3. Hạng Của Hệ Vectơ, Cơ Sở Và Số Chiều Của Không Gian Vectơ

1. Trang chủ >
2. Giáo án - Bài giảng >
3. Toán học >

§3. Hạng của hệ vectơ, cơ sở và số chiều của không gian vectơ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (895.52 KB, 166 trang )

- Ngược lại, nếu ∃x ∈ U\U’ mà x không biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của U ’ thìhệ U’ không là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U. Khi đó, hệ U ’ ∪ {x} độc lậptuyến tính. Ta chuyển sang bước 2Bước 2: Kiểm tra hệ U’ ∪ {x} có là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệU hay không tương tự như kiểm tra đối với hệ U’ ở bước 2.Cứ tiếp tục quá trình này sau một số hữu hạn bước ta sẽ tìm được hệ con độc lậptuyến tính cực đại của hệ U.Định lý 1. Nếu hệ U’ là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U ⊂ E thì mọivectơ của hệ U đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua các vectơ của hệ U’.Chứng minhTheo định nghĩa hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U nên mọi x ∈ U đều là tổ hợptuyến tính của U’.Giả sử véc tơ x ∈ U có hai biểu diễn tuyến tính qua hệ U’ = {v1; v2; … ; vp}; trong đópppi =1i =1i =1vi ∈ U (i = 1, 2, …, p); tức là x = ∑ k i v i = ∑ h i v i ⇔ ∑ (k i − h i ) v i = 0 . Do U’ là độc lậptuyến tính nên ki = hi với mọi i. Vậy x là tổ hợp tuyến tính duy nhất của U’.Định lý 2. Số vectơ của mọi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U ⊂ E là bằngnhau.Chứng minhGiả sử U1; U2 là hai hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ U có số véc tơtương ứng là m, p. Giả sử m > p. Do U 2 là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U nênmọi véc tơ của U1 đều biểu thị tuyến tính qua hệ U 2 nên theo định lý 3.7 thì U 1 là hệ phụthuộc tuyến tính. Điều này trái với giả thiết. Suy ra m ≤ p . Thay đổi vai trò của m cho pvà U1 cho U2 ta suy ra m = p.b) Hạng của một hệ vectơĐịnh nghĩa 2. Số vectơ trong một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U ⊂ Eđược gọi là hạng của hệ vectơ U. Ký hiệu là r(U).Quy ước r{θ} = 0.Ví dụ 2. Trong không gian R3, tìm hạng của hệ véc tơU = {u1 = (1; 2; -1); u2 = (2; 1; -3); u3 = (3;3; - 4)}Giải:42Theo ví dụ 1, các hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U đều có 2 véc tơ nênr(U) = 2.Định lý 3. Trong không gian véc tơ E, cho hệ vectơ {u 1, u2, …, um} và vectơ v. Khi đór{u1, u2, …, um} = r{u1, u2, …, um, v} ⇔ v là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1, u2, …, umChứng minh( ⇐ ) Hiển nhiên( ⇒ ) Đặt U = {u1, u2, …, um}Không mất tính tổng quát U’ = {u 1; u2; ... ; uk}( k ≤ m ) là hệ con độc lập tuyến tínhcực đại của U và r(U) = k. Theo giả thiết r{u 1, u2, …, um, v} = r(U) nên nếu U’ ∪ {v} làhệ độc lập tuyến tính thì r(U’ ∪ {v}) =r{u1, u2, …, um, v} = k + 1. Mâu thuẫn, suy ra U’∪ {v} là hệ phụ thuộc tuyến