3.1 CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP DÃY SỐ.html

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

TÓM TẮT GIÁO KHOA

Nguyên lý quy nạp toán học:

Giả sử là một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n. Nếu cả hai điều kiện và dưới đây được thỏa mãn thì đúng với mọi (m là số tự nhiên cho trước).

đúng.

Vớimỗi số tự nhiên nếu đúng.

Phương pháp chứng minh dựa trên nguyên lý quy nạp toán học gọi là phương pháp quy nạp toán học( hay gọi tắt là phương pháp quy nạp).

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Để chứng minh một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi (m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Chứng minh rằng đúng khi .

Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy ý, . Giả sử đúng khi , ta sẽ chứng minh cũng đúng khi . Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng đúng với mọi số tự nhiên

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

a).

b).

LỜI GIẢI

a). (1)

Với n = 1: Vế trái của (1) ; Vế phải của (1) . Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).Vậy (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy

(đpcm).

Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

b). (1)

Với n = 1: Vế trái của (1) ; Vế phải của (1) .

Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).Vậy (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy

(đpcm).

Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 2: Với mỗi số nguyên dương n, gọi . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì luôn chia hết cho 8.

LỜI GIẢI

Ta có chia hết cho 8 (đúng).

Giả sử chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh chia hết cho 8.

Thật vậy, ta có . Vì và 8 đều chia hết cho 8, nên cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 8.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta luôn có: (*)

LỜI GIẢI

Với ta có (đúng). Vậy (*) đúng với .

Giả sử với thì (*) đúng, có nghĩa ta có: (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với , có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 3 ta được: . Vậy (đúng).

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương .

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

11).

LỜI GIẢI

1).

Với n = 1: Vế trái của (1) = 1, vế phải của (1) . Vậy (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy (thế (2) vào).

(đpcm).

Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Chú ý : với là 2 nghiệm của phương trình .

Áp dụng : ta thấy có 2 nghiệm là . Do đó

2).

Với n = 1: Vế trái của (1) = 4, vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy: (thay (2) vào). (đpcm).

Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

3).

Với n = 1: Vế trái của (1) = 1, vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với .Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy:

(đpcm).

Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

4). (1)

Với n = 1: Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với .Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy:

(đpcm).

Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

5). (1)

Với n = 1: Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy:

(đpcm).

Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

6). (1)

Với n = 1: Vế trái của (1) = 6, vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy:

(đpcm).

Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

7). (1)

Với n = 2: Vế trái của (1) = 4, vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 2.

Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy:

Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương .

8). (1)

Với n = 2: Vế trái của (1) , vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 2.

Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy ta có:

(đpcm).

Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương .

9).

Với n = 1: Vế trái của (1) , vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy: (đúng)

Vì

(đúng).

Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

10). (1)

Với n = 1: Vế trái của (1) , vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có: (2).

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy:

(đpcm).

Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

11).

Với n = 1: Vế trái của (1) , vế phải của (1) . Suy ra (1) đúng với n = 1.

Giả sử (1) đúng với . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy:

(đúng).

Vậy (1) đúng khi . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 2: Chứng minh rằng ta có:

1). chia hết cho 6.

2). chia hết cho 3

3). chia hết cho 3.

4). chia hết cho 6.

5). chia hết cho 6.

6). chia hết cho 9.

7). chia hết cho 9.

8). chia hết cho 5

9). chia hết cho 7.

10). chia hết cho 133.

11). Chứng minh thì chia hết cho 225.

12). Chứng minh thì chia hết cho 32.

13).

LỜI GIẢI

1). chia hết cho 6.

Với ta có chia hết cho 6 đúng.

Giả sử với thì chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh với thì chia hết cho 6.

Thật vậy ta có

Ta có chia hết cho 6 theo bước 2, chia hết cho 6 và 12 hiển nhiên chia hết cho 6. Từ đó suy ra chia hết cho 6 (đpcm).

2). chia hết cho 3

Đặt

Ta có chia hết cho 3.

Giả sử chia hết cho 3.

Ta cần chứng minh chia hết cho 3.

Thật vậy, ta có . Vì và đều chia hết cho 3, nên cũng chia hết cho 3.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 3.

3). chia hết cho 3.

Đặt

Ta có chia hết cho 3 (đúng).

Giả sử chia hết cho 3.

Ta cần chứng minh chia hết cho 3.

Thật vậy, ta có . Vì và đều chia hết cho 3, nên cũng chia hết cho 3.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 3.

4). chia hết cho 6.

Đặt

Ta có chia hết cho 6 (đúng).

Giả sử chia hết cho 6.

Ta cần chứng minh chia hết cho 6.

Thật vậy, khai triển rút gọn ta được . Vì và đều chia hết cho 6, nên cũng chia hết cho 6.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 6.

5). chia hết cho 6.

Đặt

Với , ta có chia hết cho 6 (đúng).

Giả sử chia hết cho 6.

Ta cần chứng minh chia hết cho 6.

Thật vậy ta có . Vì và đều chia hết cho 6, nên cũng chia hết cho 6.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 6.

