1 Nửa Nhóm - Vị Nhóm. - Tài Liệu Text - 123doc

1. Trang chủ >
2. Giáo án - Bài giảng >
3. Toán học >

1 Nửa nhóm - Vị nhóm.

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.27 MB, 116 trang )

Đại Số Đại Cương- 43 -a1 • a2 • … • an–1 • an = (a1• … • ai) • (a i+1• … • aj) • … • (am+1• … • an)Chứng minh: Ta sẽ chứng minh đònh lí trên bằng phương pháp qui nạp theo n. Vì(X, •) là nửa nhóm nên khẳng đònh đúng với n = 3. Giả sử khẳng đònh đúng cho kphần tử ,với 3 ≤ k ≤ n –1, ta phải chứng minh khẳng đònh đúng với n phần tửphần tử . Xét tích x = (a1• … • ai) • (a i+1• … • aj) • … • (am+1• … • an) ta cóx =====(a1• …• am)•(am+1• …• an)(giả thiết qui nạp)(a1• …•am)• [(am+1• …•an–1)• an] (đònh nghóa của tích nhiều phần tử )[(a1• …•am)•(am+1• …•an–1)] • an (tính kết hợp)(a1• …•am • am+1• …• an–1) • an(giả thiết qui nạp)a1 • a2 • … • an–1 • an(đònh nghóa của tích nhiều phần tử )Từ đó khẳng đònh đúng với n phần tử .• Trong nửa nhóm (X. • ) ta gọi tích của n phần tử đều bằng a là lũy thừa n củaphần tử a và kí hiệu là an. Từ đònh lí 1.2 suy ra ngay các qui tắc:am an = am + n và (am)n = am n1.4 Đònh líTrong một nửa nhóm giao hoán (X, •) tích a1• a2 • … • an–1 • an không phụ thuộcvào thứ tự các nhân tử.Chứng minh: Ta sẽ chứng minh đònh lí trên bằng phương pháp qui nạp theo n. Vì(X, •) là nửa nhóm giao hoán nên khẳng đònh đúng với n = 2. Giả sử khẳng đònhđúng cho k phần tử ,với 2 ≤ k ≤ n –1, ta phải chứng minh khẳng đònh đúng với nphần tử. Ta sẽ chỉ ra (với σ là hoán vò bất kì của 1, 2, …, n )a1• a2 • … • an–1 • an = a σ(1) • a σ( 2) • … • a σ( n )Nếu an = a σ( k ) thì ta có thể viết vế phải của đẳng thức trên như sau nhờ đònh lí 1.3và tính giao hoán của phép toán • :a σ(1) …a σ( k −1) a σ( k ) a σ( k +1) … a σ( n )a σ( n ) )]= (a σ(1) …a σ( k −1) ) [a σ( k ) (a σ( k +1) …(do an = a σ( k ) và tính giao hoán) = (a σ(1) …a σ( k −1) ) [(a σ( k +1) … a σ( n ) )an]( do tính kết hợp)( do đònh lí 1.3)= [(a σ(1) …a σ( k −1) )(a σ( k +1) … a σ( n ) )]an.= (a σ(1) …a σ( k −1) a σ( k +1) … a σ( n ) )an.( theo giả thiết qui nạp)= (a1.a2 . … . an–1).an = a1.a2 . … . an–1.anĐỗ Nguyên SơnKhoa Toán TinĐại Số Đại Cương- 44 -2 Nhóm2.1 Đònh nghóa• Vò nhóm (X, *) được gọi là một nhóm nếu mỗi phần tử của X đều tồn tại phần tửnghòch đảo. Hay nói cách khác, cấu trúc đại số (X, *) được gọi là một nhóm nếu :a) (x * y) * z = x * (y * z)với mọi x, y, z ∈ Xb) Tồn tại phần tử e ∈ X sao cho e * x = x * e = x với mọi x ∈ Xc) Với mọi x ∈ X tồn tại y ∈ X sao cho x * y = y * x = e.