tính . Do đó v là tổ hợp tuyến tính của hệ U’; và cũng là tổhợp tuyến tính của U.Từ định nghĩa và định lý trên ta suy ra chú ý sau:Chú ý 2.i) Hệ vectơ U = {u1, u2, …, um} ⊂ E độc lập tuyến tính ⇔ r(U) = m.ii) Hệ vectơ U = {u1, u2, …, um} ⊂ E phụ thuộc tuyến tính ⇔ r(U) < m.iii) Hạng của một hệ vectơ không thay đổi nếu ta thêm vào hệ đó vectơ θ; hoặc nhânmột véc tơ với một số khác 0; hoặc đổi chỗ hai véc tơ của hệ cho nhau;hoặc thêm vào hệđó một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ của chính hệ đó.Chú ý này cũng cung cấp cho chúng ta cách thứ 2 để xét sự độc lập tuyến tính và sựphụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ bằng cách đưa về xét hạng của hệ véc tơ đó.Định lý 4. Nếu A là ma trận cấp m x n: A = [a ij]m x n thì hạng của ma trận A chính làhạng của hệ véc tơ dòng của ma trận đó (hay cũng chính là hạng của hệ véc tơ cột của matrận đó).Chứng minh:Giả sử U = {d1, d2, ... , dm} là hệ véc tơ dòng của ma trận A; trong đódi = (ai1; ai2; ... ; ain) (i = 1, m )• Nếu r(U) = r thì từ tính chất của định thức và định nghĩa hạng của ma trận ta cór(A) = r.• Bây giờ xét trường hợp ngược lại, nếu r(A) = r, cần chứng minh rằng r(U) = r.43Không mất tính tổng quát tồn tại một định thức con cấp r ở góc trên bên trái của ma trận12...rA khác 0: D = D12...ra 11a= 21...a r1a 12a 22...a r2... a 1r... a 2 r≠0... ...... a rrDo D ≠ 0 nên r dòng đầu d1, d2, ..., dr của A là độc lập tuyến tính. Vì nếu chúng phụ thuộctuyến tính thì các dòng của D phụ thuộc tuyến tính, điều này kéo theo D = 0.Ta sẽ chứng minh rằng hệ V = {d1, d2, ..., dr} là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U.Hay mọi véc tơ dh ( r + 1 ≤ h ≤ m ) đều là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ V.Với mỗi i = 1, 2, ... , n lập định thức cấp r + 1:a 11a 21∆ i = ...a r1a h1a 12a 22...a r2a h2...............a 1ra 2r...a rra hra 1ia 2i...a ria hi+) Nếu 1 ≤ i ≤ r thì ∆ i = 0 vì định thức có 2 cột giống nhau+) Nếu r < i ≤ n thì ∆ i là một định thức cấp r + 1 của ma trận A có r(A) = r nên ∆ i = 0Khi đó, khai triển ∆ i theo cột cuối ta cóa1iF1 + a2iF2 + ... + ariFr + ahi.D = 0Trong đó, Fj (j = 1, 2, 3, ..., r) là phần bù đại số của phần tử a ij (số này không phụ thuộcvào i), còn phần bù đại số của ahi chính là D ≠ 0. Nên ta cóa hi =Đặt k j =− FjD− F1− F2− Fra 1i +a 2i + ... +a ri (1 ≤ i ≤ n )DDD(1 ≤ j ≤ r ) thì ta có dh = k1d1+ k2d2 + ... + krdr. Hay véc tơ dh là tổ hợp tuyếntính của hệ véc tơ V. Nên r(U) = r.