1x + 3x + 1 1. Rút Gọn P . 2. Tìm X để P = 0 3. Tính Giá

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

\(P = \frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2} + x}} - \frac{{x - 1}}{x} + \frac{3}{{x + 1}}\)

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne  - 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}1)\,\,P = \frac{{2{x^2} - 1}}{{{x^2} + x}} - \frac{{x - 1}}{x} + \frac{3}{{x + 1}} = \frac{{2{x^2} - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{x - 1}}{x} + \frac{3}{{x + 1}}\\ = \frac{{2{x^2} - 1 - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 3x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2{x^2} - 1 - {x^2} + 1 + 3{\rm{x}}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}.\end{array}\)

\(2)\,\,P = 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3\left( {tm} \right)\)

Vậy với \(x =  - 3\) thì \(P = 0.\)

\(3)\,\,{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 1\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Thay \(x = 1\) vào biểu thức \(P\)  ta được: \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} = \frac{{1 + 3}}{{1 + 1}} = 2\).

4) Ta có: \(Q = \frac{1}{{{x^2} - 9}}.P = \frac{1}{{{x^2} - 9}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}} = \frac{{x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} - 2x - 3}}\)

\( \Rightarrow Q\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \({x^2} - 2x - 3 = {x^2} - 2x + 1 - 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} - 4\).

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} - 4 \ge  - 4\,\,\forall x \Rightarrow \frac{1}{{{x^2} - 2x - 3}} \le  - \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow Q\;\;\max  =  - \frac{1}{4} \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\;\;\left( {tm} \right).\)

Vậy \(Max\;Q =  - \frac{1}{4}\;\;khi\;\;x = 1.\)

Chọn A.