Ma Trận Bậc Thang (Echelon Matrix) | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

I. Các phép toán và phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận:

Các phép biến đổi sau đây đối với dòng (hàng) của ma trận được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hàng)

1.Nhân tất cả các phần tử của một dòng với cùng 1 số khác 0, ( Biến dòng ia lần dòng i), ký hiệu: $d_i \rightarrow a.d_i$ thành

2.Cộng các phần tử của một dòng đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 dòng khác. (Biến dòng i thành dòng i cộng a dòng j), ký hiệu: $d_i \rightarrow d_i + a.d_j$

3. Đổi vị trí hai hàng. (hoán vị dòng i và dòng j với nhau), ký hiệu: $d_i \leftrightarrow d_j$

Tương tự ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên cột như sau:

1.Nhân tất cả các phần tử của một cột với cùng 1 số khác 0, ( Biến cột i thành a lần cột i), ký hiệu: $c_i \rightarrow a.c_i$

2.Cộng các phần tử của một cột đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 cột khác. (Biến cột i thành cột i cộng a cột j), ký hiệu: $c_i \rightarrow c_i + a.c_j$

3. Đổi vị trí hai cột. (hoán vị cột i và cột j với nhau), ký hiệu: $c_i \leftrightarrow c_j$

Các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột được gọi chung là phép biến đổi sơ cấp.

II. Ma trận bậc thang:

2.1 Định nghĩa:

1. Một dòng (hay cột) của ma trận A được gọi là dòng không – zero row – (cột không) nếu nó chỉ gồm những phần tử 0. Ngược lại, nếu dòng (cột) của ma trận A có ít nhất 1 phần tử khác 0 thì nó được gọi là dòng (cột) khác không.

2. Phần tử khác không đầu tiên của một hàng (tính từ trái sang) hoặc 1 cột (tính từ trên xuống) được gọi là phần tử cơ sở (pivot) của hàng đó (hoặc cột đó)

3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang dòng (row-echelon matrix), nếu nó có các đặc điểm sau đây:

3.1 Hoặc A không có dòng không hoặc các dòng không của A luôn nằm phía dưới các dòng khác không.

3.2 Nếu A có ít nhất hai dòng khác không thì đối với hai dòng khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của dòng dưới luôn nằm ở bên phải cột chứa phần tử cơ sở của dòng trên.

3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang cột, nếu nó có các đặc điểm sau đây:

3.1 Hoặc A không có cột không hoặc các cột không của A luôn nằm phía bên phải các cột khác không.

3.2 Nếu A có ít nhất hai cột khác không thì đối với hai cột khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của cột bên phải luôn nằm ở dưới dòng chứa phần tử cơ sở của cột bên trái.

4. Các ma trận bậc thang dòng hay cột được goi chung là ma trận bậc thang. Ma trận vừa có dạng bậc thang dòng, vừa có dạng bậc thang cột và phần tử cơ sở của mỗi hàng và cột luôn bằng 1 được gọi là ma trận bậc thang chính tắc.

Một cách trực quan, ta sẽ thấy ma trận bậc thang dòng và ma trận bậc thang cột sẽ có dạng như sau:

Ma trận bậc thang dòng

Ma trận bậc thang cột

Ví dụ minh họa:

Xét : $A = \left [ { \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right]$

thì A không phải là ma trận bậc thang dòng, vì phần tử khác không đầu tiên của dòng 5, không nằm phía bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng 4.

Tuy nhiên, nếu áp dụng phép biến đổi sơ cấp dòng bằng cách biến đổi $d_5 \leftrightarrow d_5 - { \dfrac{1}{5}} d_4$ ta có:

$\left [ { \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}} \right]$

Ta sẽ có được ma trận bậc thang dòng.

2.2 Định lý:

Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng (cột)

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Thảo luận

52 bình luận về “Ma trận bậc thang (Echelon matrix)”

Cho e hỏi tại sao ma trận này cũng đc coi là ma trận bậc thang

[ 1 3 5 ] [ 0 6 2 ] [ 0 0 7 ]

ThíchThích
Posted by Trường Giang | 02/10/2016, 15:23 Reply to this comment
Ma trận này chưa phải ma trận bậc thang (dòng) em à. Ma trận bậc thang dòng phải thỏa điều kiện phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới phải nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên. Ở đây phần tử $a_{21} = 4$ nằm ngay dưới $a_{11}$ nên không thỏa.

ThíchĐã thích bởi 1 người
Posted by 2Bo02B | 11/01/2016, 10:39 Reply to this comment
Cần đưa thêm nhiều ví dụ phong phú để chứng minh tầm quan trọng của ma trận bậc thang

ThíchThích
Posted by chungvi | 20/01/2015, 17:15 Reply to this comment
2 3 1 -2 5 3 2 0 4 3 2 2 -1 3 3 2 cho e hoi dung phep bien doi so cap dong de dua ma tran tren ve dang bac thang lam sao thua thay e moi hoc ve ma tran nhung k hieu gi het mong thay giup e

ThíchThích
Posted by YuPj Nguyen | 24/10/2012, 13:53 Reply to this comment
ma tran nhu the nay co phai ma tran bac thang khong thua thay: 1 2 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0

ThíchThích
Posted by hieu | 21/03/2012, 17:44 Reply to this comment
“…thì A không phải là ma trận bậc thang dòng, vì phần tử khác không đầu tiên của dòng 5, không nằm phía bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng 4”??? Phần tử ở vế đầu là số 1 dòng 5. Nó nằm về phía bên phải của cột thứ 4(chứa ptử 1 ở vế thứ 2) rồi mà cô???