• VÍ DỤ:1) Tập các số hữu tỉ Θ với phép cộng thông thường là một nhóm. Tập các sốhữu tỉ khác 0, kí hiệu Θ*, với phép nhân thông thường là một nhóm. Tập các sốthực và số phức 3 , ∀ với phép cộng thông thường là các nhóm. Tập các số thực vàsố phức khác 0, kí hiệu 3*, ∀*, với phép nhân thông thường là các nhóm.2) Tập hợp các số phức có modul bằng 1 với phép nhân thông thường là mộtnhóm.3) Tập hợp gồm hai số 1 , –1 với phép nhân là một nhóm. Tập hợp gồm bốnsố 1, –1, i, – i với phép nhân là một nhóm.4) Với X ≠ ∅, tập S(X) các song ánh từ X vào X là một nhóm dưới phép toánhợp các ánh xạ. Nhóm này được gọi là nhóm các hoán vò của tập X.5) Cho {(XI, •)} i∈I là một họ các nhóm. Đặt X = ∏ X i = {(xi) i∈I : xi ∈ Xi } lài∈Itích Descartes của họ {Xi} i∈I .Với (xi) i∈I và (yi) i∈I là hai phần tử của X, ta xácđònh tích của chúng bởi : (xi) i∈I • (yi) i∈I = (xI • yi) i∈I . Khi đó (X, • ) là một nhóm,trong đó phần tử đơn vò là 1 = (1 Xi ) i∈I và phần tử nghòch đảo của (xi) i∈I là−(x i 1 ) i∈I . Ta gọi X là tích Descartes hay tích trực tiếp của họ các nhóm {(Xi,•)} i∈I .• Một nhóm gồm chỉ một phần tử được gọi là nhóm tầm thường. Một nhóm nóichung có thể có vô hạn hoặc hữu hạn phần tử . Nếu X có hữu hạn phần tử thì ta nóiX là nhóm hữu hạn, và số phần tử của X được gọi là cấp của nhóm X. Các nhómtrong ví dụ 3) là các nhóm hữu hạn cấp hai và cấp 4. Nếu phép toán trên X có tínhgiao hoán thì ta nói X là nhóm giao hoán hay nhóm abel. Nhóm trong ví dụ 4) lànhóm không giao hoán.• Trong một nhóm nhân (X, • ) người ta có thể nói đến lũy thừa của một phần tửvới số mũ là một số nguyên bất kì bằng cách đặt:Đỗ Nguyên SơnKhoa Toán TinĐại Số Đại Cương- 45 -ankhi n > 0⎧⎪1an = ⎨khi n = 0⎪ (a −1 ) −n khi n < 0⎩2.2 Các tính chất cơ bản của nhómTính chất 1: Phần tử đơn vò của một nhóm là duy nhất.Chứng minh:Giả sử nhóm (X, • ) có hai phần tử đơn vò là 1 và 1* thì 1 = 1•1* = 1*.Tính chất 2: Mỗi phần tử của nhóm chỉ có duy nhất một phần tử nghòch đảo.Chứng minh: Giả sử phần tử a của nhóm (X, • ) có hai phần tử nghòch đảo là bvà b* thì b = 1• b = (b*• a) • b = b* • (a • b) = b*• 1 = b*.Tính chất 3: Trong một nhóm luật giản ước thực hiện được với mọi phần tử, tức làtừ đẳng thức a • b = a • c hoặc b • a = c • a kéo theo b = c.Chứng minh: Giả sử a, b, c là các phần tử của nhóm (X, •) thỏa mãn đẳng thức a b= a c. Nhân bên trái hai vế của đẳng thức này với a–1, ta cóa–1(a b) = a–1(a c), hay (a–1a) b = (a–1a) c, hay 1b = 1c, tức là b = c.Tính chất 4: Trong nhóm (X,• ) ta có−1) (a b)–1 = b–1 a–1, hoặc tổng quát hơn, (a1 a2 … an–1 an)–1 = a −1 a −11 …a −1 a 1 1 ,nn−2và đặc biệt, (an)–1 = (a–1)n, trong đó n ∈ ∠ .2) an am = an+m và (an)m = an mChứng minh:1) Vìvới mọi n, m ∈ 9 .