Approximation Des Réels

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Approximation des réels

Nous définissons d'abord les outils de base de l'approximation que sont la valeur absolue, la distance et la partie entière.

La valeur absolue d'un réel $ x$, notée $ \vert x\vert$, est $ \max \{x,-x\}$. Elle est égale à $ x$ si $ x$ est positif, $ -x$ si $ x$ est négatif.

Si $ x$ et $ y$ sont deux réels quelconques, la valeur absolue du produit $ xy$ est le produit des valeurs absolues ; $ \vert xy\vert=\vert x\vert\vert y\vert$. Par contre, on peut seulement encadrer la valeur absolue de la somme.

Proposition 5 Soient $ x$ et $ y$ deux réels quelconques. La valeur absolue de leur somme est majorée par la somme des valeurs absolues, et minorée par la différence des valeurs absolues.

$\displaystyle \forall x,y\in \mathbb{R}\;,\quad \big\vert \vert x\vert-\vert y\vert \big\vert\leqslant \vert x+y\vert\leqslant \vert x\vert+\vert y\vert\;.$ (1)
Démonstration : Quitte à échanger $ x$ et $ y$, nous pouvons supposer sans perte de généralité que $ \vert x\vert\geqslant \vert y\vert$. Si l'un des deux est nul, alors les inégalités sont vérifiées : ce sont des égalités. Sinon, il suffit d'examiner les 4 cas possibles selon le signe de $ x$ et $ y$.
  1. $ x>0$ et $ y>0$ : $ \vert x+y\vert=x+y=\vert x\vert+\vert y\vert>\vert x\vert-\vert y\vert$
  2. $ x>0$ et $ y<0$ : $ \vert x+y\vert=x+y=\vert x\vert-\vert y\vert<\vert x\vert+\vert y\vert$
  3. $ x<0$ et $ y>0$ : $ \vert x+y\vert=-x-y=\vert x\vert-\vert y\vert<\vert x\vert+\vert y\vert$
  4. $ x<0$ et $ y<0$ : $ \vert x+y\vert=-x-y=\vert x\vert+\vert y\vert>\vert x\vert-\vert y\vert$
Observez que dans tous les cas, l'une des deux inégalités est une égalité, mais ce n'est pas toujours la même.$ \square$ En remplaçant $ y$ par $ -y$, on obtient le même encadrement pour la valeur absolue d'une différence. $\displaystyle \big\vert \vert x\vert-\vert y\vert \big\vert \leqslant \vert x-y\vert\leqslant \vert x\vert+\vert y\vert $ On appelle distance entre deux réels $ x$ et $ y$ la valeur absolue de leur différence. La proposition 5, appliquée à $ (x-y)+(y-z)$, entraîne : $\displaystyle \forall x,y,z\in \mathbb{R}\;,\quad \vert x-z\vert\leqslant \vert x-y\vert+\vert y-z\vert\;. $ Pour aller d'un point à un autre, on ne peut qu'allonger le parcours si on s'impose de passer par un troisième : c'est l'inégalité triangulaire.

Étant donné un réel $ x$ et un réel $ \varepsilon $ strictement positif, nous dirons que $ a$ est une approximation (ou une valeur approchée) de $ x$ «à $ \varepsilon $ près» si la distance de $ a$ à $ x$ est inférieure à $ \varepsilon $, ce qui équivaut à dire que $ x$ appartient à l'intervalle $ ]a-\varepsilon ,a+\varepsilon [$. $\displaystyle \vert x-a\vert<\varepsilon \;\Longleftrightarrow\; x\in ]a-\var... ...\varepsilon [ \;\Longleftrightarrow\; a\in ]x-\varepsilon ,x+\varepsilon [\;. $ Les approximations décimales se construisent à l'aide de la partie entière. La partie entière d'un réel $ x$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $ x$. On le note $ \lfloor x \rfloor$ : $\displaystyle \lfloor x \rfloor\leqslant x <\lfloor x \rfloor +1\;. $ On en déduit : $\displaystyle x-1< \lfloor x \rfloor \leqslant x\;. $ La partie entière de $ \pi$ est $ 3$. Attention : la partie entière de $ -\pi$ est $ -4$, et non $ -3$. On appelle partie décimale de $ x$ et on note $ D(x)$, la différence de $ x$ avec sa partie entière. $\displaystyle D(x)=x-\lfloor x\rfloor \in [0,1[\;. $

Soit $ x$ un réel, et $ n$ un entier. Considérons la partie entière de $ 10^nx$ : $\displaystyle \lfloor 10^nx \rfloor\leqslant 10^nx <\lfloor 10^nx \rfloor +1\;, $ donc, $\displaystyle 10^{-n}\lfloor 10^nx \rfloor \leqslant x < 10^{-n}\lfloor 10^nx \rfloor +10^{-n}\;, $ Le nombre décimal $ d_n= 10^{-n}\lfloor 10^nx \rfloor$ est l'approximation de $ x$ par défaut à $ 10^{-n}$ près. Observez que $ d_n$ et $ d_{n+1}$ coïncident jusqu'à la dernière décimale de $ d_n$ : $\displaystyle d_n\leqslant d_{n+1}\leqslant x < d_{n+1}+10^{-(n+1)}<d_n+10^{-n} $ Par exemple, pour $ x=\pi$, $\displaystyle d_0=3 ,\;d_1=3.1 ,;d_2=3.14 ,\;d_3=3.141 ,\;d_4=3.1415 ,\; d_5=3.14159\ldots{} $ Réciproquement, la donnée d'une suite de décimaux $ (d_n)_{n\in\mathbb{N}}$, telle que

  1. $ \forall n\in \mathbb{N} ,\; 10^nd_n\in \mathbb{N}$
  2. $ \forall n\in \mathbb{N} ,\; d_n\leqslant d_{n+1}<d_n+10^{-n}$
détermine un réel $ x$ tel que pour tout $ n$ $ d_n\leqslant x\leqslant d_n+10^{-n}$. La suite $ (d_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante et converge vers $ x$. Notez $ (d_n)$ peut déterminer un réel dont elle n'est pas la suite d'approximations décimales, dans le cas où $ x$ est lui même décimal : $\displaystyle 1=0.99999999\ldots $ En théorie, on peut approcher un réel $ x$ par un nombre décimal à n'importe quelle précision. En pratique, la précision habituelle sur des calculs d'ordinateurs est de l'ordre de $ 10^{-15}$. Section : Cours Avant : Rationnels et irrationnels Après : Construction des bornes © UJF Grenoble, 2011 Mentions légales

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