120 Bài Tập Cực Trị Của Hàm Số Chọn Lọc, Có Lời Giải (nâng Cao

120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 2)

• Sổ tay toán lý hóa 12 chỉ từ 29k/cuốn

Trang trước Trang sau

Với 120 Bài tập Cực trị của hàm số (nâng cao - Phần 2) có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài tập Cực trị của hàm số (nâng cao - Phần 2).

120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 2)

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Câu 31: Biết rằng hàm số f(x) có đạo hàm là f'(x) = x.(x - 1)2.(x - 2)3.(x - 3)5. Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

Quảng cáo

A. 4 B. 3

C. 2 D. 1

Lời giải:

Ta có

Tuy nhiên lại xuất hiện nghiệm kép tại x = 1 (nghiệm kép thì y' qua nghiệm không đổi dấu) nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 32: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x = -1.

B. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x = 1.

C. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x = -2.

D. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x = -2.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x), ta có các nhận xét sau:

• f'(x) đổi dấu từ “-” sang “+” khi đi qua điểm x = -2

Suy ra x = - 2 là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).

• f'(x) không đổi dấu khi đi qua điểm x = -1, x = 1

Suy ra x = -1, x = 1 không là các điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = -2

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 33: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(|x + m|) có 5 điểm cực trị ?

A. 3 B. 4

C. 5 D. Vô số.

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số f'(x) ta thấy f'(x) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm)

Suy ra: f(x) có 2 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị ( gồm 2 điểm cực trị âm, 2 điểm cực trị dương và điểm x = 0).

Suy ra: f(|x + m|) có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số).

Chú ý: Đồ thị hàm số f(|x + m|) có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.

Đồ thị hàm số f(|x| + m) có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.

Suy ra chọn đáp án D.

Quảng cáo

Câu 34: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị ?

A. 2 B. 3

C. 4 D. Vô số.

Lời giải:

Từ đồ thị f'(x) ta có:

Suy ra bảng biến thiên của f(x)

Yêu cầu bài toán trở thành hàm số f(x + m) có 2 điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số f(|x| + m) có đúng 5 điểm cực trị).

Từ bảng biến thiên của f(x) suy ra f(x + m) luôn có 2 điểm cực trị dương ⇔ tịnh tiến f(x) (sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn

• Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị nên m < 1.

• Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị nên .

Suy ra -2 ≤ m < 1 -m ∈ Z→ m ∈ {-2; -1; 0}

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 35: Với giá trị nào của thì hàm số y = x4 – 2mx2 + 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất?

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y' = 4x2 - 4mx

- Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 (1)

Gọi A(0;4), B(-√m; -m4 + 4), C(-√m; -m4 + 4)

SABC = 1/2.d(A;BC).BC = 1/2.|yB - yA|.|xC - xB| = 1/2.m2.2√m

+ Ta có: ; BC = 2√m

và nên:

Ta tìm min của R:

* Ta có:

Do đó:

Dấu “=” xảy ra khi:

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 36: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1).(x - 1)2.(x - 2) + 1 với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f(x) - x có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

Lời giải:

Ta có g(x) = f(x) – x nên:

g'(x) = f'(x) – 1 = (x + 1).(x - 1)2.(x - 2).

g' = 0 ⇔ (x + 1).(x - 1)2.(x - 2) = 0

Ta thấy x = -1 và x = 2 là các nghiệm đơn còn x = 1 là nghiệm kép nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 37: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x2 - 1).(4 - x) với mọi x∈ R. Hàm số g(x) = f(3 - x) có bao nhiêu điểm cực đại ?

A. 0 B. 1

C. 2 D.3

Lời giải:

Ta có: g'(x) = -f'(3 - x) = [(3 - x)2 - 1][4 - (3 - x)] = (2 - x)(4 - x)(x + 1);

g'(x) = 0 ⇔ (2 - x)(4 - x)(x + 1) = 0

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) đạt cực đại tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B.