(ab)(b–1a–1) = a(bb–1)a–1 = aa–1 = 1(b–1a–1)(ab) = b–1(a–1a)b–1 = b–1b = 12) Nếu n = 0 hoặc m = 0 là hiển nhiên. Nếu n, m > 0 , các công thức được suy rarừ đònh lí 1.2. Nếu m , n < 0 thìan am = (a–1)–n(a–1)– m = (a–1)(–n) + (–m) = (a–1)– (n + m)Đỗ Nguyên Sơn= an+mKhoa Toán TinĐại Số Đại Cương(an)m- 46 -= [(a–1)– n] m = [(a–n)–1]m = (a–n) – m = an m .Nếu m < 0 < n thì(an)mna am= ((an)–1 )– m = ((a–1)n)– m = (a–1)n (– m) = (a–1) – n m = an m⎧ a n + m a − m (a − m ) −1= ⎨ n −1 n −1 −m−n⎩ a (a ) (a )khi n + m ≥ 0khi n + m < 0= an + m.Tính chất 5:Cho (X, • ) là một nửa nhóm. Khi đó ba điều sau đây là tương đương:1) (X, • ) là một nhóm.2) Với mọi phần tử a, b của X, phương trình ax = b cũng như phương trìnhya = b có nghiệm duy nhất.3) Trong X tồn tại phần tử đơn vò trái ( tương ứng: đơn vò phải) và mọi phần tửcủa X đều có nghòch đảo trái(tương ứng: nghòch đảo phải).Chứng minh:(1 ⇒ 2) Ta thấy ngay giá trò x = a–1b là nghiệm của phương trình. Đó là nghiệmduy nhất vì nếu c cũng là nghiệm của phương trình, tức là ac = ax = b thì c = x.(2 ⇒ 3) Gọi e là nghiệm của phương trình ya = a. Ta sẽ chỉ ra e là phần tửđơn vò trái. Thật vậy, với mọi phần tử b bất kì của X , nếu gọi c là nghiệm củaphương trình ax = b, thì ta có eb = e(ac) = (ea)c = ac =b.Giả sử a là một phần tử bất kì của X, khi đó phần tử nghòch đảo trái của a lànghiệm của phương trình ya = e.(3 ⇒ 1) Giả sử trong X tồn tại phần tử đơn vò trái e và mọi phần tử của X đều cónghòch đảo trái. Lấy một phần tử bất kì a của X. gọi a–1 là nghòch đảo trái của a và(a–1)–1 là nghòch đảo trái của a–1. Khi đó ta cóaa–1 = e(aa–1) = ((a–1)–1 a–1) (aa–1) = (a–1)–1(a–1 a)a–1 = (a–1)–1(ea–1)= (a–1)–1a–1 = e.Mặt khác, với mọi phần tử b của X, gọi b–1 là nghòch đảo trái (và cũng là nghòchđảo phải) của b thì ta có : be = b(b–1b) = (bb–1)b = eb = b.Vậy, e là phần tử đơn vò của X và a–1 là phần tử nghòch đảo của a và do đó X làmột nhóm.Đỗ Nguyên SơnKhoa Toán TinĐại Số Đại Cương- 47 -3. Nhóm con3.1 Đònh nghóa• Cho (X, • ) là một nhóm , và H là một tập con của X. H được gọi là ổn đònh (đốivới phép toán • trong X) nếu và chỉ nếu a • b ∈ H với mọi a, b ∈ H. Khi đó người tacũng nói rằng, phép toán trên X cảm sinh một phép toán trên H.• Ta nói một bộ phận ổn đònh H của nhóm X là một nhóm con của X nếu H cùngvới phép toán cảm sinh là một nhóm.CHÚ Ý: Nếu H là nhóm con của nhóm (X, • ) thì phần tử đơn vò của X là 1X nằmtrong H. Thật vậy, gọi 1H là phần tử đơn vò của nhóm (H,• ). Khi đó ta có 1H • 1H= 1H và 1H • 1X = 1H , từ đó suy ra 1H • 1H = 1H • 1X , và do luật giản ước trongnhóm ta có 1X = 1H ∈ H.3.2 Đònh lí (tiêu chuẩn để nhận biết một nhóm con)Giả sử H là một tập con khác ∅ của một nhóm (X, • ). Khi đó ba điều sau đây làtương đương:1) H là một nhóm con của X.2) ab ∈ H và a–1 ∈ H với mọi a, b ∈ H .3) ab–1 ∈ H với mọi a, b ∈ H.Chứng minh:(1 ⇒ 2) Vì H là bộ phận ổn đònh của nhóm X nên ab ∈H với mọi a, b ∈ H. Xét a làmột phần tử bất kì của H , giả sử a −1 là phần tử nghòch đảo của a trong H và a −1HXlà nghòch đảo của a trong X. Khi đó a −1 .a = 1H = 1X = a −1 a, và do luật giản ướcHXtrong nhóm ta có a −1 = a −1 ∈ H.XH(2 ⇒3) Điều này là rõ ràng.