123doc Bai Tap Nang Cao Chuyen De Nhung Hang Dang Thuc Dang ...

Tài liệu tuyển chọn các bài tập toán lớp 8 dành cho học sinh ôn thi lớp 10. Các dạng bài tập hay và tuyển chọn nhất dành cho học sinh và phụ huynh tham khảo. Thêm thông tin chi tiết và liên hệ vui lòng xem thêm trên facebook fb.comthinh.dc.5

BÀI TẬP VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

Thầy giáo : NGUYỄN ĐỨC THỊNH A/ Kiến thức

1) Giới thiệu bẩy hằng đẳng trong sgk

2) Bổ sung thêm các hằng đẳng thức

a) (a + b+ c)2 = a2 + b2 +c2 + 2ab + 2bc + 2ca

b)( a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

c)An – Bn = (A – B)(An-1+ A.Bn-2 + … + A.Bn-2 + Bn-1) ( Với n N, n > 1) 3) Khai thác phát triển thêm các hằng đẳng thức khác từ bảy hằng đẳng thức trong sgk

4) Giới thiệu tam giác Pascal

B/Bài tập

Dạng1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức

Rút gọn các biểu thức sau

1)(3x + 5a6 )2 2) 



























5

4 10

7 10

7 5

3)(2a + b – 5)(2a – b + 5)

4)(3x +2)3 5)(- x2 – 2y)3 6)(x2 - 2y )3

7)(3x – 4)(9x2 + 12x + 16) 8) (4x – 1)2 – (x + 1)(x – 1)

9) (5x + 8)2 + (5x – 8)2 10) (x + 2)(x- 2)(x2 + 4)- (x2 + 1)(x2 – 1) 11)( 3

2

x













2

3 4

x

12)(5x – y)(25x2 + 5xy + y2 ) 13)(x + 1)3 – x(x- 2)2 – 1 14) (x + 1)(x2 + x + 1)(x – 1)(x2 – x + 1)

15) 2x(2x- 1)2 – 3x(x +3)(x- 3) – 4x(x+1)2

16)(a – b+ c)2 – (b – c)2 + 2ab – 2ac

17)(3x + 1)2 – 2(3x +1)(3x + 5) + (3x + 5)2

18)(3 +1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) (316 + 1)(332 + 1)

19)(a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2

20) (a + b + c)2 + ( a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2

21) (x – 2)3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3)

22)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4)

23)(a + b + c)3 – (b + c – a)3 – (a + c – b)3 – (a + b – c)3

24)( a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 – 3(a + b)(b +c)(c + a)

Dạng2:Sử dụng hằng đẳng thức để viết biểu thức về dạng bình phương một tổng; bình phương một hiệu_Lập phương một tổng, lập phương một hiệu.

Bài1: Viết mỗi biểu thức sau đây dưới dạng bình phương một đa thức

1)4x2 – 2x +

4

1

2)25a2 +

9

1 3

10



a 3)(x3 – x + 1)2 + (x2 – 3)2 – 2(x2 – 3)(x3 – x + 1)

Bài2:Viết dưới dạng tổng các luỹ thừa của (x -1) đa thức sau:

A = 2x2 – 3x + 5 và B = 3x2 + 7x – 1

Bài3:Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình

phương của hai biểu thức:

x2 + 2(x + 1)2 + 3(x + 2)2 + 4(x + 3)2

Bài4:Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 luôn là

một số chính phương

Bài5:Viết các đa thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc lập

phương của một hiệu

a) A = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 b)B = x3 +3x2 + 3x + 1

c) C = x3 – 3x2 + 3x – 1 d)D = 27 + 27y2 + 9y4 + y6

Bài6:Hãy viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương

a)(a+b+c)2 + a2 + b2 +c2 b)2(a-b)(c-b)+ 2(b- a)(c –a) + 2(b- c)(a-c)

Dạng3:Sử dụng hằng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất_GTLN.