Quảng cáo

Câu 38: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x2.(x - 1).(x - 4)2 với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f(x2) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

Lời giải:

Ta có g(x) = f(x2) nên g'(x) = 2xf'(x2) = 2x5(x2 - 1)(x2 - 4)2

g'(x) = 0 ⇔ 2x5(x2 - 1)(x2 - 4)2 = 0

Ta thấy x = 1, x = -1(là hai nghiệm đơn) và x = 0 (là các nghiệm bội lẻ) nên hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.

Tại x = 2 và x = -2 là nghiệm bội chẵn nên hai điểm này không là điểm cực trị của của hàm số.

Vậy hàm số g(x) = f(x2) có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 39: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x2 - 2x với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f(x2 – 8x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

Lời giải:

Ta có: g'(x) = 2(x - 4).f'(x2 - 8x) = 2(x - 4)[(x2 - 8x)2 - 2(x2 - 8x)];

g'(x) = 0 ⇔ 2(x - 4)[(x2 - 8x)2 - 2(x2 - 8x)] = 0

Ta thấy x = 4 + 3√2 hoặc x = 4 - 3√2, x = 0, x = 8 và x = 4 đều là các nghiệm đơn nên hàm số g(x) có 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 40: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 3 liên tục trên R và thỏa mãn f(x).f'''(x) = x(x - 1)2(x + 4)3 với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = [f'(x)]2 - 2f(x).f''(x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1 B. 2

C. 3 D. 6

Lời giải:

Ta có: g'(x) = 2f''(x).f'(x) - 2f'(x).f''(x) - 2f(x).f'''(x) = -2f(x).f'''(x);

g'(x) = 0 ⇔ f(x).f'''(x) = 0 ⇔ x(x - 1)2(x + 4)3 = 0

Ta thấy x = 0 và x = -4 là các nghiệm đơn, x = 1 là nghiệm bội chẵn nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị tại x = 0 và x = -4.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 41: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên R và thỏa mãn [f'(x)]2 + f(x).f''(x) = 15x4 + 12x với mọi x. Hàm số g(x) = f(x).f'(x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

Lời giải:

Ta có: g'(x) = [f'(x)]2 + f(x).f''(x) = 15x4 + 12x

g'(x) = 0 ⇔ 15x4 + 12x = 0

Nhận thấy x = 0 và

là các nghiệm bội lẻ nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Quảng cáo

Câu 42: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)4.(x - 2)5.(x + 3)3 với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là

A. 1 B. 3

C. 5 D. 7

Lời giải:

Ta có: f'(x) = 0 ⇔ (x + 1)4(x - 2)5(x + 3)3 = 0

Do f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua x = -3 và x = 2.

⇒ hàm số f(x) có 2 điểm cực trị x = -3 và x = 2 trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị (cụ thể là x = -2, x = 0, x = 2 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|).

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 43: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1).(x - 2)4.(x2 – 4) với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là

A. 1 B. 3

C. 5 D. 7

Lời giải:

* Ta có: f'(x) = 0 khi (x - 1).(x - 2)4.(x2 - 4) = 0

* Do f'(x) đổi dấu khi x đi qua các điểm điểm x = 1, x = 2 hoặc x = -2 nên hàm số f(x) có 3 điểm cực trị nhưng chỉ có 2 điểm cực trị dương là x = 1 và x = 2.

* suy ra: hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị (cụ thể là x = 2 hoặc x = -2; x = 1 hoặc x = -1; x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|)).

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 44: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x.(x + 2)4.(x2 + 4) với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là

A. 0 B. 1

C. 3 D. 5

Lời giải:

Ta có f'(x) =0 khi và chỉ khi: x.(x + 2)4.(x2 + 4) = 0

* Do f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua điểm x = 0 ∈ Oy

Nên hàm số f(x) có 1 điểm cực trị x = 0 ∈ Oy

Suy ra, hàm số f(|x|) có 1 điểm cực trị (cụ thể là x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|).

