2.2a NHỊ THỨC NIU TƠN Phần ml

Có thể bạn quan tâm

BÀI 3: NHỊ THỨC NIU-TON

1). Công thức nhị thức Niu-ton

(quy ước (*).

2). Nhận xét:

Công thức nhị thức Niu tơn (*) có :

* (n + 1) số hạng.

* Số hạng thứ k + 1 là .

* Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất .

* Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b luôn bằng n.

2). Tam giác Pa-xcan

Trên đây ta thấy muốn khai triển thành đa thức, ta cần biết số có mặt trong công thức nhị thức Niu-tơn. Các số này có thể tính được bằng cách sử dụng bảng số sau đây :

1 1

1 21

13 31

14641

15 101051

1615201561

……………………………………………………

Bảng số này do nhà toán học Pháp Pa-xcan thiết lập vào năm 1653 và được người ta gọi là tam giác Pa-xcan.

Tam giác Pa-xcan được thiết lập theo quy luật sau :

Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.

Nếu biết hàng thứ thì hàng thứ tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.

Chú ý:

, , (với điều kiện x, y đều có nghĩa trong tất cả các công thức trên).

CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP

DẠNG 1: TÌM HỆ SỐ CỦA SỐ HẠNG CHỨA TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTƠN

PHƯƠNG PHÁP:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát:

Số hạng thứ :

Ví dụ 1: Khai triển các nhị thức sau:

a). b). c). d).

LỜI GIẢI

a). .

b).

c).

d).

Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ k trong các khai triển nhị thức sau:

1). Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển

2). Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển

3). Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển

4). Tìm hệ số của trong khai triển .

5). Tìm hệ số của trong khai triển

6). Tìm hệ số của trong khai triển

LỜI GIẢI

1). Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển

Ta có số hạng tổng quát . Để có số hạng thứ 6 thì . Vậy số hạng thứ 6 trong khai triển là

2). Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển

Ta có số hạng tổng quát . Để có số hạng thứ 5 thì . Vậy số hạng thứ 5 trong khai triển là .

3). Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển

Ta có số hạng tổng quát . Để có số hạng thứ 8 thì . Vậy số hạng thứ 8 trong khai triển là .

4). Tìm hệ số của trong khai triển .

Ta có . Để có hệ số của thì (đúng). Kết luận hệ số của là .

5). Tìm hệ số của trong khai triển

Ta có

. Để có hệ số của thì hoặc hoặc . Kết luận hệ số của là :

6). Tìm hệ số của trong khai triển

Ta có

. Để có hệ số của thì hoặc . Kết luận hệ số của là :

Ví dụ 3: Tìm số hạng không chứa x trong các triển khai sau:

a). b). c).

LỜI GIẢI

a). Ta có . Để có số hạng không chứa x thì . Kết luận hệ số của số hạng không chứ x là .

b). Ta có . Để có số hạng không chứa x thì . Kết luận hệ số của số hạng không chứ x là .

c). Ta có . Để có số hạng không chứa x thì . Kết luận hệ số của số hạng không chứ x là .

Ví dụ 4: Trong khai triển của nhị thức cho biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển trên bằng 97. Tìm hệ số của số hạng có chứa

LỜI GIẢI

Ta có

Theo đề bài ta có

. Nhận .

Vậy

. Để có hệ số của số hạng chứa thì .

Kết luận hệ số của số hạng chứa là .

Ví dụ 5: Tìm hệ số của trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức

LỜI GIẢI

Ta có

Số hạng tổng quát là Ta cần , tức là

Như vậy trong khai triển không có

Hệ số trong khai triển của:

nhị thức ứng với là

Vậy hệ số cần tìm là

Ví dụ 6: Trong khai triển , hệ số số hạng thứ ba lớn hơn hệ số số hạng thứ hai là 35. Tính số hạng không chứa x.

LỜI GIẢI

Ta có

Từ giả thiết suy ra

Vậy : Số hạng không phụ thuộc khi

Vậy số hạng ấy là

Ví dụ 7: Khai triển và rút gọn đa thức

Được Tính

LỜI GIẢI

là hệ số của số hạng chứa . Ta có

Hệ số của trong là

Vậy

DẠNG 2: TÍNH TỔNG hoặc CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

PHƯƠNG PHÁP

Dựa vào các công thức khai triển nhị thức Niutơn sau:

Sau đó chọn a, b, x các giá trị thích hợp …

Ví dụ 1: Tính các giá trị của biểu thức sau:

LỜI GIẢI

Ta có

a). Chọn x = 1 thay vào (*) ta được:

Kết luận:

b). Chọn x = 2 thay vào (*) ta được:

Kết luận

c). Ta có

Chọn x = 2 thay vào (**) ta được:

Kết luận

Những kết quả này áp dụng rất nhiều cho các bài tập ở sau.

Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

a).

b).

c).