ThíchĐã thích bởi 1 người
Posted by Bach | 16/10/2011, 16:28 Reply to this comment
- Nếu em xem kỹ thì phần tử khác 0 đầu tiên của dòng 5 (số 1) nằm cùng cột 5 với phần tử khác 0 đầu tiên của dòng 4 (số 5).
  
  ThíchĐã thích bởi 2 người
  Posted by 2Bo02B | 16/10/2011, 17:09 Reply to this comment
Em có vài ý về định nghĩa ma trận bậc thang như trên: 1. Định nghĩa này có nhiều điểm giống với định nghĩa ở trang 41 trong sách Toán cao cấp tập 2 (nhóm tác giả: Nguyễn Viết Đông,.., tái bản lần 3), nhưng khác ít nhất một chỗ: sách ghi là “có đặc điểm sau”, còn ở đây để là “có CÁC đặc điểm sau”. Khác nhau ở từ “CÁC” này có thể làm cho sinh viên dễ nhầm là ma trận này phải có 2 đặc điểm: (1) dòng 0 ở dưới dòng khác 0, (2) “chính dưới bên phải chính trên”. Nếu có ma trận chỉ có đặc điểm (1) mà không có (2) thì rất có thể họ cho là không phải ma trận bậc thang. 2. Em nghĩ định nghĩa sau sẽ đơn giản với nhiều sinh viên: MỘT MA TRẬN A KHÁC MA TRẬN O, CẤP m,n>=2 ĐƯỢC GỌI LÀ MTBT NẾU NÓ CÓ ĐẶC ĐIỂM SAU: NẾU A CÓ DÒNG 0 THÌ MỌI DÒNG O PHẢI NẰM DƯỚI MỌI DÒNG KHÁC 0; CÒN NẾU A CÓ HAI DÒNG KHÁC 0 THÌ ĐỐI VỚI 2 DÒNG KHÁC O BẤT KÝ, “CHÍNH DƯỚI NẰM BÊN PHẢI 9 TRÊN” Vài dòng gửi đến thầy. Chúc thầy vui khỏe!

ThíchThích
Posted by lamxinh | 14/10/2011, 12:23 Reply to this comment
- Ma trận bậc thang dòng phải có thỏa mãn cả 2 đặc điểm trên, nếu chỉ thỏa mãn đặc điểm 1 mà không thỏa đk (2) thì k thể là ma trận bậc thang được em à. Ví dụ: $\left[\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right]$ không là ma trận bậc thang. Định nghĩa của em cũng chính là gộp cả 2 điều kiện trên thành 1 với cấu trúc “If … then …. else if … then …. endif”. Tuy vậy, với định nghĩa của em chỉ đúng cho ma trận bậc thang dòng chứ không đúng cho ma trận bậc thang. Em có thể tham khảo thêm một số định nghĩa khác về ma trận bậc thang (echelon matrix) sau: 1. (wikipeadia) In linear algebra a matrix is in row echelon form if – All nonzero rows (rows with at least one nonzero element) are above any rows of all zeroes, and – The leading coefficient (the first nonzero number from the left, also called the pivot) of a nonzero row is always strictly to the right of the leading coefficient of the row above it. 2. (Wolfram Mathwork) A matrix that has undergone Gaussian elimination is said to be in row echelon form or, more properly, “reduced echelon form” or “row-reduced echelon form.” Such a matrix has the following characteristics: 1. All zero rows are at the bottom of the matrix. 2. The leading entry of each nonzero row after the first occurs to the right of the leading entry of the previous row. 3. (David A.Santos, Linear Algebra, Community College of Philadelphia: SPRING 2004): A Maitrx M $\in M_{mxn} (F)$ is a row-echelon matrix if: 1. All the zero rows of M, if any, are at the bottom of M. 2. For any two consecutive rows $R_i$ and $R_{i+1}$ , either $R_{i+1}$ is all $0_F$ ‘s F or the pivot (the first non-zero entry of the row) of $R_{i+1}$ is immediately to the right of the pivot of $R_i$ Chúc em vui .
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 14/10/2011, 21:14 Reply to this comment
thầy ơi, trả lời dùm em: cmr có thể dùng các phép biến đổi đơn thuần như trên, ta có thể đưa 1 ma trận A tùy ý về ma trận bậc thang

ThíchThích
Posted by cu bin | 18/09/2011, 09:21 Reply to this comment
- Em có thể xem chứng minh ở các giáo trình về đại số tuyến tính nhé
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 19/09/2011, 08:10 Reply to this comment
thầy ơi em đang học đại số tuyến tính, em muốn hỏi, khi cho 1 ma trận thì làm sao để biết đó là ma trận hình thang, có phải là các số không cứ nằm dưới đường chéo chính thì là hình thang không ạ, và ví dụ như ma trận 1 2 3 4 5 6 0 2 6 8 9 3 0 0 4 5 6 7 0 0 0 0 2 0 có là ma trận hình thang không ạ, và hạng của nó như thế nào ạ. em học trên lớp thì hạng của ma trận sẽ là những dòng chứa phần tử khác không.như vậy thì mt trên là hạng 4 vì dòng cuối vẫn có phần tử khác không? nhưng sao đáp án chỉ là hạng 3 ạ ???

ThíchĐã thích bởi 1 người
Posted by kun mom | 14/09/2011, 21:02 Reply to this comment
- Em xem phần định nghĩa ma trận bậc thang ở trên nhé. Ma trận của em đã là ma trận bậc thanh và hạng ma trận này bằng 4.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 14/09/2011, 22:23 Reply to this comment
  - thầy ơi, theo em thấy thì ma trận trên không phải là ma trận bậc thang chứ ạ vì, dòng cuối cùng tất cả các phần tử phải khác ko thì mới có thể là echelon-matrix chứ ạ?
    
    ThíchThích
    Posted by vũ hoàng | 20/06/2014, 21:38 Reply to this comment