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 45: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x2.(x + 1).(x2 + 2mx + 5) với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m > -10 để hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị ?

A. 6 B. 7

C. 8 D. 9

Lời giải:

Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f(|x|) nên yêu cầu bài toán khi và chỉ khi f(x) có 2 điểm cực trị dương. (*)

Xét:

Do đó (*) xảy ra khi (1) có hai nghiệm dương phân biệt :

-m > -10, m ∈ Z→ m ∈ {-9; -8; -7; -6; -5; -4; -3}.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 46: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)2(x2 + m2 - 3m - 4)3(x + 3)5 với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số g(x) = f(|x|) có 3 điểm cực trị ?

A. 3 B. 4

C. 5 D.6

Lời giải:

Xét f'(x) = 0

Để hàm số g(x) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f(x) có 1 điểm cực trị dương. Khi đó, (1) có hai nghiệm trái dấu nên: m2 - 3m - 4 < 0 ⇔ -1 < m < 4

-m ∈ Z→ m ∈ {0; 1; 2; 3}

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 47: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)4.(x - m)5.(x + 3)3 với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-5, 5] để hàm số g(x) = f(|x|) có 3 điểm cực trị ?

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

Lời giải:

Xét f'(x) = 0

• Nếu m = -1 thì hàm số f(x) có hai điểm cực trị âm (x = -3, x = -1). Khi đó, hàm số f(|x|) chỉ có 1 cực trị là x = 0. Do đó m = -1 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Nếu m = -3 thì hàm số f(x) không có cực trị. Khi đó, hàm số f(|x|) chỉ có 1cực trị là x = 0. Do đó m = -3 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Khi

thì hàm số f(x) có hai điểm cực trị là x = m và x = -3 < 0

Để hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị thì hàm số f(x) phải có hai điểm cực trị trái dấu

⇔ m > 0 -m ∈ Z, m ∈ [-5;5]→ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5}

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 48: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x2.(x + 1).(x2 + 2mx + 5) với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g(x) = f(|x|) có đúng 1 điểm cực trị ?

A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

Lời giải:

Xét f'(x) = 0

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

Trường hợp 1. Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt:

Trường hợp này không có giá trị nguyên âm nào của m thỏa mãn.

Trường hợp 2. Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

⇔ Δ' = m2 - 5 ≤ 0

⇔ -√5 ≤ m ≤ √5 -m ∈ Z-→ m ∈ {-2; -1}

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 49: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)2.(x2 – 2x) với mọi x. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = f(x2 - 8x + m) có 5 điểm cực trị ?

A. 15 B. 16

C. 17 D. 18

Lời giải:

Xét f'(x) = 0 ⇔ (x - 1)2(x2 - 2x) = 0

Ta có: g'(x) = 2(x - 4).f'(x2 - 8x + m);

g'(x) = 0 ⇔ 2(x - 4).f'(x2 - 8x + m) = 0

Yêu cầu bài toán trở thành g'(x) = 0 có 5 nghiệm bội lẻ hay mỗi phương trình (1), (2) đều có hai nghiệm phân biệt khác 4. (*)

Xét đồ thị (C) của hàm số y = x2 – 8x và hai đường thẳng d1: y = -m, d2: y= -m + 2 (như hình vẽ).

Khi đó (*) xảy ra khi d1, d2 cắt (C) tại bốn điểm phân biệt ⇔ -m > -16 ⇔ m < 16

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn: {1, 2, 3, .., 15}

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 50: Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x) = f(x) - x đạt cực đại tại

A. x = - 1 B. x = 0

C. x = 1 D. x = 2

Lời giải:

Ta có: g'(x) = f'(x) - 1; g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 1

Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = 1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = -1

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 51: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số g(x) = f(-x2 + 3x) có bao nhiêu điểm cực đại ?