(3 ⇒1) Vì H ≠ ∅ nên tồn tại phần tử a ∈H, từ đó theo giả thiết 1X = aa–1 ∈ H. Vớimọi b ∈ H, gọi b −1 là phần tử nghòch đảo của b trong X, từ 1X ∈ H và từ giả thiếtXsuy ra b −1 =1X .b −1 ∈ H. Bây giờ với mọi a, b ∈H, khi đó b–1 ∈ H và do giả thiếtXX–1 –1ab = a (b ) ∈H. Điều này chứng tỏ • cũng là phép toán trên H, và do phép toánđã cho trong X có tính kết hợp nên (H. • ) là nửa nhóm. Ngòai ra H có phần tử đơnvò là 1H :=1X và phần tử a ∈ H có phần tử nghòch đảo là a −1 := a −1 . Từ đó (H, •HX) là một nhóm.• VÍ DỤ:1) Cho nhóm (X, • ). Bộ phận {1X} và X là hai nhóm con của nhóm X, chúngđược gọi là các nhóm con tầm thường của nhóm XĐỗ Nguyên SơnKhoa Toán TinĐại Số Đại Cương- 48 -2) (Θ ,+) là nhóm con của (3 , +). Nhóm các số phức có modul bằng 1 lànhóm con của nhóm nhân (∀*, • ). Nhóm ({1, –1}, •) là nhóm con của nhóm ({1,–1, i, –i}, •).3) Cho (G,• ) là một nhóm. Khi đó Z(G) = {x ∈ G : xg = gx, với mọi g ∈ G}là một nhóm con giao hoán của nhóm G. Thật vậy, với mọi a, b ∈ Z(G) và với mọig ∈G ta có(ab)g = a(bg) = a(gb) = (ag)b = (ga)b = g(ab),tức là ab ∈ Z(G).Mặt khác, từ ag = ga suy raa–1 (ag)a–1 = a–1 (ga)a–1(a–1a)(ga–1) = (a–1g)(aa–1)ga–1 = a–1g,tức là a–1 ∈ Z(G). Tính giao hoán của (ZG) là rõ ràng. Nhóm con Z(G) được gọi làtâm của nhóm G.4) Cho (9, +) là nhóm nhân các số nguyên. Đặt n9 = {nk : k ∈ 9}. Khi đón9 là một nhóm con của (9, +). Hơn nữa, mọi nhóm con của (9, +) đều códạng m9 với m là một số nguyên nào đó.Thật vậy, n9 là nhóm con vì nx – ny = n(x – y) ∈ n9. Bây giờ, gọi H là một nhómcon bất kì của nhóm (9, +). Nếu H ={0} thì H = 09. Nếu H ≠ {0} thì tồn tại sốnguyên k ∈ H với k ≠ 0. Khi đó – k cũng thuộc H do H là nhóm con. Như vậy,trong H có ít nhất một số dương. Gọi m là số dương nhỏ nhất trong H. Ta sẽ chỉ raH = m9 . Trước hết H ⊂ m9, thật vậy, lấy x là một phần tử bất kì của H. Từ phépchia trong 9 ta được x = mq + r, với 0 ≤ r < m. Nếu 0 < r < m thì từ r = x – mq ∈H dẫn đến mâu thuẫn với việc m là số dương nhỏ nhất của H, vậy ta phải có r = 0.Từ đó x = mq ∈ m9. Bao hàm thức ngược lại m9 ⊂ H là rõ ràng.4) Giao của một họ bất kì các nhóm con của một nhóm G cũng là một nhómcon của nhóm G.Thật vậy, xét một họ bất kì {Xi} i∈I các nhóm con của (G, • ) và X là giao củachúng. Lấy hai phần tử bất kì x, y của X, khi đó x,y ∈ Xi với mọi i ∈I. Vì Xi là cácnhóm con nên xy–1 ∈ Xi với mọi i ∈I, do đó xy–1 ∈ X. Từ đònh lí 3.2 suy ra X là mộtnhóm con của G.