2 Vectơ Song Song Trong Không Gian - Toàn Thua

Nhãn Hai đường thẳng song song. Hai đường thẳng cắt nhau. Trong không gian cho hai đường thẳng

$d_1$ đi qua điểm $M_1$ và có vector chỉ phương ${\vec u_1}.$ $d_2$ đi qua điểm $M_2$ và có vector chỉ phương ${\vec u_2}.$

 $d_1$ song song $d_2$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {d_1} \cap {d_2} = \emptyset \\ {{\vec u}_1}\parallel {{\vec u}_2}.

\end{array} \right.$

 

Ví dụ. Chứng minh hai đường thẳng

$\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l} x + y + z - 5 = 0\,\,\,\,\left(  *  \right)\\ x - 3y + 6 = 0 \end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 3t\\ y =  - 1 - t\\ z = 1 + 4t

\end{array} \right.$ song song nhau.

Giải. Đầu tiên ta chứng minh $d_1$ không có giao điểm với $d_2$, khi đó có hay trường hợp xảy ra là chúng song song hoặc chéo nhau. Thay $x = 1 + 3t,y =  - 1 + t,z = 1 - 4t$  vào $\left(  *  \right)$  ta được $ - 4 = 0$. Vô lý.Suy ra ${d_1} \cap {d_2} = \emptyset .\,\,\,\,\,\,\left(  \otimes  \right)$. Mặt khác từ phương trình tổng quát, ta được cặp vector pháp tuyến của $d_1$ là ${\vec n_1} = \left( {1;1;1} \right)$ và ${\vec n_2} = \left( {1; - 3;0} \right).$ Suy ra vector chỉ phương của  $d_1$ là ${\vec u_{{d_1}}} = \left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right] = \left( {3,1, - 4} \right)$. Vector này cùng phương với ${\vec u_{{d_2}}} = \left( { - 3; - 1;4} \right).$ $\left( { \otimes  \otimes } \right)$

Từ $\left(  \otimes  \right)$ và $\left( { \otimes  \otimes } \right)$ suy ra $d_1$ song song với $d_2$.

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

I. Định nghĩa và các phép toán về vectơ trong không gian

1. Định nghĩa

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu $\overrightarrow {AB} $ chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow x ,\overrightarrow y ,...$

2. Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian

* Tính chất

a) Tính chất giao hoán: $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a $

b) Tính chất kết hợp: $\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)$

c) Tính chất của vectơ $\overrightarrow 0 $: $\overrightarrow a  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow a  = \overrightarrow a $

d) $\overrightarrow a  + \left( { - \overrightarrow a } \right) =  - \overrightarrow a  + \overrightarrow a  = \overrightarrow 0 $

* Các quy tắc cần nhớ khi tính toán

a) Quy tắc ba điểm

Với ba điểm A, B, C bất kì ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \\ \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \\ \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  + \left( { - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} \end{array}$

b) Quy tắc hình bình hành

Với hình bình hành ABCD ta có:

$\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} $

c) Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với AB, AD, AA’ là  ba cạnh có chung đỉnh A và AC’ là đường chéo, ta có:

$\overrightarrow {AC} ' = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA} '$

d) Mở rộng quy tắc ba điểm

Cho n điểm ${A_1},{A_2},...,{A_n}$ bất kì, ta có:

$\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  + \overrightarrow {{A_2}{A_3}}  + ... + \overrightarrow {{A_{n - 1}}{A_n}}  = \overrightarrow {{A_1}{A_n}} $

3. Phép nhân vectơ với một số

Trong không gian, tích của vectơ $\overrightarrow a $ với một số $k \ne 0$ là vectơ $k\overrightarrow a $ được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét trong mặt phẳng.

II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Cho ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ đều khác $\overrightarrow 0 $ trong không gian. Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow c $. Khi đó xảy ra hai trường hợp:

* Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, ta nói ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ không đồng phẳng.

* Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng, ta nói ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ đồng phẳng.

2. Định nghĩa

Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

* Định lí 1

Trong không gian cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ và một vectơ $\overrightarrow c $. Khi đó ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho $\overrightarrow x  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b $. Ngoài ra, cặp số m, n là duy nhất.

* Định lí 2

Cho $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ là ba vectơ không đồng phẳng. Với mọi vectơ $\overrightarrow x $ trong không gian ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho  $\overrightarrow x  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c $. Ngoài ra, bộ ba số m, n, p là duy nhất.

Với $\overrightarrow {OX}  = \overrightarrow x ,\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow c $

và $\overrightarrow {OX}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} $; với $\overrightarrow {OA} ' = m\overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} ' = n\overrightarrow b ,\overrightarrow {OC} ' = p\overrightarrow c $. 