Bài1:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau

1) A = x2 + 10x + 25,01 2)B = 3x2 – 6x + 4

3)C= x2 – 4x + 7 4)D = 2x2 + 3x + 4

5)E = (x -1)(x +2)(x +3)(x +6) 6)F = (x +1)2 + (2x – 1)2

7)G = x4 – 2x3 + 3x2 – 4x + 2005 8)H = x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2 9)M =2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2028

10) N = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28

Bài2:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) P = x2 + y2 – 6x – 2y + 17 b)Q = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 1999 c)R = 2x2 + 2xy + y2 – 2x + 2y + 15

d)S = x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 59

e)T = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28

Bài3:Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) A = 4 – 2x2 b)B = - x2 + 10x – 5 c)C = - 3x2+ 2x – 5 d)D = - 9x2 + 24x – 18 e)E = - 2x2 – y2 – 2xy + 4x + 2y + 5 g)G = (1- x)(2+x)(3+x)(6+x)

Bài4:So sánh hai số sau:

a) x = 216 và y = 3(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)

b)a = 2004.2006 và b = 20052

Bài5:

a) Với mọi x, y chứng minh rằng : x2 + 4y2 + 9 2xy + 3x + 6y b)Cmr: x2 – 8x + 18 > 0 với mọi x

c)x2 – 4xy + 4y2 + 0,1 > 0 với mọi x, y

d)x2 + y2 – 2x + 4y + 5 0 Với mọi x, y

e) 2

9

4

x - 4x + 29 > 0 với mọi x

g)- 9x2 + 12x – 5 < 0 với mọi x

Bài6: So sánh hai số A và B

a) A = (3 + 1)(32 + 1)(34+ 1)(38 + 1)(316 + 1) và B = 332 – 1

b)A = 12(52 + 1)(54 +1)……(5128 + 1) và B = 5256 – 1

Bài7:Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng:

A = 4a2b2 – (a2 +b2 – c2)2

Bài8:Chứng minh các BĐT sau:

1) x2 + 4y2 + z2 + 14 2x + 12y + 4z

2)(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) + 1 0

3)x2 +9y2 + z2 + 192 > 2x + 12y + 4z

4)(x -1)(x -3)(x-4)(x -6) +10 1

5)(a2 + b2)(x2+y2)(ax+ by)2

6)(a2 + b2 + c2)(x2+y2+z2)(ax+ by +cz)2

Bài9:Với giá trị nào của x thì biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhât?

S = 1 - 1  3x + (3x – 1)2

Dạng4: Tính giá trị của biểu thức

Bài1: Tính giá trị của các biểu thức sau :

1) A = 2012 2)B = 4982 3)C= 1272 + 146.127 + 732

4)D = 93.107 5)E = 20062 – 20052 + 20042 – 20032 + …+ 22 – 12

Bài2:

a) Rút gọn biểu thức : A = (x2 +y2+2)3 – (x2 + y2 – 2)3 – 12(x2+y2)2

b)Cho x + y = 1 Tính giá trị của B = x3 +y3 + 3xy

Bài3:Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = x2 – y2 – 4x với x + y = 2

b)B = x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y – 3 với x + y = 4

c)C = x3 + y3 + 3xy (x2 +y2) + 6x2y2(x +y) với x + y = 1

d)D = 2(x3 +y3) – 3(x2 + y2) với x + y = 1

e)E = 2x6 + 3x3y3 + y6 + y3 với x3 + y3 = 1

g)G =a2 (a +1) – b2(b - 1) + ab – 3ab(a – b + 1)

Bài4:Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 10 Tính a4 + b4 + c4

Bài5:Cho ba số a, b, c thoả mãn các điều kiện sau :

a + b + c = 6 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính ab + bc + ca

Bài6:Cho ba số x, y, z thoả mãn: x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.