• NHẬN XÉT: Nếu A là một tập con của nhóm G, thì A sẽ chứa trong ít nhất mộtnhóm con của G, chẳng hạn G. Theo ví dụ 4) giao của tất cả các nhóm con của Gchứa A cũng là một nhóm con chứa A. Có thể kiểm tra dễ dàng rằng đó là nhómcon bé nhất chứa A, tức là nó chứa trong mọi nhóm con chứa A của G.3.3 Nhóm con sinh bởi một tập con của nhómĐỗ Nguyên SơnKhoa Toán TinĐại Số Đại Cương- 49 -• Có một con đường tổng quát để thu được các nhóm con từ một nhóm. Xét S làmột tập con khác ∅ của nhóm (G, •). Đặt:εε< S > = {a 11 a 22 … a ε n : ai ∈ S, ε i = ± 1, n ∈ ∠}nKhi đó, < S > là nhóm con của G và là nhóm con bé nhất chứa S.Thật vậy, nếu x, y ∈ < S > thì rõ ràng xy–1 ∈ < S >, tức là < S > là một nhóm concủa G. Gọi H là giao của tất cả các nhóm con của G chứa S. Vì nhóm con H chứamọi phần tử a ∈ S nên < S > ⊂ H. Vì < S > hiển nhiên chứa S nên < S > = H.Vậy, < S > là nhóm con bé nhất của G chứa S.• < S > được gọi là nhóm con sinh bởi S. Ta cũng nói rằng S tập các phần tử sinhcủa < S >.• Nếu S = {a} thì < S > gồm tất cả các phần tử có dạng an với n ∈ 9 . Trong trườnghợp này ta thường viết (a) thay cho < {a}> và gọi nó là nhóm con cyclic của Gsinh bởi a.• VÍ DỤ:1) Xét nhóm cộng các số nguyên (9 , +). Khi đó (1) = 9.2) Xét nhóm nhân các số phức ( ∀, • ). Khi đó ( i ) = {1, –1, i, – i }.4. Nhóm con chuẩn tắc - Nhóm thương4.1 Lớp kề - Quan hệ tương đương xác đònh bởi một nhóm con• Cho (G, • ) là một nhóm, H là một nhóm con của nó và a là phần tử của G. Tậphợp tất cả các phần tử ax với x ∈ H được gọi là lớp kề trái ( hay lớp ghép trái)của H trong G. Ta kí hiệu nó bởi aH.• Cho (G, • ) là một nhóm, H là một nhóm con của nó. Trên G ta xác đònh mộtquan hệ ~ như saux ~ y ⇔ x–1y ∈ HQuan hệ ~ xác đònh ở trên là một quan hệ tương đương. Thật vậy, vì H là nhóm connên x–1x = 1 ∈ H , tức là x ~ x (tính phản xạ). Giả sử x và y là hai phần tử bất kì củaG sao cho x ~ y, tức là x–1y ∈ H. Vì H là nhóm con nên ta có (x–1y)–1 = y–1x ∈ H,tức là y ~ x. Vậy ~ có tính đối xứng. Cuối cùng, giả sử x, y, z là ba phần tử bất kìcủa G sao cho x ~ y và y ~ z, tức là x–1y, y–1z ∈ H. Từ H là nhóm con suy ra (x–1y)( y–1z) = x–1(y y–1)z = x– 1z ∈ H. Vậy ~ là bắc cầu.• NHẬN XÉT:Đỗ Nguyên SơnKhoa Toán TinĐại Số Đại Cương- 50 -1) Quan hệ tương đương ~ nói đến ở trên chia G thành các lớp tương đương. Kíhiệu a sẽ được dùng để chỉ lớp tương đương chứa phần tử a, khi đóa = aH = {ax : x ∈ H}Thật vậy, giả sử b là một phần tử bất kì thuộc lớp tương đương a , khi đó a~b, tứclà a–1b ∈ H, từ đó b = a (a–1b) ∈ aH. Vậy a ⊂ aH. Ngược lại, giả sử b là mộtphần tử bất kì thuộc aH, khi đó tồn tại một phần tử x thuộc H sao cho b = ax hay x= a–1b, tức là a–1b ∈ H. Vậy a ~ b và từ đó aH ⊂ a .Từ nhận xét 1) suy ra rằng, đối với hai lớp kề bất kì aH và bH của H trong G thìhoặc là chúng trùng nhau hoặc là chúng rời nhau.2) Lớp kề aH trùng với H khi và chỉ khi a ∈H. Thật vậy, giả sử có aH = H. Gọi e làphần tử đơn vò của G, do H là nhóm con nên e ∈H, từ đó a = ae ∈ aH = H. Ngượclại, giả sử a ∈H, ta sẽ chỉ ra aH = H. Vì H là nhóm con nên từ a ∈H suy ra ax ∈ Hvới mọi x ∈ H và điều này có nghóa là aH ⊂ H. Bây giờ giả sử b là một phần tử bấtkì của H. Vì H là nhóm con nên a–1 ∈ H và a–1b ∈ H, từ đó b = (a a–1)b = a(a–1b)∈ aH. Vậy H ⊂ aH.