6). chia hết cho 9.

Đặt

Với , ta có chia hết cho 9 (đúng).

Giả sử chia hết cho 9.

Ta cần chứng minh chia hết cho 9.

Thật vậy ta có

Vì và đều chia hết cho 9, nên cũng chia hết cho 9.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 9.

7). chia hết cho 9.

Đặt

Với , ta có chia hết cho 9 (đúng).

Giả sử chia hết cho 9.

Ta cần chứng minh chia hết cho 9.

Thật vậy ta có

Vì và đều chia hết cho 9, nên cũng chia hết cho 9.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 9.

8). chia hết cho 5

Đặt

Với , ta có chia hết cho 5 (đúng).

Giả sử chia hết cho 5.

Ta cần chứng minh chia hết cho 5.

Thật vậy ta có

Vì và đều chia hết cho 5, nên cũng chia hết cho 5.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 5.

9). chia hết cho 7.

Đặt

Với , ta có chia hết cho 7 (đúng).

Giả sử chia hết cho 7.

Ta cần chứng minh chia hết cho 7.

Thật vậy ta có

Vì và đều chia hết cho 7, nên cũng chia hết cho 7.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 7.

10). chia hết cho 133.

Đặt

Với , ta có chia hết cho 133 (đúng).

Giả sử chia hết cho 133.

Ta cần chứng minh chia hết cho 133.

Thật vậy ta có

Vì và đều chia hết cho 133, nên cũng chia hết cho 133.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 133.

11). Chứng minh thì chia hết cho 225.

Đặt

Với , ta có chia hết cho 225 (đúng).

Giả sử chia hết cho 225.

Ta cần chứng minh chia hết cho 225.

Thật vậy ta có

Vì và đều chia hết cho 225, nên cũng chia hết cho 225.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 225.

12). Chứng minh thì chia hết cho 32.

Đặt

Với , ta có chia hết cho 32 (đúng).

Giả sử chia hết cho 32.

Ta cần chứng minh chia hết cho 32.

Thật vậy ta có

Vì và đều chia hết cho 32, nên cũng chia hết cho 32.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 32.

13).

Đặt

Với , ta có chia hết cho 169 (đúng).

Giả sử chia hết cho 169.

Ta cần chứng minh chia hết cho 169.

Thật vậy ta có

Vì và đều chia hết cho 169, nên cũng chia hết cho 169.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 169.

Câu 3 : Chứng minh rằng , ta có:

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

LỜI GIẢI

1).

Với , , vậy (*) đúng với .

Giả sử ta có đúng.

Ta cần chứng minh

Thật vậy, . Ta lại có , bất đẳng thức này đúng với mọi . Suy ra (đúng).

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương .

2).

đặt

Với ta có (đúng).

Giả sử với thì (*) đúng, có nghĩa ta có:

Ta phải chứng minh (*) đúng với , có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy ta có:

(đúng).

Vậy (đúng). Vậy (*) đúng với .

Suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương .

3).

Với ta có (đúng). Vậy (*) đúng với .

Giả sử với thì (*) đúng, có nghĩa ta có: (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với , có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với ta được:

(đúng).

Vậy (*) đúng với . Do đó (*) đúng với .

4).

Với ta có (đúng). Vậy (*) đúng với .

Giả sử với thì (*) đúng, có nghĩa ta có: (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với , có nghĩa ta phải chứng minh:

.

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với ta được: (theo câu c)).

. Vậy (*) đúng với .

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương .

5).

Với ta có (đúng). Vậy (*) đúng với .

Giả sử với thì (*) đúng, có nghĩa ta có: (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với , có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 3 ta được:

Vì . Vậy (đúng).

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương .

6).

Với ta có (đúng). Vậy (*) đúng với .

Giả sử với thì (*) đúng, có nghĩa ta có: (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với , có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

(đúng), vì

7).

Với ta có (đúng). Vậy (*) đúng với .

Giả sử với thì (*) đúng, có nghĩa ta có: (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với , có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được: (đúng), vì

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương .

Câu 4: Chứng minh luôn là số nguyên với mọi

LỜI GIẢI

Đặt

Với n = 1 thì là số nguyên (đúng).

Giả sử với thì là một số nguyên.

Ta cần chứng minh với thì cũng là một số nguyên. Thật vậy :

.

. Vì là số nguyên và số nguyên nên là số nguyên. Kết luận theo nguyên lí quy nạp thì là số nguyên.

Câu 5: Cho và là số nguyên. Chứng minh: là số nguyên với mọi

LỜI GIẢI

Đặt

Ta có: là số nguyênvà là số nguyên.

Giả sử: là số nguyên với .

Ta phải chứng minh cũng là số nguyên

Thật vậy ta có

. Vì và là các số nguyên nên là số nguyên, hiển nhiên là số nguyên.

Từ đó suy ra là số nguyên.

Theo nguyên lý quy nạp suy ra là số nguyên với mọi .