LỜI GIẢI

Ta có

a). Chọn x = 1 thay vào (*) ta được:

Kết luận: (1).

b). Chọn x = -1 thay vào (*) ta được:

Kết luận: (2).

c). Từ (2) ta suy ra: (3)

lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:

(4)

Từ (3) và (3) suy ra

Những kết quả này áp dụng rất nhiều cho các bài tập ở sau

BÀI TẬP TỔNG HỢP

DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC DỰA VÀO CÔNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA TỔ HỢP VÀ CHỈNH HỢP

Nhắc lại: ;

Câu 1: Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

a). b).

c).

LỜI GIẢI

a). Ta có:

b). Ta có:

c).Áp dụng kết quả bài 2 ta có:

Kết quả bài này các bạn phải nhớ kỹ để áp dụng vào những bài tính tổng.

Câu 2: Chứng minh với các số k, n nguyên, không âm sao cho ta có

LỜI GIẢI

Kết quả bài này các bạn phải nhớ kỹ để áp dụng vào những bài tính tổng.

Câu 3: Chứng minh với các số k, n nguyên, không âm sao cho ta có

LỜI GIẢI

Ta có:

Kết quả bài này các bạn phải nhớ kỹ để áp dụng vào những bài tính tổng.

Câu 4: Chứng minh với các số k, n nguyên, không âm sao cho ta có

LỜI GIẢI

Ta có: (áp dụng kết quả của hai bài kế trên).

Kết quả bài này các bạn phải nhớ kỹ để áp dụng vào những bài tính tổng.

Câu 5: Chứng minh với các số k, n nguyên,không âm sao cho ta có

LỜI GIẢI

Ta có:

Kết quả bài này các bạn phải nhớ kỹ để áp dụng vào những bài tính tổng.

Câu 6: Chứng minh với các số k, n nguyên,không âm sao cho ta có

LỜI GIẢI

Câu 7: Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

a). với

b). với

LỜI GIẢI

a).Ta có:

Áp dụng kết quả trên ta có:

b).Ta có:

Câu 8: Chứng minh các đẳng thức sau:

a). với

b). với

c). với

LỜI GIẢI

a). Ta có:

b). Ta có:

c). Ta có:

Câu 9: Chứng minh thõa mãn ta luôn có:

LỜI GIẢI

Ta có:

(5)

(điều phải chứng minh).

10. Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

a. với

LỜI GIẢI

a).Ta có:

b).Ta có: VT

c).Ta có:

Suy ra:

11. Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

a). với

b). với

LỜI GIẢI

a.Ta có:

b.Ta có:

12. Chứng minh rằng các đẳng thức sau:

a). với

b). với và

LỜI GIẢI

a.Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n số, ta có:

b.Ta đặt

Để chứng minh BĐT trên ta chứng minh

Ta có:

13. Chứng minh các đẳng thức sau:

LỜI GIẢI

Ta có:

Suy ra:

Hay vì

Ta có:

Suy ra

Ta có:

Suy ra:

DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC DỰA VÀO KHAI TRIỂN

Câu 10: Chứng minh : ,

với

LỜI GIẢI

Ta có

Suy ra hệ số xk trong là : , và hệ số của xk trong là

Ta có . Từ đó suy ra :

(đpcm) .

Kết quả bài này các bạn phải nhớ kỹ để áp dụng vào những bài tính tổng.

Bạn đọc hãy lấy ý tưởng trong bài tập trên áp dụng với khai triển

Từ đó chứng minh rằng

Câu 11: Tính tổng

LỜI GIẢI

Ta có

Mà .

Hệ số của x11 trong khai triển là (2) .

Và . Hệ số của x11 trong khai triển là (3)

Từ (1) , (2) , (3) ta có

Câu 12: Chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên k, n thỏa ta có:

LỜI GIẢI

Ta có: (1)

Ta có:

Hệ số của trong khai triển là:

(2)

Hệ số của trong khai triển là: (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra

Câu 13: Chứng minh đẳng thức sau:

LỜI GIẢI

Xét từ khai triển trên nhân hai vế với ta có:

(2)

Hệ số của trong vế trái bằng .

Hệ số của trong vế phải bằng

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh

Câu 14: Chứng minh rằng :

LỜI GIẢI

Ta có

Hệ số của xn trong hệ thức trên là:

Hệ số của xn trong khai triển (1+x)2n là .

Ta có hệ số của xn trong khai triển và hệ số của xn trong khai triển giống nhau.

Từ đó suy ra (đpcm).

1. Chứng minh:

LỜI GIẢI

Ta có

Chọn x = 3 thay vào hai vế của (1) ta được:

(2)

Chọn thay vào hai vế của (1) ta được:

(3)

Lấy (2) + (3) ta được:

2. Với n là số nguyên dương, hãy chứng minh các hệ thức sau:

a. = 2n

b. =

LỜI GIẢI

a.Ta có: (1 + x)n = (1)

Chọnx = 1 thay vào (1) ta được: = 2n (đpcm)

b.Ta có:(1 – x)2n = (2)

Chọn x = 1 thay vào (2), ta được:

(đpcm).