• Hoàn toàn tương tự, ta kí hiệu Ha là lớp kề phải của H trong G, nó gồm tất cảcác phần tử xa với x ∈ H, và trùng với lớp tương đương a chứa phần tử a trongquan hệ tương đương được xác đònh bởix ~ y ⇔ xy–1 ∈ HTrong các phần sau, nếu không chỉ rõ, ta nói lớp kề có nghóa là lớp kề trái.• Nếu dùng dấu + để kí hiệu phép toán trong nhóm G, thì lớp kề trái và phải của Htrong G sẽ được viết làa + H = {a + x : x ∈ H}; H + a = {x + a : x ∈ H}Còn các quan hệ tương đương sẽ được viết làx ~ y ⇔ (– x )+ y ∈ H ;x ~ y ⇔ y + (– x) ∈ H )4.2 Mệnh đềCho G là một nhóm, và H là một nhóm con. Khi đó số các phần tử của một lớp kềaH bằng số các phần tử trong H.Đỗ Nguyên SơnKhoa Toán TinĐại Số Đại Cương- 51 -Chứng minh: Xét ánh xạ H → aH, x a ax. Ánh xạ này là một song ánh, thật vậyrõ ràng nó là tòan ánh, hơn nữa nó là đơn ánh vì từ ax = ax' suy ra x = x' (luật giảnước trong nhóm). Vì G hữu hạn nên H cũng hữu hạn, từ đó số phần tử của H phảibằng số phần tử của aH.• Cho G là một nhóm, và H là một nhóm con. Số các lớp kề rời nhau của H trongG được gọi là chỉ số của H trong G. Chỉ số này tất nhiên có thể là vô hạn. Nếu Glà nhóm hữu hạn, thì chỉ số của một nhóm con bất kì là hữu hạn. Chỉ số của mộtnhóm con H trong G sẽ được kí hiệu là (G : H).4.3 Đònh lí (Lagrange)Cho G là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con. Khi đó(cấp của G) = (G : H) × (cấp của H)Chứng minh:Vì G hữu hạn nên số các lớp kề (G : H) là hữu hạn, khi đó G được phân hoạchthành (G : H) lớp, số phần tử của mỗi lớp, theo mệnh đề 5.3, bằng cấp của H.Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.• NHẬN XÉT:1) Đònh lí Lagrange cũng chỉ ra rằng cấp của một nhóm con của một nhómhữu hạn là ước của cấp của nhóm đó.2) Sau đây là một ứng dụng của đònh lí Lagrange. Giả sử G là một nhóm hữuhạn cấp n. Khi đó, với mọi x ∈ G ta có xn = e.Thật vậy, xét nhóm con cyclic của G sinh bởi x : H =(x) = {xk, k ∈ 9}.Vì H hữu hạnnên tồn tại những lũy thừa cuả x bằng nhau, chẳng hạn xk = xm (với k > m). Khiđó, xk –m = xm – m = a0 = e. Vậy tồn tại những số mũ nguyên dương l sao cho xl = e.Gọi s là số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất ấy. Ta chỉ ra rằng các phần tử x0 =e, x, x2, …, xs – 1 là khác nhau, và mọi phần tử của H đều bằng một trong các phầntử ấy. Trước hết các phần tử nói ở trên là khác nhau, vì nếu xk = xm với 0 ≤ m < k≤ s –1, thì ta có xk –m = e với 0 < k – m < s, nhưng điều này mâu thuẩn với giảthiết về s. Bây giờ, giả sử a là một phần tử bất