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approximation affine — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world Accueil› Analyse approximation affine Séverine June 2006 dans Analyse Bonsoir, j'ai travaillé sur la leçon 71 du capes: dérivées en un point,interprétation géométrique,exemples, et il y a un point que je ne comprends pas, cela concerne les approximations affines. Voici ce que j'ai dans ma leçon: soit f dérivable en a, T la tangente à Cf en A(a,f (a) ). On considère g qui est la fonction affine représentée par T, et D une droite queslconque passant par A d'équation f(a)+m(x-a). On a $f(a+h)=f(a)+f ' (a) . h + h\phi (h)$ avec $\phi(h)$ qui tend vers 0 en 0. On a alors: $g(a+h) - f(a+h)= h (m- f ' (a) - \phi(h) )$ (1) f(a+h)-g(a+h) est négligeable devant h ssi m=f '(a) Or, quand m= f '(a), alors D =T (2) Donc f(a+h) est proche de f(a)+f '(a).h. C'est à (1) que je ne suis pas d'accord, car si g représente la tangente en a, j'ai g(x)=f '(a).(x-a) + f(a) et après simplification, j'obtiens : $g(a+h) - f(a+h)=-h . \phi(h) $ Pourtant, je sus d'accord avec la conclusion (2), donc j'ai du mal à comprendre, et je n'arriverai pas à expliquer tout ça ...

Réponses

• bisam En fait, tu es d'accord avec ce qui est dit ! Au départ, D est une droite quelconque de pente m (passant par A)... et si D a pour pente f'(a), c'est-à-dire si D=T alors on retrouve l'expression que tu donnes. Où est le problème ?
• Séverine Non je ne suis pas d'accord avec la formule (1), g ne représente pas la tangente, elle représente une droite quelconque, non ?
• egoroff Ca me paraît embrouillé tout ça.. justement tu dis, je cite "g qui est la fonction affine représentée par T". Au passage, c'est plutôt une courbe qui représente une fonction, mais bon bref. Une meilleure rédaction serait, comme l'indique plus ou moins explicitement bisam : "Soit $D$ une droite d'équation $y=mx+p$ passant par le point $A$", ou bien de manière équivalente : "Soit $g$ une fonction affine telle que g(a)=f(a)". Ensuite on fait le DL d'ordre 1 et on montre que le contact est d'ordre le plus élevé lorsque $m=f'(a)$ et donc $D=T$, $T$ étant par définition la droite d'équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Ceci justifie a posteriori le terme "tangente".
• Séverine Merci, j'ai compris, en fait, je m'étais embrouillée avec ce que représentait g.

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