3 Cách Tìm Tọa độ Tâm Và Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp Tứ Diện

Mặt cầu ngoài tiếp tứ diện ABCD là mặt cầu đi qua 4 điểm hay 4 đỉnh A, B, C và D. Do đó để tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện chúng ta sẽ đi tìm tâm và mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C và D. Với bài toán này thông thường cách cơ bản và dễ hiểu nhất (tuy tính toán hơi dài) là sử dụng 1 trong 3 cách sau:

Cách 1: Gọi I là tâm mặt cầu, sử dụng tính chất $IA=IB=IC=ID$ => tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu. Cách này có thể sử dụng cho bài toán tổng quát lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp khối đa giác.

Cách 2: Giả sử phương trình mặt cầu là: $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$. Vì mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên tọa độ của chúng sẽ thỏa mãn phương trình mặt cầu. Từ đây ta có hệ 4 phương trình ẩn a, b, c và d. Giải hệ này sẽ được phương trình mặt cầu => tọa độ tâm và bán kính mặt cầu.

Cách 3: Chúng ta sẽ viết phương trình mặt phẳng trung trực của ba đoạn thẳng là: AB, BC, CD. Khi đó giao của ba mặt phẳng này sẽ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD hay tâm mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C và D.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm. Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực luôn cách đều 2 đầu đoạn thẳng. Do đó khi tìm được giao điểm của 3 mặt phẳng này thì giao điểm này sẽ luôn cách đều 4 đỉnh A, B, C và D.

Các bạn muốn hiểu thêm về mặt phẳng trung trực thì xem ở bài giảng này nhé: Cách viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.

Sau đây chúng ta cùng tìm hiểu một số bài tập viết phương trình mặt cầu, tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Xem thêm:

• Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng
• Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

Bài tập 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện $ABCD$ với $A(2;1;0); B(1;1;3)$; $C(2;-1;3); D(1;-1;0)$. Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.

Hướng dẫn :

Với bài toán này chúng ta sẽ áp dụng cách 1 để tìm tâm, bán kính mặt cầu.

Gọi tọa độ tâm và bán kính mặt cầu cần tìm là: $I(a;b;c)$ và R

Vì mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có: $IA=IB=IC=ID$.

Ta có:

$\vec{IA}(a-2;b-1;c)$; $\vec{IB}(a-1;b-1;c-3)$; $\vec{IC}(a-2;b+1;c-3)$; $\vec{ID}(a-1;b+1;c)$

$IA=\sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2+c^2}$

$IB=\sqrt{(a-1)^2+(b-1)^2+(c-3)^2}$

$IC=\sqrt{(a-2)^2+(b+1)^2+(c-3)^2}$

$ID=\sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2+c^2}$

Từ $IA=IB \Rightarrow a-3c+3=0$    (1)

Từ $IA=IC \Rightarrow 4b-6c+9=0$       (2)

Từ $IA=ID \Rightarrow 2a+4b-3=0$          (3)

Từ (1) (2) (3) ta có được: $a=\frac{3}{2}; b=0; c=\frac{3}{2} \Rightarrow I(\frac{3}{2};0;\frac{3}{2})$

$R=IA=\sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2+c^2} =\sqrt{(\frac{3}{2}-2)^2+1^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{\sqrt{14}}{2}$

Vậy tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là $I(\frac{3}{2};0;\frac{3}{2})$ và bán kính mặt cầu là $R=\frac{\sqrt{14}}{2}$

Bài tập 2:

Viết phuơng trình mặt cầu qua 4 điểm A,B,C,D biết $A(2;4;-1); B(1;4;-1);C(2;3;4); D(2;2;-1)$. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu tìm được.

Hướng dẫn:

Bài tập này tuy phát biểu không giống với bài tập 1 nhưng về bản chất thì như bài tập 1. Các bạn có thể áp dụng cách làm như bài tập 1. Ngoài ra có thể áp dụng cách 2 để tìm phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm. Trong bài tập này thầy sẽ hướng dẫn các bạn cách 2.