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

Lời giải:

Ta có g'(x) = (-2x + 3).f'(x2 + 3x)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 điềm cực đại.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 54: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm số g(x) = [f(x)]2 có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

D. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta có:

g'(x) = 2f'(x).f(x); g'(x) = 0

Ta có:

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g(x) có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 55: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g(x) = f[f(x)] có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy f(x) đạt cực trị tại x = 0, x = 2.

Suy ra

Ta có: g'(x) = f'(x).f'[f(x)];

Dựa vào đồ thị suy ra:

• Phương trình (1) có hai nghiệm x = 0 (nghiệm kép) và x = a (a > 2)

• Phương trình (2) có một nghiệm x = b (b > a)

Vậy phương trình g'(x) = 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g(x) = f[f(x)] có 4 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 56: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = 2f(x) – 3f(x)

A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

Lời giải:

Ta có: g'(x) = f'(x)[2f(x).ln2 - 3f(x).ln3];

Dựa vào đồ thị ta thấy:

• có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị).

• f(x) ≥ -1, ∀x ∈ R nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy hàm số g(x)= 2f(x) – 3f(x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 57: Để hàm số sau đạt cực đại tại x = 2 thì m thuộc khoảng nào ?

A. (0; 2) B. (-4; -2)

C. (-2; 0) D. (2; 4)

Lời giải:

• Tập xác định: D = R \ {-m}.

• Đạo hàm:

• Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y'(2) = 0

• Với m = -3

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên m = -3 ta nhận.

• Với m = -1

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 nên m = - 1 ta loại.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 58: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình bên. Đồ thị hàm số h(x) = |2f(x)- 3| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 4 B. 5

C. 7 D. 9

Lời giải:

Xét g(x) = 2f(x) + 3 nên g'(x) = 2.f'(x)

g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 0

Ta tính được:

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

• Đồ thị hàm số g(x) có 4 điểm cực trị.

• Đồ thị hàm số g(x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

Suy ra đồ thị hàm số h(x) = |2f(x) – 3| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 59: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số g(x) = f(|x - 2|) + 1 có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2 B. 3

C. 5 D. 7

Lời giải:

Đồ thị hàm số g(x) = f(|x - 2|) + 1 được suy ra từ đồ thị hàm số f(x) như sau:

Bước 1: Lấy đối xứng qua Oy nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua.

Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở bước 1 sang phải 2 đơn vị.

Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở bước 2 lên trên 1 đơn vị.

Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến bước 2 và bước 3. Từ nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) là 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 60: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Hỏi hàm số g(x) = f(x2 + 1) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

Lời giải:

Ta có g(x) = f(x2 + 1) nên g'(x) = 2x.f'(x2 + 1)

Vậy g'(x) = 0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x = 0 nên hàm số g(x) có 1 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 1)
• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 2)
• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 3)
• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 4)

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

• Sổ tay toán lý hóa 12 (29k/ 1 cuốn)
• Tổng ôn tốt nghiệp 12 toán, sử, địa, kinh tế pháp luật.... (80k/1 cuốn)
• 30 đề Đánh giá năng lực đại học quốc gia Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7)

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

1000 Đề thi bản word THPT quốc gia cá trường 2023 Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

Đề thi thử DGNL (bản word) các trường 2023

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

xem tất cả Trang trước Trang sau ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 12 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 12 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 12 Friends Global
• Lớp 12 Kết nối tri thức
• Soạn văn 12 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 12 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 12 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 12 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 12 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 12 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 12 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 12 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - KNTT
• Giải sgk Tin học 12 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 12 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 12 - KNTT
• Giải sgk Mĩ thuật 12 - KNTT
• Lớp 12 Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 12 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 12 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 12 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 12 - CTST
• Giải sgk Hóa học 12 - CTST
• Giải sgk Sinh học 12 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 12 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 12 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - CTST
• Giải sgk Tin học 12 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 12 - CTST
• Lớp 12 Cánh diều
• Soạn văn 12 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 12 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 12 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 12 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 12 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 12 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 12 - Cánh diều