Tính giá trị của biểu thức sau :

P = (x -1)2003 + y2004 + (z +1)2005

Bài7:Cho a + b = 10 và ab = 4 Tính

1) A = a2 +b2 2)a3 + b3 3)a4 + b4 4) a5 + b5

Dạng5: Tìm giá trị của biến thoả mãn một điều kiện cho trước Bài1:Tìm x,biết:

1) (x – 2)3 – (x- 3)(x2 + 3x + 9) + 6(x +1)2 = 49

2)x(x +5)(x-5) – (x+2)(x2- 2x + 4)= 42

3)(x +3)3 – (x +1)3 = 56

4)x3 + ( x – 1)3 = (2x- 1)3

5)(3x- 5)(5-3x) + 9(x +1)2 = 30

6)x(x +5)(x-5)- (x+2)(x2-2x+4) = 42

Bài2:Tìm x, y, z thoả mãn :

a)9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0

b)x2 + 5y2 – 4xy + 10x – 22y + xyz +26=0

c)x2 + y2 + x – xy + 0

2

1



d)x2 + 2y2 – 2xy + 2x + 2- 4y = 0

e)5x2 + 5y2 + 8xy – 2x + 2y + 2 = 0

Bài3:Tìm giá trị nguyên x, y thoả mãn hệ thức sau:

a) x2 – 4xy + 5y2 = 100 b)4x2 +2y2 – 4xy + 20x – 6y + 29 = 0

Bài4:Tìm số tự nhiên n để:

a)n2 – 4n + 7 là số chính phương b) n2 – 3n – 1 là số chính phương

Dạng6:Chứng minh đẳng thức

Bài1:Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc

Bài2:Chứng minh đẳng thức sau:

(a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a +b)(b+c)(c+a)

Bài3:Chứng minh các hệ thức sau:

a) (a +b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)

b)(a + b+ c)2 + (b + c – a)2 + (c +a- b)2 + (a + b – c)2 = 4(a2 +b2 + c2)

c)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b+c)(a2 + b2 +c2 – ab – bc – ca)

Bài4:Cho a2 – b2 = 4c2 Chứng minh rằng:

(5a- 3b + 8c)(5a- 3b – 8c)= (3a- 5b)2

Bài5:Cho a, b, c thoả mãn a + b + c = 0 Chứng minh rằng :

a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0

Bài6:Cho a + b – c = 0 Chứng minh rằng : (a2 +b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4 )

Bài7:Chứng minh rằng nếu: 111 2

c b

a và a+ b + c = abc thì

2 1

1

1

2

2

2   

c

b

Bài8:Cho a + b + c = 2p Chứng minh rằng :

(p – a)2 + (p – b)2 + (p –c)2 + p2 = a2 + b2 + c2

Bài9:Cho x = a2 – bc, y = b2- ac , z = c2 – ab

a) Cmr: ( x + y + z)(a + b + c)=ax + by + cz

b)Cmr: x + y + z 0 Với điều kiện nào của a, b, c thì x + y + z = 0

Bài10: Cmr nếu : (a2 + b2)(x2 + y2) = ( ax+ by)2 với x, y khác 0 thì:a x b y

Bài11:Chứng minh rằng nếu: ( a2 + b2 + c2)(x2 + y2 +z2)=(ax + by + cz)2 vỡi,

y, z khác 0 thì a x b y c z

Bài12:Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (a + b+ c)2 + a2 + b2 +c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2

b)x4 + y4 + (x +y)4 = 2(x2 +xy + y2)2

Bài13:Chứng minh rằng: a = b = c nếu có một trong các điều kiện sau :

a)a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca b)(a + b+ c)2 = 3(a2 +b2 + c2)

c)(a + b+ c)2 = 3(ab + bc + ca)

Dạng7: Các bài toán liên quan đến số học

Bài1:Chứng minh rằng các số dạng: 1331; 1030301; 1003003001; ….;