Theo Cách 2:

Gọi phương trình mặt cầu có dạng: $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ với điều kiện $a^2+b^2+c^2-d>0$

Vì mặt cầu đi qua điểm $A(2;4;-1)$ nên ta có phương trình:$4a+8b-2c+d+21=0$    (1)

Vì mặt cầu đi qua điểm $B(1;4;-1)$ nên ta có phương trình:$2a+8b-2c+d+18=0$    (2)

Vì mặt cầu đi qua điểm $C(2;3;4)$ nên ta có phương trình:$4a+6b+8c+d+29=0$     (3)

Vì mặt cầu đi qua điểm $D(2;2;-1)$ nên ta có phương trình:$4a+4b-2c+d+9=0$        (4)

 Từ (1) (2) (3) (4) sẽ có 1 hệ gồm 4 phương trình. Giải hệ này các bạn sẽ tìm được $a=-\frac{3}{2}; b=-3; c=-\frac{7}{5}; d=\frac{31}{5}$

Đây là hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn nên rất nhiều bạn sẽ gặp khó khăn trong việc tìm ra a, b, c và d. Để giải được hệ này các bạn sẽ nhóm phương trình đầu tiên với lần lượt 3 phương trình còn lại, sau đó khử ẩn d. Lúc này sẽ đi giải hệ gồm 3 phương trình 3 ẩn. Tới đây các bạn sử dụng casio để làm nhé.

Để cho dễ hiểu khi làm hệ này bằng tay thì các bạn có thể search google với từ khóa: Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss. Xem video là thấy dễ ngay thôi mà (cái này lên đại học sẽ được học trong phần đại số tuyến tính)

Phương pháp này giải hệ phức tạp quá phải không? vậy thầy sẽ hướng dẫn các bạn giải theo cách thứ 3 nhé. Chắc chắn sẽ đơn giản hơn cách 2 nhiều.

Theo cách 3:

Chúng ta sẽ đi tìm mặt phẳng trung trực của AB, BC, CD nhé. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD thì tọa độ của chúng sẽ là $M(\frac{3}{2};4;-1)$; $N(\frac{3}{2};\frac{7}{2};\frac{3}{2})$; $N(2;\frac{5}{2};\frac{3}{2})$

Xác định tọa độ của các vecto: $\vec{AB}(-1;0;0)$; $\vec{BC}(1;-1;5)$; $\vec{CD}(0;-1;-5)$

Mặt phẳng trung trực của AB:

Đi qua M và nhận $\vec{AB}$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là:

$-1(x-\frac{3}{2})=0\Leftrightarrow 2x-3=0$       (1)

Mặt phẳng trung trực của BC:

Đi qua N và nhận $\vec{BC}$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là:

$1(x-\frac{3}{2})-(y-\frac{7}{2})+5(z-\frac{3}{2})=0$

$\Leftrightarrow x-y+5z-\frac{11}{2}=0$                 (2)

Mặt phẳng trung trực của CD:

Đi qua P và nhận $\vec{CD}$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là:

$0.(x-2)-(y-\frac{5}{2})-5(z-\frac{3}{2})=0$

$\Leftrightarrow y+5z-10=0=0$                        (3)

Gọi giao điểm của 3 mặt phẳng trung trực trên là I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Từ (1) (2) (3) các bạn sẽ tìm được tọa độ của I là: $I(\frac{3}{2}; 3; \frac{7}{5})$

Bán kính mặt cầu là: $IA=\frac{\sqrt{701}}{10}$

Phương trình mặt cầu có dạng là: $(x-\frac{3}{2})^2+(y-3)^2+(z-\frac{7}{5})^2=\frac{701}{100}$

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm $A(5;3;4),B(-3;1;2),C(0;6;2),D(2;3;-1)$. a. Lập phương trình mặt phẳng $(BCD)$. Tính khoảng cách từ A đến $(BCD)$. b. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A,B,C,D. c. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.

Hướng dẫn:

a. Lập phương trình mặt phẳng $(BCD)$. Tính khoảng cách từ A đến $(BCD)$.

Để lập phương trình mặt phẳng $(BCD)$ các bạn cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Các bạn có thể chọn cặp vectơ chỉ phương $\vec{BC}, \vec{BD}$

Ta có: $\vec{BC}(3;5;0); \vec{BD}(5;2;-3)$

Tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là: $\vec{n}_{(BCD)}=(-15;9;-19)$

Phương trình mặt phẳng $(BCD)$ là: $-15x+9y-19z-6=0$

*. Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD):

$d= \frac{|5.(-15)+3.9+4(-19)-6|}{255+81+298}=\frac{130}{634}$

b. Để viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D các bạn làm tương tự như cách làm của bài tập 1 và 2.

c. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.

Các bạn cần tìm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng này. Vì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A nên IA vuông góc với mặt phẳng cần tìm, do đó $\vec{IA}$ là pháp tuyến của mặt phẳng, với I là tâm của mặt cầu tìm được ở trên.

Bài tập 4:

a. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: $A(2;1;5); B(0;1;1); C(0;0;4); D(0;0;0)$.

b. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh là: $A(2;0;0); B(0;4;0); C(0;0;6); D(2;4;6)$

Đáp án: 

a. Phương trình mặt cầu là: $x^2+y^2+z^2-6x+2y-4z=0$

a. Phương trình mặt cầu là: $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