Lý Thuyết Tích Vô Hướng Của Hai Véc Tơ Toán 10

Có thể bạn quan tâm

Trang chủ
Lý thuyết toán học
Toán 10
CHƯƠNG 8: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG
Tích vô hướng của hai véc tơ

Tích vô hướng của hai véc tơ Trang trước Mục Lục Trang sau

1. Định nghĩa

a) Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ đều khác $\overrightarrow 0 $. Khi đó:

Góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $, kí hiệu $\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)$ và $\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \widehat {AOB}$.

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Tính góc giữa hai véc tơ:

a. $\overrightarrow {BA} $ và $\overrightarrow {BC} $

b. $\overrightarrow {CA} $ và $\overrightarrow {BC} $

Giải:

Vì tam giác $ABC$ vuông cân nên góc $A$ bằng $90^0$ và góc $B$ bằng góc $C$ bằng $45^0$.

a. Ta có: $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = {45^0}$

b. Dựng véc tơ $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BC} $ thì $\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \widehat {ACD} = {135^0}$

b) Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ là một số thực được xác định bởi: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Ví dụ 2: Với các giả thiết ở ví dụ 1 và cho thêm $AB=AC=1$, tính $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} $.

Giải:

Ta có: $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)$

Mà $\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = BA = 1$, $\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt 2 $, $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC} = {45^0}$ nên:

$\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 1.\sqrt 2 .\cos {45^0} = \sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 1$.

Vậy $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} =1$

2. Tính chất

Với ba véc tơ bất kì $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ và mọi số thực $k$ ta luôn có:

$\begin{array}{l}1){\rm{ }}\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a \\2){\rm{ }}\overrightarrow a (\overrightarrow b \pm \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b \pm \overrightarrow a .\overrightarrow c \\3){\rm{ }}(k\overrightarrow a )\overrightarrow b = k(\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \overrightarrow a (k\overrightarrow b )\\4){\rm{ }}{\overrightarrow a ^2} \ge 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \end{array}$

Trang trước Mục Lục Trang sau