0

0

100

0 0

01

00 3 0

00

3

cn ncs

đều là lập phương của một số tự nhiên

Bài2:Với a, b Z; chứng minh rằng:

a)(a + b) 2  (a2 + b2) 2 b)(a + b)6  (a3 + b3) 6

Bài3:Với x =    

1 2 1

11

ncn và y =   

4 4

44

ncs Chứng minh rằng x + y + 1 bao giờ cũng là một số chính phương

Bài4:Chứng minh rằng :

a) Nếu p và p2 +8 là các số nguyên tố thì P2 + 3 cũng là số nguyên tố

b)Nếu p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố thì 2p + 1 cũng là số nguyên tố

Bài5:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho

ab + 4 là số chính phương

BÀI TẬP VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

Thầy giáo : NGUYỄN ĐỨC THỊNH Dạng1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức

Rút gọn các biểu thức sau

1)(3x + 5a6 )2 2) 



























5

4 10

7 10

7 5

3)(2a + b – 5)(2a – b + 5)

4)(3x +2)3 5)(- x2 – 2y)3 6)(x2 - 2y )3

7)(3x – 4)(9x2 + 12x + 16) 8) (4x – 1)2 – (x + 1)(x – 1)

9) (5x + 8)2 + (5x – 8)2 10) (x + 2)(x- 2)(x2 + 4)- (x2 + 1)(x2 – 1) 11)( 3

2

x













2

3 4

x

12)(5x – y)(25x2 + 5xy + y2 ) 13)(x + 1)3 – x(x- 2)2 – 1 14) (x + 1)(x2 + x + 1)(x – 1)(x2 – x + 1)

15) 2x(2x- 1)2 – 3x(x +3)(x- 3) – 4x(x+1)2

16)(a – b+ c)2 – (b – c)2 + 2ab – 2ac

17)(3x + 1)2 – 2(3x +1)(3x + 5) + (3x + 5)2

18)(3 +1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) (316 + 1)(332 + 1)

19)(a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2

20) (a + b + c)2 + ( a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2

21) (x – 2)3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3)

22)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4)

23)(a + b + c)3 – (b + c – a)3 – (a + c – b)3 – (a + b – c)3

24)( a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 – 3(a + b)(b +c)(c + a)

Dạng2:Sử dụng hằng đẳng thức để viết biểu thức về dạng bình phương một tổng; bình phương một hiệu_Lập phương một tổng, lập phương một hiệu.

Bài1: Viết mỗi biểu thức sau đây dưới dạng bình phương một đa thức

1)4x2 – 2x + 14 2)25a2 + 103 a91

3)(x3 – x + 1)2 + (x2 – 3)2 – 2(x2 – 3)(x3 – x + 1)

Bài2:Viết dưới dạng tổng các luỹ thừa của (x -1) đa thức sau:

A = 2x2 – 3x + 5 và B = 3x2 + 7x – 1

Bài3:Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình

phương của hai biểu thức:

x2 + 2(x + 1)2 + 3(x + 2)2 + 4(x + 3)2

Bài4:Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 luôn là

một số chính phương

Bài5:Viết các đa thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc lập

phương của một hiệu

a) A = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 b)B = x3 +3x2 + 3x + 1

c) C = x3 – 3x2 + 3x – 1 d)D = 27 + 27y2 + 9y4 + y6

Bài6:Hãy viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương

a)(a+b+c)2 + a2 + b2 +c2 b)2(a-b)(c-b)+ 2(b- a)(c –a) + 2(b- c)(a-c)

Dạng3:Sử dụng hằng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất_GTLN.

