2.2. Các Tính Chất Của định Thức | Môn: Đại Số Tuyến Tính - ELEARNING

Skip navigation

• Hướng dẫn tự học
• Bài 1. Ma trận
  • 1.1. Các khái niệm về ma trận
  • 1.2 Các phép toán trên ma trận
  • Test nhanh
  • Phần mềm, mô phỏng
  • Tài liệu tham khảo
• Bài 2. Định thức
  • 2.1. Định nghĩa định thức
  • 2.2. Các tính chất của định thức
  • 2.3. Cách tính định thức bằng biến đổi sơ cấp
  • 2.4. Ma trận nghịch đảo
  • 2.5. Hạng của ma trận
  • Test nhanh
  • Phần mềm, mô phỏng
  • Tài liệu tham khảo
• Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính
  • 3.1. Dạng tổng quát của hệ PTTT
  • 3.2. Hệ Cramer
  • 3.3. Giải hệ PTTT bằng phương pháp Gauss
  • 3.4. Hệ PTTT thuần nhất
  • Test nhanh
  • Phần mềm mô phỏng
  • Tài liệu tham khảo
• Bài 4. Ánh xạ tuyến tính
  • 4.1. Kiến thức bổ trợ về không gian véctơ (KGVT)
  • 4.2. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
  • 4.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
  • 4.4. Hạt nhân, ảnh của ánh xạ tuyến tính
  • Test nhanh
  • Phần mềm, mô phỏng
  • Tài liệu tham khảo
• Bài 5. Giá trị riêng, véc tơ riêng
  • 5.1. Giá trị riêng, vector riêng của ma trận
  • 5.2. Giá trị riêng, vector riêng của toán tử tuyến tính
  • Test nhanh
  • Phần mềm mô phỏng
  • Tài liệu tham khảo

« Trước | Tiếp »

Định thức của ma trận $A$ đúng bằng định thức của ma trận chuyển vị của $A$: $\det \left(A^{t} \right)=\det \left(A\right)$ 

Trong một định thức vai trò của hàng và cột là như nhau, điều gì đã đúng cho hàng thì cũng đúng cho cột và ngược lại.

Nếu đổi chỗ 2 hàng (hoặc 2 cột) trong một định thức thì định thức sẽ đổi dấu.

Một định thức có 2 hàng (hoặc 2 cột) như nhau thì bằng 0.

Công thức khai triển định thức theo hàng $i$ $$\det \left(A\right)=\left(-1\right)^{i+1} [a_{i1} \det \left(M_{i1} \right)-a_{i2} \det \left(M_{i2} \right)+\cdots \pm a_{in} \det \left(M_{in} \right)]{\rm \; }=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{ij} \det (M_{ij} ) .$$Công thức khai triển định thức theo hàng cột $j$ $$\det \left(A\right)=\left(-1\right)^{1+j} [a_{1j} \det \left(M_{1j} \right)-a_{2j} \det \left(M_{2j} \right)+\cdots \pm a_{nj} \det \left(M_{nj} \right)]=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{ij} \det (M_{ij} ) .$$

Một định thức có 1 hàng (hoặc 1 cột) toàn số 0 thì bằng 0.

Khi nhân các phần tử của 1 hàng (hoặc 1cột) với cùng 1 số $k$ ta được định thức mới bằng định thức cũ nhân với $k$.

Suy ra, trong một định thức: các phần tử của cùng một hàng (hoặc cùng một cột) có thừa số chung thì ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức. Hay, khi nhân một số với một định thức, ta chỉ nhân số đó với các phần tử của một hàng (hoặc một cột) nào đó của định thức (điểm khác với ma trận: khi nhân 1 số với 1 ma trận thì ta nhân số đó với mọi phần tử có mặt trong ma trận).

Một định thức có 2 hàng (hoặc 2 cột) tỉ lệ thì bằng 0.

Khi tất cả các phần tử của 1 hàng (hoặc 1 cột) có dạng tổng của 2 số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng 2 định thức

Chẳng hạn $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}} + a{'_{11}}}&{{a_{12}} + a{'_{12}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a{'_{11}}}&{a{'_{12}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}\end{array}} \right|$.

Chẳng hạn

Ma trận $A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 7  \\ -1 & 3 & 3  \\ 3 & -4 & 1 \\\end{matrix} \right)$ có $\det (A)=0$. Ta thấy ${{h}_{1}}=2{{h}_{2}}+{{h}_{3}}$ ( ta nói ${{h}_{1}}$ là tổ hợp tuyến tính của ${{h}_{2}}$ và ${{h}_{3}}$)

Ma trận $B=\left( \begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\3 & -1 & 2 \\1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right)$ có  $\det (B)=0$. Ta thấy ${{c}_{2}}={{c}_{1}}-2{{c}_{3}}$( ta nói ${{c}_{2}}$ là tổ hợp tuyến tính của ${{c}_{1}}$ và ${{c}_{3}}$)

Người ta chứng minh được rằng một định thức có 1 hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác (hoặc 1 cột là tổ hợp tuyến tính của các các cột khác) thì định thức ấy bằng 0.

Khi cộng bội $k$ của 1 hàng vào 1 hàng khác (hoặc cộng bội $k$ của 1 cột vào 1 cột khác) thì định thức mới vẫn bằng định thức cũ.

Các định thức có dạng tam giác bằng tích các phần tử chéo.

Suy ra, $\det (I)=1$.

« Trước | Tiếp »