Khi đó: $\overrightarrow x  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c $.

Page 2

SureLRN

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Quảng cáo

Để chứng ming hai đường thẳng song song trong không gian có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)

2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.

3. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

4. Áp dụng định lí về giao tuyến song song.

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn mệnh đề đúng.

A. IJ // CD

B. IJ // AB

C. IJ và CD chéo nhau

D. IJ cắt AB

Lời giải

   + Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và BD

⇒ MN là đường trung bình của tam giác BCD nên MN // CD    (1)

   + Do I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD

⇒ AI/AM = AJ/AN = 2/3

⇒ IJ // MN (định lí Ta-let đảo)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IJ // CD

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có AD không song song với BC. Gọi M; N; P; Q; R; T lần lượt là trung điểm của AC; BD; BC; CD; SA và SD. Hai đường thẳng nào sau đây song song với nhau.

A. MP và RT

B. MQ và RT

C. MN và RT

D. PQ và RT

Quảng cáo

Lời giải

   + Ta có: M và Q lần lượt là trung điểm của AC; CD

⇒ MQ là đường trung bình của tam giác CAD nên MQ // AD   (1)

   + Ta có: R; T lần lượt là trung điểm của SA; SD

⇒ RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD   (2)

   + Từ (1) và ( 2) suy ra: MQ // RT

Chọn B

Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC và SD. Tìm đường thẳng không song song với IJ trong các đường thẳng sau:

A. EF          B. DC           C. AD          D. AB

Lời giải

   + Xét tam giác SAB có IJ là đường trung bình

⇒ IJ // AB (tính chất đường trung bình trong tam giác)    (1)

   + Xét tam giác SCD có EF là đường trung bình

⇒ EF // CD    (2)

   + Mà ABCD là hình bình hành nên : AB// CD    (3)

Từ( 1); (2) và (3) suy ra: IJ // AB // CD // EF

Chọn C

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi M; N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB. Hai điểm P và Q cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP và NQ

A. MP // NQ

B. MP ≡ NQ

C. MP cắt NQ

D. MP và NQ chéo nhau

Lời giải

   + Xét mặt phẳng (ABP):

Ta có: M và N thuộc AB nên M; N thuộc mặt phẳng (ABP)

   + Mặt khác: CD ∩ (ABP) = P Và : Q ∈ CD

⇒ Q không thuộc mp (ABP)

⇒ 4 điểm M; N; P và Q không đồng phẳng. (chú ý 3 điểm A; M; N cùng thuộc mp (ABP)

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA; SB. Tìm mệnh đề sai?

A. AB // IJ

B. CD // IJ

C. IJCD là hình thang

D. IJ và CD chéo nhau

Quảng cáo

Lời giải

   + Vì I; J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA; SB nên IJ là đường trung bình của tam giác SAB

⇒ IJ // AB    (1)

   + Lại có: AB // CD    (2)

   + Từ (1) và (2) suy ra: IJ // CD

⇒ Tứ giác IJCD là hình thang.

Chọn D

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB; AC sao cho : AM/AB = AN/AC; Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BD; CD. Tìm mệnh đề sai?

A. MN // BC

B. IJ // BC

C. Điều kiện để tứ giác MNJI là hình bình hành là M; N là trung điểm của AB; AC

D. MN và IJ chéo nhau

Lời giải

   + Ta có: AM/AB = AN/AC, từ đó suy ra: MN // BC    (Định lý Ta-lét đảo)

   + Vì I và J lần lượt là trung điểm của BD và CD nên IJ là đường trung bình của tam giác BCD

⇒ IJ // BC     (2)

   + Từ (1) và (2) suy ra MN // IJ. Vậy tứ giác MNJI là hình thang

   + Để MNJI là hình bình hành thì IJ = MN

Lại có: IJ = (1/2)BC ( tính chất đường trung bình)

⇒ Để MNJI là hình bình hành thì MN = (1/2)BC

⇒ MN là đường trung bình của tam giác

⇒ M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC

Chọn D

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và O là tâm của hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB. Qua M kẻ đường thẳng song song BC cắt SC tại N. Tìm mệnh đề sai.

A. MN // BC        B. MN // AD         C. NO // SA       D.NO // SD

Lời giải

   + Xét mp(SBC) có:

⇒ N là trung điểm của SC (định lí)

   + Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của SB; SC nên MN là đường trung bình của tam giác SBC.

⇒ MN // BC // AD nên A và B đúng

   + Xét mp( SAC) có N và O lần lượt là trung điểm của SC và AC nên NO là đường trung bình của tam giác SAC.

⇒ NO // SA nên C đúng

⇒ D sai

Chọn D.

Ví dụ 8: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi N là điểm thuộc SB sao cho SN = (1/4)SB; gọi M là điểm trên cạnh SD sao cho SM = (1/3)MD. Tìm đường thẳng song song với BD?

