Formule Di Duplicazione - Wikipedia

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Le formule di duplicazione nella trigonometria servono per calcolare il seno, il coseno e la tangente di 2 α {\displaystyle 2{\alpha }} avendo il valore di seno, coseno o tangente di α {\displaystyle \alpha } . Sono ottenibili direttamente a partire dalle più generali formule di addizione delle funzioni trigonometriche nel caso particolare α = β {\displaystyle \alpha =\beta } .

Per il seno e il coseno si ha:

sin ⁡ ( 2 α ) = sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) + cos ⁡ ( α ) sin ⁡ ( α ) = 2 sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) ; {\displaystyle \sin(2\alpha )=\sin(\alpha )\cos(\alpha )+\cos(\alpha )\sin(\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha );} cos ⁡ ( 2 α ) = cos ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) − sin ⁡ ( α ) sin ⁡ ( α ) = cos 2 ⁡ α − sin 2 ⁡ α . {\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos(\alpha )\cos(\alpha )-\sin(\alpha )\sin(\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha .}

Poiché sin 2 ⁡ ( α ) + cos 2 ⁡ ( α ) = 1 {\displaystyle \sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1} , tale formula può anche essere riscritta come:

• cos ⁡ ( 2 α ) = ( 1 − sin 2 ⁡ α ) − sin 2 ⁡ α = 1 − 2 sin 2 ⁡ α ; {\displaystyle \cos(2\alpha )=(1-\sin ^{2}\alpha )-\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha;}
• cos ⁡ ( 2 α ) = cos 2 ⁡ α − ( 1 − cos 2 ⁡ α ) = 2 cos 2 ⁡ α − 1. {\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -(1-\cos ^{2}\alpha )=2\cos ^{2}\alpha -1.}

Per la tangente si ha:

tan ⁡ ( 2 α ) = tan ⁡ α + tan ⁡ α 1 − tan ⁡ ( α ) tan ⁡ ( α ) = 2 tan ⁡ α 1 − tan 2 ⁡ α , {\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {\tan \alpha +\tan \alpha }{1-\tan(\alpha )\tan(\alpha )}}={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }},}

e la soprastante formula è valida per tan ⁡ α ≠ ± 1 {\displaystyle \tan \alpha \neq \pm 1} , ossia per:

α ≠ π 4 + k π 2 , k ∈ Z . {\displaystyle \alpha \neq {\pi \over 4}+k{\pi \over 2},\quad k\in \mathbb {Z} .}

In corrispondenza di tali valori la formula tende all'infinito, ed in particolare:

• lim α → ( π 4 + k π 2 ) − tan ⁡ ( 2 α ) = + ∞ ; {\displaystyle \lim _{\alpha \to ({\pi \over 4}+k{\pi \over 2})^{-}}\tan(2\alpha )=+\infty;}
• lim α → ( π 4 + k π 2 ) + tan ⁡ ( 2 α ) = − ∞ . {\displaystyle \lim _{\alpha \to ({\pi \over 4}+k{\pi \over 2})^{+}}\tan(2\alpha )=-\infty .}

V·D·MTrigonometria
Funzione trigonometrica· Funzione trigonometrica inversa
Funzioni	Seno· Senoverso· Coseno· Cosenoverso· Tangente· Cotangente· Secante· Secante esterna· Cosecante· Cosecante esterna· Funzioni trigonometriche complesse
Funzioni inverse	Arcoseno· Arcocoseno· Arcotangente· Arcocotangente· Arcosecante· Arcocosecante
Teoremi e formule	Teorema della corda· Teorema dei seni· Teorema del coseno· Teorema di Nepero· Teorema delle cotangenti· Teorema di Pitagora· Formule di prostaferesi· Formule di Werner· Formula di Eulero· Formule di duplicazione
Altro	Tavola trigonometrica· Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche· Tavola degli integrali indefiniti di funzioni d'arco· Funzioni iperboliche· Identità trigonometrica· Costanti trigonometriche esatte· Storia delle funzioni trigonometriche· Equazione trigonometrica· Disequazione trigonometrica

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