kì của H, tức là a = xk với k là mộtsố nguyên nào đó. Chia k cho s ta được k = sq + r với 0 ≤ r < s. Khi đó a = xk =xsq + r = (xs)qxr = exr = xr. Từ đó suy ra cấp của H bằng s. Theo đònh lí Lagrange thì slà ước của n, tức là n = sp.Từ đó xn = xsp = (xs)p = ep = e.4.4 Nhóm con chuẩn tắc• Một nhóm con H của một nhóm G được gọi là nhóm con chuẩn tắc nếu và chỉnếu xH = Hx với mọi x ∈ GĐỗ Nguyên SơnKhoa Toán TinĐại Số Đại Cương- 52 -• Có thể phát biểu đònh nghóa nhóm con chuẩn tắc dưới dạng tương đương:Một nhóm con H của nhóm G là chuẩn tắc khi và chỉ khi x–1a x ∈ H với mọi a ∈H và mọi x ∈ G.Ta sẽ chỉ ra rằng hai đònh nghóa nêu ở trên là tương đương. Thật vậy, giả sử có xH= Hx với mọi x ∈ G. Gọi a là phần tử bất kì của H, khi đó tồn tại a' ∈ H sao cho xa= a'x, suy ra a = x–1a' x ∈ H. Ngược lại, giả sử có x–1a x ∈ H với mọi a ∈ H vàmọi x ∈ G. Với phần tử a bất kì thuộc H, và x ∈ G ta chỉ cần chỉ ra tồn tại haiphần tử a' và a'' ∈ H sao cho xa = a''x và ax = xa', vì khi đó suy ra ngay xH = Hx.Có thể thấy hai phần tử a, a'' cần tìm là a' = x–1a x ∈ H và a'' = (x–1)–1ax–1 = x ax–1∈ H.• CHÚ Ý: Điều kiện với mọi x ∈ X : xH = Hx không có nghóa là với bất kì athuộc H thì phải có xa = ax mà điều kiện này chỉ có nghóa là với mỗi a ∈ H sẽ tồntại a' ∈ H sao cho xa = a'x.• VÍ DỤ:1) Mọi nhóm con của một nhóm giao hoán đều chuẩn tắc. Chẳng hạn n9 lànhóm con chuẩn tắc của nhóm ( 9 , +).2) Tâm của nhóm G, Z(G) = {x ∈ G : gx = xg, với mọi g ∈G}, là nhóm conchuẩn tắc của G. Thật vậy, với mọi x ∈ G, với mọi h ∈ Z(G) ta cóx–1h x = x–1 (h x) = x–1 (x h) = (x–1 x) h = h ∈ Z(G).3) Nếu S và T là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G thì S ∩ T cũng là nhómcon chuẩn tắc của G. Thật vậy, với mọi x ∈ G, với mọi h ∈ S ∩ T, vì h ∈ S và h ∈T nên x–1h x ∈ S và x–1h x ∈ T, từ đó x–1h x ∈ S ∩ T.4) Xét nhóm các phép thế S3 = {song ánh σ : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}} với phéptoán hợp các ánh xạ mà các phần tử là (ở đây, kí hiệu σ = ( σ (1) σ (2) σ (3))):σ 1 = (123), σ 2 = (132), σ 3 = (213), σ 4 = (231), σ 5 = (312), σ 6 = (321)Khi đó nhóm con H = { σ 1, σ 4, σ 5} là chuẩn tắc vìσ 1H = H σ 1 = H, σ 2H = H σ 2 = { σ 2, σ 3, σ 6}; σ 3H = H σ 3 = { σ 3, σ 2, σ 6};σ 4H = H σ 4 = H, σ 5H = H σ 5 = H, σ 6H = H σ 6 = { σ 6, σ 3, σ 2}.4.5 Nhóm thương• Cho (G, •) là nhóm và H là một nhóm con chuẩn tắc của G. Xét tập G/H gồm cácĐỗ Nguyên SơnKhoa Toán TinĐại Số Đại Cương- 53 -lớp kề trái aH (cũng là kề phải do H là chuẩn tắc), chú ý rằng nó cũng là tậpthương đối với quan hệ tương đương đã nói trong 5.1Ta sẽ xây dựng một cấu trúc nhóm trên tập G/H bằng cách xác đònh phép tóannhân trên G/H như sauaH • bH = abHVới mọi a, a', b, b' ∈ G, nếu (aH, bH) = (a'H, b'H) thì abH = a'b'H ( do (ab)–1a' b' = b–1 (a–1 a') b' = (b–1 (a–1 a') b)(b–1 b') ∈ H ). Vậy • thực sự là một phép tóantrong trên G/H. Nó có tính kết hợp , phần tử đơn vò là 1GH, phần tử nghòch đảo củaaH là a–1H. Khi đó (G/H, •) là một nhóm và được gọi là nhóm thương của G trênH.