Bài1:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau

1) A = x2 + 10x + 25,01 2)B = 3x2 – 6x + 4

3)C= x2 – 4x + 7 4)D = 2x2 + 3x + 4

5)E = (x -1)(x +2)(x +3)(x +6) 6)F = (x +1)2 + (2x – 1)2

7)G = x4 – 2x3 + 3x2 – 4x + 2005 8)H = x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2

9)M =2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2028

10) N = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28

Bài2:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) P = x2 + y2 – 6x – 2y + 17 b)Q = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 1999

c)R = 2x2 + 2xy + y2 – 2x + 2y + 15

d)S = x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 59

e)T = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28

Bài3:Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) A = 4 – 2x2 b)B = - x2 + 10x – 5 c)C = - 3x2+ 2x – 5 d)D = - 9x2 + 24x – 18 e)E = - 2x2 – y2 – 2xy + 4x + 2y + 5 g)G = (1- x)(2+x)(3+x)(6+x)

Bài4:So sánh hai số sau:

a) x = 216 và y = 3(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)

b)a = 2004.2006 và b = 20052

Bài5:

a) Với mọi x, y chứng minh rằng : x2 + 4y2 + 9 2xy + 3x + 6y b)Cmr: x2 – 8x + 18 > 0 với mọi x

c)x2 – 4xy + 4y2 + 0,1 > 0 với mọi x, y

d)x2 + y2 – 2x + 4y + 5 0 Với mọi x, y

e) 2

9

4

x - 4x +

2

9

> 0 với mọi x g)- 9x2 + 12x – 5 < 0 với mọi x

Bài6: So sánh hai số A và B

a) A = (3 + 1)(32 + 1)(34+ 1)(38 + 1)(316 + 1) và B = 332 – 1 b)A = 12(52 + 1)(54 +1)……(5128 + 1) và B = 5256 – 1

Bài7:Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng:

A = 4a2b2 – (a2 +b2 – c2)2

Bài8:Chứng minh các BĐT sau:

1) x2 + 4y2 + z2 + 14 2x + 12y + 4z

2)(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) + 1 0

3)x2 +9y2 + z2 + 192 > 2x + 12y + 4z

4)(x -1)(x -3)(x-4)(x -6) +10 1

5)(a2 + b2)(x2+y2)(ax+ by)2

6)(a2 + b2 + c2)(x2+y2+z2)(ax+ by +cz)2

Bài9:Với giá trị nào của x thì biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhât?

S = 1 - 1  3x + (3x – 1)2

Dạng4: Tính giá trị của biểu thức

Bài1: Tính giá trị của các biểu thức sau :

1) A = 2012 2)B = 4982 3)C= 1272 + 146.127 + 732

4)D = 93.107 5)E = 20062 – 20052 + 20042 – 20032 + …+ 22 – 12

Bài2:

a) Rút gọn biểu thức : A = (x2 +y2+2)3 – (x2 + y2 – 2)3 – 12(x2+y2)2

b)Cho x + y = 1 Tính giá trị của B = x3 +y3 + 3xy

Bài3:Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = x2 – y2 – 4x với x + y = 2

b)B = x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y – 3 với x + y = 4

c)C = x3 + y3 + 3xy (x2 +y2) + 6x2y2(x +y) với x + y = 1

d)D = 2(x3 +y3) – 3(x2 + y2) với x + y = 1

e)E = 2x6 + 3x3y3 + y6 + y3 với x3 + y3 = 1

g)G =a2 (a +1) – b2(b - 1) + ab – 3ab(a – b + 1)

Bài4:Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 10 Tính a4 + b4 + c4

Bài5:Cho ba số a, b, c thoả mãn các điều kiện sau :

a + b + c = 6 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính ab + bc + ca

Bài6:Cho ba số x, y, z thoả mãn: x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.

