuyên môn của mình.D. TÀI LIỆU THAM KHẢO1. NgôThànhPhong - Giáotrìnhtoáncaocấp ĐHKHTN 20032. NguyễnĐìnhTrívànhiềutácgiảkhác3 Trangwed Google.com

Tài liệu liên quan

một số câu hỏi và bài tập ôn tập môn lí 9
- 5
- 862
- 0
Một số vấn đề và bài tập Este
- 2
- 589
- 11
Một số Vấn Đề Và Bài Tập ESTE
- 2
- 1
- 21
Chương 4: Đại số tổ hợp và bài tập chọn lọc pdf
- 37
- 786
- 4
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (tt)-BÀI TẬP doc
- 7
- 807
- 6
Một số câu hỏi và bài tập trắc nghiệm phần ADN – Gen potx
- 7
- 1
- 6
Các bài toán khảo sát hàm số liên quan đến tìm diện tích hình phẳng
- 3
- 519
- 1
Một số công thức và bài tập môn nhập môn quản trị doanh nghiệp
- 2
- 7
- 57
Một số công thức và bài tập môn nhập môn quản trị doanh nghiệp
- 2
- 625
- 0
TÌM HIỂU MỘT SỐ VĂN PHẠM VÀ BÀI TẬP RAM THÔ SƠ (TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN)
- 37
- 709
- 1