3. Chứng minh rằng:

LỜI GIẢI

Ta có: (1).

Thay x = 3 vào hai vế của (1):

(*).

Thay vào hai vế của (1):

(**).

Lấy (*) + (**), ta được:

(đpcm).

6. Chứng minh:

LỜI GIẢI

Theo khai triển nhị thức Newton ta có:(a + b)n = (*)

· Với thay vào (*) được:

(1)

· Với thay vào (*) được:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

8. Với là các số nguyên dương và , chứng minh rằng

LỜI GIẢI

Với mọi và là số nguyên dương , ta có

(1)

Ta có

Do đó (1) có dạng:

(2)

Thay vào (2), ta được:

đpcm.

15. Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:

LỜI GIẢI

Ta có

Suy ra:

ta được

TÌM n DỰA VÀO NHỊ THỨC NIUTƠN

3. Tìm số nguyên dương , biết rằng

LỜI GIẢI

Xét số hạng tổng quát

Giả thuyết

Chia hai vế cho 16 ta được :

7. Cho khai triển nhị thức:

(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x.

LỜI GIẢI

Từ ta có n ≥ 3 và Û Û

Û n2 – 3n – 28 = 0 Û . Chọn n = 7.

Ta có số hạng thứ tư ứng với k = 3. Theo đề bài có:

Kết luậnn = 7 và x = 4.

8. Tìm số nguyên dương n sao cho: = 243

LỜI GIẢI

Ta có: (1).

Thay x = 1 vào hai vế của (1) ta được:

Theo đề bài có

9. Giả sử n là số nguyên dương và:

(1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn

Biết rằng tồn tại số k nguyên (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho . Hãy tìm n.

LỜI GIẢI

Ta có: (1) ( )Û

Û 2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)!

Û 2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k

Û Û

Để tồn tại k thoả mãn hệ thức (1), điều kiện ắt có và đủ là:

10. Với n là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm n để .

LỜI GIẢI

Ta có

Theo đề bài ta có:

Vậy hệ số của là:

Theo đề bài ta có:

13. Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức sau:

LỜI GIẢI

Ta có:

Lấy

Theo đề bài có:

(vì )

14. Tính giá trị của biểu thức: M = .

Biết = 149.

LỜI GIẢI

Điều kiện: n ≥ 3.

Ta có: = 149

Û . So với điều kiện nhận n = 5.

Vậy:

15. Tìm n Î N sao cho:

LỜI GIẢI

Ta có:

Vậy có: 24n = 256 Û n = 2

16. Với . Tìm n thỏa

LỜI GIẢI

Ta có

Ta lại có

Đặt .

Cho k chạy từ 3 đến n ta được:

Hay

17. Tìm số nguyên dương n thỏa

(1)

LỜI GIẢI

Xét số hạng tổng quát:

, .

Vậy

Theo đề bài ta có:

18. Khai triển nhị thức Niu tơn . Tính giá trị của biểu thức , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn .

LỜI GIẢI

. Điều kiện

Chọn thay vào P(x):

TÍNH TỔNG: DỰA VÀO CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU TƠN

DẠNG 1: TÍNH TỔNG DỰA VÀO CÔNG THỨC

3. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a).

b).

LỜI GIẢI

Ta có: (1).

Ta có: (2).

Suy ra

ta được

6. Tính tổng :

LỜI GIẢI

Ta có:

7. Tính tổng

LỜI GIẢI

Số hạng tổng quát là :

8. Tính tổng

LỜI GIẢI

Áp dụng công thức: (đã chứng minh ở phần Chứng Minh đẳng thức

Ta có

Cộng vế theo vế ta được:

9. Tính tổng

LỜI GIẢI

Số hạng tổng quát của tổng là

Vậy ta được

10. Tính tổng

LỜI GIẢI

Xét số hạng tổng quát:

.Vậy (1).

Từ (1) ta có:

; ; ;...; .

Vậy

11. Tính tổng

LỜI GIẢI

Ta có số hạng tổng quát:

Từ đó ta có

Áp dụng công thức ta được

12. Tính tổng: .

LỜI GIẢI

Ta có (3)

Áp dụng 2 lần công thức (3) ta được: .

Cho k chạy từ 1 đến n rồi cộng vế các đẳng thức trên ta có

Vậy .

12. Tính tổng : T = .

LỜI GIẢI

Ta có : = (1 – 1)50 = 0

Mà :

Suy ra :

Þ 2T + = 0 Þ T = .

13. (CĐ Công nghiệp HN 2003) Cho đa thức: P(x) = (16x – 15)2003. Khai triển đa thức đó dưới dạng: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003. Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + … + a2003.

LỜI GIẢI

Ta có: (16x – 15)2003 = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003 (1)

Thay x = 1 vào (1) ta được: (16.1 – 15)2003 = a0 + a1 + a2 + … + a2003.

Kết luậna0 + a1 + a2 + … + a2003 = 1.

8. Tính tổng với nÎN và n > 2.