A. MA        B. MN         C. NC        D. NS

Lời giải

Trong mp (SBD), ta có: SN = (1/4)SB nên SN/SB = 1/4

   + Do SM = (1/3)MD nên SM = (1/4)SD

⇒ SM/SD = SN/SB = 1/4

⇒ MN // BD (định lí ta-let đảo).

Chọn B

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Gọi A’; B’; C’; D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA; SB; SC và SD. Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với A’B’ ?

A. AB       B. CD       C. C’D’       D. SC

Hiển thị lời giải

Chọn D

   + Do A’ và B’ là trung điểm của SA; SB

⇒ A’B’ là đường trung bình của tam giác SAB.

⇒ A’B’// AB     (1) .

   + Tương tự; C’D’ // CD    (2)

   + Lại có: ABCD là hình bình hành nên AB // CD    (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: A’B’ // AB // CD // C’D’

⇒ D sai

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (ADN) , I là giao điểm của AN và DP. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. SI song song với CD

B. SI chéo với CD

C. SI cắt vớ CD

D. SI trùng với CD

Hiển thị lời giải

Chọn A

   + Trong (ABCD) gọi E = AD ∩ BC, trong (SCD) gọi P = SC ∩ EN

Ta có E ∈ AD ⊂ (ADN) ⇒ EN ⊂ (AND) ⇒ P ∈ (AND)

Vậy P = SC ∩ (ADN)

Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC. Biết AD = a và BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB; SC lần lượt tại M; N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA; SD tại P; Q. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. MN song song với PQ

B. MN chéo vớI PQ

C. MN cắt vớI PQ

D. MN trùng với PQ

Hiển thị lời giải

Chọn A

Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC. Biết AD = a và BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB; SC lần lượt tại M; N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA; SD tại P; Q. Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Tính EF theo A; B.

Hiển thị lời giải

Chọn D

Trước tiên ta chứng minh EF song song với MN Và PQ

Câu 5: Cho tứ diện ABCD; M, N, P,Q lần lượt là trung điểm AC; BC; BD; AD. Tìm điều kiện để MNPQ là hình thoi.

A. AB = BC        B. BC = AD        C. AC = BD        D. AB = CD

Hiển thị lời giải

Chọn D

   + Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AC; CB

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ACB

⇒ MN // AB

   + Tương tự; PQ // AB; MQ // CD và NP // CD

Suy ra: MN song song với PQ vì cùng song song với AB

MQ song song với PN vì cùng song song với CD

⇒ tứ giác MNPQ là hình bình hành.

   + Tứ giác MNPQ là hình thoi khi : MQ = PQ ⇔ AB = CD

Câu 6: Cho hình chóp A.BCD; gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, BC. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm tam giác ABD và ABC. Tìm mệnh đề đúng?

A. MN và G1G2 chéo nhau

B. G1G2 // MN

C. MN cắt G1G2

D. G2M và G1N chéo nhau

Hiển thị lời giải

   + Xét tam giác AMN ta có:

(tính chất trọng tâm tam giác)

⇒ MN // G1G2

Do đó; 2 đường thẳng MN và G1G2 đồng phẳng và 2 đường thẳng G2M, G1N sẽ cắt nhau.

Chọn B

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M là giao điểm của AC và BD. Gọi G1; G2 lần lượt là trọng tâm tam giác SOD và SOB. Tìm đường thẳng song song với G1G2?

A. SH         B.Sk         C. HK         D. KC

Hiển thị lời giải

   + Gọi H là trung điểm của OD và K là trung điểm của OB.

   + Do G1 là trọng tâm tam giác SOD nên: (SG1)/SH = 2/3

   + DO G2 là trọng tâm tam giác SOB nên: (SG2)/SK = 2/3

   + Trong mp(SG1G2) ta có: (SG1)/SH = (SG2)/SK = 2/3

⇒ G1G2 // HK (định lí Ta- let)

Chọn C

Câu 8: Cho tứ diện ABCD có M; N lần lượt thuộc AB; DB sao cho MN // AD. Gọi I là trung điểm BC. Gọi HK là giao tuyến của mp(CNM) và mp(AID). Tìm mệnh đề đúng?

A. HK // AD

B. HK // MI

C. K là trọng tâm tam giác ABC

D. Tất cả sai

Hiển thị lời giải

   + Xét hai mp(CNM) và mp(AID) có:

⇒ HK // AD // MN (hệ quả)

   + Do M là điểm bất kì trên cạnh AB nên chưa chắc K là trọng tâm tam giác ABC

⇒ A đúng

Chọn A

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

duong-thang-va-mat-phang-trong-khong-gian-quan-he-song-song.jsp