Tính giá trị của biểu thức sau :

P = (x -1)2003 + y2004 + (z +1)2005

Bài7:Cho a + b = 10 và ab = 4 Tính

1) A = a2 +b2 2)a3 + b3 3)a4 + b4 4) a5 + b5

Dạng5: Tìm giá trị của biến thoả mãn một điều kiện cho trước Bài1:Tìm x,biết:

1) (x – 2)3 – (x- 3)(x2 + 3x + 9) + 6(x +1)2 = 49

2)x(x +5)(x-5) – (x+2)(x2- 2x + 4)= 42

3)(x +3)3 – (x +1)3 = 56

4)x3 + ( x – 1)3 = (2x- 1)3

5)(3x- 5)(5-3x) + 9(x +1)2 = 30

6)x(x +5)(x-5)- (x+2)(x2-2x+4) = 42

Bài2:Tìm x, y, z thoả mãn :

a)9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0

b)x2 + 5y2 – 4xy + 10x – 22y + xyz +26=0

c)x2 + y2 + x – xy + 0

2

1



d)x2 + 2y2 – 2xy + 2x + 2- 4y = 0

e)5x2 + 5y2 + 8xy – 2x + 2y + 2 = 0

Bài3:Tìm giá trị nguyên x, y thoả mãn hệ thức sau:

a) x2 – 4xy + 5y2 = 100 b)4x2 +2y2 – 4xy + 20x – 6y + 29 = 0

Bài4:Tìm số tự nhiên n để:

a)n2 – 4n + 7 là số chính phương b) n2 – 3n – 1 là số chính phương

Dạng6:Chứng minh đẳng thức

Bài1:Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc

Bài2:Chứng minh đẳng thức sau:

(a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a +b)(b+c)(c+a)

Bài3:Chứng minh các hệ thức sau:

a) (a +b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)

b)(a + b+ c)2 + (b + c – a)2 + (c +a- b)2 + (a + b – c)2 = 4(a2 +b2 + c2) c)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b+c)(a2 + b2 +c2 – ab – bc – ca)

Bài4:Cho a2 – b2 = 4c2 Chứng minh rằng:

(5a- 3b + 8c)(5a- 3b – 8c)= (3a- 5b)2

Bài5:Cho a, b, c thoả mãn a + b + c = 0 Chứng minh rằng :

a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0

Bài6:Cho a + b – c = 0 Chứng minh rằng : (a2 +b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4 )

Bài7:Chứng minh rằng nếu: 111 2

c b

a và a+ b + c = abc thì

2 1

1

1

2

2

2   

c

b

Bài8:Cho a + b + c = 2p Chứng minh rằng :

(p – a)2 + (p – b)2 + (p –c)2 + p2 = a2 + b2 + c2

Bài9:Cho x = a2 – bc, y = b2- ac , z = c2 – ab

a) Cmr: ( x + y + z)(a + b + c)=ax + by + cz

b)Cmr: x + y + z 0 Với điều kiện nào của a, b, c thì x + y + z = 0

Bài10: Cmr nếu : (a2 + b2)(x2 + y2) = ( ax+ by)2 với x, y khác 0 thì:a x b y

Bài11:Chứng minh rằng nếu: ( a2 + b2 + c2)(x2 + y2 +z2)=(ax + by + cz)2 vỡi,

y, z khác 0 thì a x b y c z

Bài12:Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (a + b+ c)2 + a2 + b2 +c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2

b)x4 + y4 + (x +y)4 = 2(x2 +xy + y2)2

Bài13:Chứng minh rằng: a = b = c nếu có một trong các điều kiện sau :

a)a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca b)(a + b+ c)2 = 3(a2 +b2 + c2)

c)(a + b+ c)2 = 3(ab + bc + ca)

Dạng7: Các bài toán liên quan đến số học

Bài1:Chứng minh rằng các số dạng: 1331; 1030301; 1003003001; ….;







0

0

100

0 0

01

00 3 0

00

3

cn ncs

đều là lập phương của một số tự nhiên

Bài2:Với a, b Z; chứng minh rằng:

a)(a + b) 2  (a2 + b2) 2 b)(a + b)6  (a3 + b3) 6

Bài3:Với x =    

1 2 1

11

ncn và y =   

4 4

44

ncs Chứng minh rằng x + y + 1 bao giờ cũng là một số chính phương

Bài4:Chứng minh rằng :

a) Nếu p và p2 +8 là các số nguyên tố thì P2 + 3 cũng là số nguyên tố