• Nếu G là nhóm cộng thì phép tóan trên tập thương G/H sẽ được viết(a + H) + (b + H) = (a + b) + Hvà nhóm thương (G/H, + ) có phần tử đơn vò là 0 + H, phần tử nghòch đảo của a + Hlà (–a) + H• VÍ DỤ: Xét (9 , +) là nhóm cộng các số nguyên, (m 9 ,+) là nhóm con và làchuẩn tắc do (9 ,+) giao hóan.Tâp thương9/m 9 = { a = a + m 9 : 0≤ a ≤ m –1}cùng với phép tóan (a + m9) + (b + m9) = (a + b) + m9tạo thành nhóm thương (9 /m 9 , +), còn được kí hiệu 9m , và được gọi là nhóm cácsố nguyên modulo m . Phần tử đơn vò là 0 = 0 + m9, phần tử nghòch đảo của alà − a .• CHÚ Ý: Trên 9m , xét phép toán nhân a b = ab . Nếu m là số nguyên tố thì9m – { 0 } là nhóm giao hoán với phần tử đơn vò là 1 phần tử nghòch đảo của a là bvới ab ≡ 1( mod m)• Minh họa trong 95Đỗ Nguyên SơnKhoa Toán Tin

Xem Thêm

Tài liệu liên quan

• giáo trình đại số đại cương
  • 116
  • 3,286
  • 61
• Nghị định 10/CP năm 1995 về tổ chức, nhiệm vụ và quyền hạn của quản lý thị trường
  • 4
  • 0
  • 0
• Công văn 8800/TC/TCT của Bộ Tài chính về việc miễn thuế hàng quà tặng
  • 1
  • 0
  • 0
• Quyết định 583/2005/QĐ-UB về Bộ đơn giá bồi thường thiệt hại tài sản trong giải phóng mặt bằng trên địa bàn tỉnh Thanh Hóa do Ủy ban nhân dân tỉnh Thanh Hóa ban hành
  • 2
  • 0
  • 0
• Công văn số 1920 TCT/DNK của Tổng cục Thuế về chính sách miễn, giảm thuế TNDN đối với cơ sở SX, KD mới thành lập thuộc diện ưu đãi đầu tư
  • 1
  • 0
  • 0
• Công văn 3629/BCT-XNK về tạm xuất tái nhập để bảo hành, sửa chữa do Bộ Công thương ban hành
  • 1
  • 0
  • 0
• Công văn số 3680/TCT-PCCS về việc thuế suất thuế giá trị gia tăng đối với mặt hàng valy nhựa đựng dụng cụ thí nghiệm của Công ty TNHH nhựa Ngọc Hải do Tổng cục Thuế ban hành
  • 1
  • 0
  • 0
• Công văn số 2179/TCT-PC về việc ưu đãi miễn, giảm thuế thu nhập doanh nghiệp do Tổng cục Thuế ban hành
  • 1
  • 0
  • 0
• Công văn số 2690/VPCP-TCCV về việc dự thảo Quy chế tổ chức tôn vinh danh hiệu và trao giải thưởng chất lượng sản phẩm cho các doanh nghiệp do Văn phòng Chính phủ ban hành
  • 1
  • 0
  • 0
• Thông tư 27-TT năm 1961 về việc Đường sắt cung cấp toa xe bằng chở hàng hóa do Bộ Giao Thông Vận Tải ban hành.
  • 1
  • 0
  • 0
• Thông tư liên tịch 35-TT/LB năm 1994 hướng dẫn quản lý ngân sách giáo dục và đào tạo do Bộ Giáo dục và đạo tạo - Bộ Tài chính ban hành
  • 3
  • 0
  • 0

Tải bản đầy đủ (.pdf) (116 trang)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(2.27 MB) - giáo trình đại số đại cương-116 (trang) Tải bản đầy đủ ngay ×