Théorème De L'angle Inscrit Et De L'angle Au Centre - Wikipédia

On part du cas particulier où l'un des côtés de l'angle inscrit se situe sur le diamètre du cercle. Soient A , B {\displaystyle A,B}   deux points du cercle et A ′ {\displaystyle A'}   le point opposé à A {\displaystyle A}  . Alors le triangle O A ′ B {\displaystyle OA'B}   est isocèle de sommet O {\displaystyle O}  , d'où l'égalité entre l'angle inscrit O A ′ B ^ {\displaystyle {\widehat {OA'B}}}   et l'angle O B A ′ ^ {\displaystyle {\widehat {OBA'}}}  . La somme des angles d'un triangle est égal à 180° donc l'angle de sommet O {\displaystyle O}   est B O A ′ ^ = 180 ∘ − 2 O A ′ B ^ {\displaystyle {\widehat {BOA'}}=180^{\circ }-2{\widehat {OA'B}}}  . Or par l'alignement du diamètre, l'angle au centre est A O B ^ = 180 ∘ − B O A ′ ^ = 180 ∘ − 180 ∘ + 2 O A ′ B ^ = 2 A A ′ B ^ {\displaystyle {\widehat {AOB}}=180^{\circ }-{\widehat {BOA'}}=180^{\circ }-180^{\circ }+2{\widehat {OA'B}}=2{\widehat {AA'B}}}   donc il est bien égal à deux fois l'angle inscrit. Pour la généralisation à tous les angles inscrits on trace le diamètre passant par le sommet de l'angle inscrit et on utilise deux fois cette propriété qu'on vient de démontrer. En prenant la figure 1 avec C {\displaystyle C}   le point opposé à N {\displaystyle N}   le diamètre [ C N ] {\displaystyle [CN]}   est intérieur à l'angle inscrit et on a : 2 B N C ^ = B O C ^ {\displaystyle 2{\widehat {BNC}}={\widehat {BOC}}}   et 2 A N C ^ = A O C ^ {\displaystyle 2{\widehat {ANC}}={\widehat {AOC}}}   d'où A O B ^ = 2 ( B N C ^ + A N C ^ ) = 2 A N B ^ {\displaystyle {\widehat {AOB}}=2({\widehat {BNC}}+{\widehat {ANC}})=2{\widehat {ANB}}}  . Avec D {\displaystyle D}   le point opposé à M {\displaystyle M}   le diamètre [ D M ] {\displaystyle [DM]}   est extérieur et on obtient le même résultat mais par soustraction d'angle : B O D ^ = 2 B M D ^ {\displaystyle {\widehat {BOD}}=2{\widehat {BMD}}}   et A O D ^ = 2 A M D ^ {\displaystyle {\widehat {AOD}}=2{\widehat {AMD}}}   alors A O B ^ = A O D ^ − B O D ^ = 2 ( A M D ^ − B M D ^ ) = 2 A M B ^ {\displaystyle {\widehat {AOB}}={\widehat {AOD}}-{\widehat {BOD}}=2({\widehat {AMD}}-{\widehat {BMD}})=2{\widehat {AMB}}}  . Si on part maintenant de la figure 2 l'angle au centre est rentrant égal à 360° moins l'angle au centre saillant de la figure précédente. L'angle inscrit obtus vaut toujours la moitié de cet angle soit 180° moins l'angle inscrit aigu de la figure précédente. Donc soit le point M {\displaystyle M}   se situe à l'extérieur de l'angle au centre saillant soit il se situe à l'intérieur et correspond alors à l'angle au centre rentrant de l'autre côté.