Estimer Pi Avec La Méthode De Monte-Carlo - 1ère - Kartable

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4. Problème : Estimer pi avec la méthode de Monte-Carlo

La méthode de Monte-Carlo est une méthode faisant intervenir des tirages aléatoires pour estimer une valeur numérique.

On chercher à estimer la valeur de \pi.

Pour cela, on utilise la figure suivante :

Quelle est l'équation du cercle de centre (0;0) et de rayon 1 ?

y^2+x^2=1

y^2-x^2=1

y^2+(x−1)^2=1

(y−1)^2+(x−1)^2=0

L'équation d'un cercle de centre (x_1;y_1) et de rayon R est la suivante : (y-y_1)^2+(x-x_1)^2=R^2

Ici : y_1=x_1=0 et R=1

L'équation du cercle de centre (0;0) et de rayon 1 est donc : y^2+x^2=1

Quelle est la fonction f qui permet de caractériser le quart de cercle C de la figure de l'énoncé ?

y=-\sqrt{1+x^2}

y=\sqrt{1-x^2}

y=-\sqrt{1-x^2}

y=\sqrt{1+x^2}

L'arc de cercle de la figure est la portion du cercle de centre (0;0) et de rayon 1 pour y compris entre 0 et 1.

Ainsi on a : y^2+x^2=1y^2=1-x^2y=\sqrt{1-x^2} ou y=-\sqrt{1-x^2}

Or, dans le cas présent, y est positif car compris entre 0 et 1.

La fonction f qui permet de caractériser le quart de cercle C est donc y=\sqrt{1-x^2}.

On admet que la probabilité qu'un point soit dans une surface (incluse dans le carré) est égale au rapport de l'aire de cette surface sur celle du carré.

Soit un point I dont les coordonnées sont tirées au hasard dans le carré ABCD.

On note E l'événement : « Le point I est dans le quart de cercle ».

Quelle est la relation entre la probabilité de E et le nombre \pi ?

P(E) = 2\pi

P(E) = \dfrac{\pi}{2}

P(E) = \dfrac{\pi}{4}

P(E) = \pi

On admet que la probabilité qu'un point soit dans une surface (incluse dans le carré) est égale au rapport de l'aire de cette surface sur celle du carré.

Donc : P(E) = \dfrac{A_C}{A_{ABCD}}

Or : A_{ABCD}=1\times1et A_{C}=\dfrac{\pi \times 1^2}{4}A_{C}=\dfrac{\pi}{4}

Donc : P(E)=\dfrac{\pi }{4}

La relation entre le probabilité de E et le nombre \pi est donc P(E) = \dfrac{\pi}{4} .

Un algorithme a tiré 10 000 points au hasard dans le carré ABCD et a compté que 7 891 points étaient dans le quart de cercle C.

Comment peut-on estimer \pi grâce à ce résultat ?

\pi \approx 3{,}16

\pi \approx 1{,}58

\pi \approx 3{,}24

\pi \approx 0{,}79

Grâce à l'algorithme, on obtient une estimation de P(E).

P(E) \approx \dfrac{\text{7 891}}{\text{10 000}}

Or, on a montré que : P(E) = \dfrac{\pi}{4}

Donc : \pi = 4P(E)

Donc : pi \approx 4\times \dfrac{\text{7 891}}{\text{10 000}}

Grâce au résultat de l'algorithme, on peut donc estimer que \pi \approx 3{,}16.

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