Định lý này là cơ sở cung cấp cho chúng ta phương pháp tìm hạng của hệ véc tơtrong không gian Rn.Cách tìm hạng của hệ véc tơ trong Rn:Cho hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} ⊂ Rn. Với mỗi i, ta có44 a 11a21ui = (ai1, ai2, ... , ain); i = 1, 2, 3, … , n. Ma trận A =  ...a m1a 12a 22...a m2... a 1n ... a 2 n  (với dòng thứ i... ... ... a mn của A là toạ độ của véc tơ u i). Ma trận A được gọi là ma trận liên kết với hệ véc tơ U. Khiđó r(U) = r(A).Từ đây, việc tìm hạng của hệ véc tơ U đưa về tìm hạng của ma trận A.Ví dụ 3. Trong không gian R4, tìm hạng của hệ véc tơ U = {u1, u2, u3, u4}u1 = (1; -2; 3; 4); u2 = (1; -1; 2; -1); u3 = (2; - 3; 5; 3); u4 = (4; -5; 9; 1)Giải:Ta có ma trận liên kết với hệ véc tơ U:1 − 2 3 4 1 − 1 2 − 1A=2 − 3 5 3 4 − 5 9 1 Biến đổi ma trận này về dạng bậc thang, ta được4 41 − 2 3 4 1 − 2 31 − 2 31 − 1 2 − 1 −d1 +d 2 0 1 − 1 − 5  −d 21 +d 3 0 1 − 1 − 5 →  → =BA=2 − 3 5 3  −2 d1 +d 3 0 1 − 1 − 5  −3d 2 + d 4 0 000 −4 d1 +d 4 004 − 5 9 1 0 3 − 3 − 150 0Nên r(A) = r(B) = 2. Suy ra r(U) = 2Chú ý 3. Từ mối liên hệ về hạng của hệ véc tơ U và hạng của ma trận A, ta có nhậnxét: +) r(A) = m ⇔ hệ véc tơ U độc lập tuyến tính+) r(A) < m ⇔ hệ véc tơ U phụ thuộc tuyến tínhVí dụ 4. Trong không gian R4, tìm m để hệ véc tơ U sau có hạng bằng 3U = {u1 = (1; -2; 3; 4); u2 = (1; -1; 2; -1); u3 = (3; -5; 8; m); u4 = (3; - 4; 7; -2m + 12) }Giải:Gọi A là ma trận liên kết với hệ véc tơ U. Bài toán đưa về tìm m để r(A) = 341 − 2 31 − 1 2−1  . Biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thangA=Ta có3 − 5 8m3 − 4 7 − 2m + 1245444 1 − 2 31 − 2 31 − 2 31 − 1 2 −d1 +d 2 0 1 − 1 − 2 d 3 + d 4 0 1 − 1 − 5 −1 −5 =BA=→ → 3 − 5 8 −3d1 +d 3 0 1 − 1mm − 12  −d 2 +d 3 0 00 m − 7 −3d1 +d 4 00 3 − 4 7 − 2m + 120 2 − 2 − 2m + 240 0Ma trận B là ma trận dạng bậc thang.r(A) = r(B) = 3 khi và chỉ khi m ≠ 7 .Vậy hệ véc tơ U có r(U) = 3 khi và chỉ khi m ≠ 7 .2. Cơ sở và số chiều của không gian véc tơĐịnh nghĩa 3.Hệ véc tơ U = {u1, u2, ... , um} là một cơ sở của không gian véc tơ E nếu thoả mãn 2điều kiện:(i) Hệ U là hệ độc lập tuyến tính(ii) Hệ U là hệ sinh của E, tức là với mọi véc tơ x ∈ E thì x là tổ hợp tuyến tính củahệ véc tơ U.Khi đó, người ta nói E có số chiều bằng m và ký hiệu dimE = m. E được gọi là khônggian véc tơ hữu hạn chiều.Trong trường hợp ngược lại nếu trong E không tồn tại một hệ véc tơ U có hữu hạn véctơ thoả mãn 2 điều kiện (i) và (ii) thì E được gọi là không gian vô hạn chiều.Không gian { θ} có số chiều bằng 0, cơ sở của không gian véc tơ là không duy nhất.Ví dụ 5. Trong không gian Rn, cho hệ vectơ {e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, …, 0), …,en = (0, …, 0, 1)}.Chứng minh hệ U= {e 1, e2, …, en} là một cơ sở của Rn và tìm chiều củaRn.Giải:Mọi vectơ x = (x1, x2, …, xn) ∈ R n đều có biểu diễn tuyến tính theo các vectơ e 1, e2, …,en:x = (x1, x2, …, xn) = x1(1, 0, …, 0) + x2(0, 1, 0, …, 0) + … + xn(0, …, 0, 1)= x1e1 + x2e2 + … + xnen.Xét phương trình k1e1 + k2e2 + … + knen = 0⇔ k 1 (1, 0, ... , 0) + k 2 (0,1, ... , 0) + ... + k n (0, 0, ... ,1) = (0, 0, ... , 0) ⇔ ( k 1 , k 2 , ... , k n ) = ( 0, 0, ..., 0 )⇔ k1 = k2 = … = kn = 0Vậy hệ véc tơ {e1, e2, …, en} là độc lập tuyến tínhVậy hệ {e1, e2, …, en} là một cơ sở của Rn, người ta gọi là cơ sở chính tắc của R n vàdim(Rn) = n.46Định lý 5. Hệ véc tơ U = {u1, u2, ... , um} là cơ sở của không gian véc tơ E khi và chỉkhi mọi x ∈ E đều tồn tại duy nhất các số x1, x2, ... , xm sao chox = x1u1 + x2u2 + ... + xmum (*)Khi đó, cặp m số (x1; x2; ... ; xm) được gọi là toạ độ của véc tơ x đối với cơ sở UChứng minh:( ⇒ ) Với mọi x ∈ E , do U là cơ sở của E nên luôn viết được: x = x 1u1 + x2u2 + ... +xmum. Giả sử x viết được dưới dạng khác: x = y1u1 + y2u2 + ... + ymum thìx1u1 + x2u2 + ... + xnun = y1u1 + y2u2 + ... + ymum⇔ (x1 − y1 )u1 + (x 2 − y 2 )u 2 + ... + (x m − y m )u m = 0 . Do hệ véc tơ U là độc lập tuyếntính nên suy ra x1 = y1; x2 = y2; ... ; xm = ym. Hay biểu diễn (*) là duy nhất.( ⇐ ) Giả sử có biểu diễn duy nhất (*), ta cần chứng minh hệ véc tơ U là cơ sở của E.Trước hết U là hệ sinh của E.Bây giờ chỉ cần chứng minh U là hệ độc lập tuyến tínhThật vậy, xét k1u1 + k2u2 + ... + kmum = 0 (**)Mặt khác, ta còn có 0.u1 + 0.u2 + ... + 0.um = 0 (***)Từ (**) và (***) suy ra k1 = 0, k2 = 0, ... , km = 0.Hay hệ véc tơ U là độc lập tuyến tínhĐịnh lý 6. Cho không gian véc tơ E với cơ sở U = {u 1, u2, ... , um}. Nếu V = {v1,v2, ... , vp} (p < m) thì có thể chọn m – p véc tơ thích hợp trong U bổ sung vào V để đượcmột cơ sở mới của E.Chứng minhNếu mọi phần tử của U đều là tổ hợp tuyến tính của V thì theo hệ quả 3.6 ta có m ≤ pmâu thuẫn với p < m. Do đó, có ít nhất một phần tử của U không là tổ hợp tuyến tính củaV chẳng hạn là vp + 1, hay hệ {v1, v2, ... , vp, vp+1} là độc lập tuyến tínhNếu p + 1 = m thì suy ra điều phải chứng minh.Còn nếu p + 1 < n thì lập luận tương tự như trên, suy ra tìm được véc tơ v p+2 của U đểhệ {v1, v2, ... , vp, vp+1, vp+2} là độc lập tuyến tính.Quá trình trên cứ tiếp tục cho đến khi số phần tử của hệ véc tơ mới đủ bằng m. Haytìm được một cơ sở của E.Từ định lý này ta suy ra hệ quả sau:Hệ quả: Trong không gian véc tơ E có số chiều dimE = m(i) Mọi hệ véc tơ độc lập tuyến tính có m véc tơ đều là cơ sở của E47(ii) Mọi hệ độc lập tuyến tính của E có nhiều nhất m véc tơ(iii) Mọi hệ sinh của E có m véc tơ đều là cơ sở của E(iii) Bất kỳ cơ sở nào của E cũng có m véc tơVí dụ 6. Trong không gian R3, tìm m để hệ véc tơ sau là cơ sở của R3U = { u 1 = (1; 2;1); u 2 = (1;3;−1); u 3 = ( 2; 5; m)}Giải:Ta có U là hệ có 3 véc tơ trong không gian R3 nên U là cơ sở của R3 thì U phải là hệđộc lập tuyến tính.1 2 11 2 1 1 3 − 1Mà ma trận liên kết với hệ véc tơ U là: A =  có A = 0 1 − 2 = m2 5 m 0 0 mNên U độc lập tuyến tính ⇔ A ≠ 0 ⇔ m ≠ 048§4. Không gian vectơ con1.Khái niệm về không gian véc tơ conCho không gian véc tơ E với hai phép toán cộng véc tơ và nhân một số với một véc tơĐịnh nghĩa 1. Cho W ⊂ E, W ≠ ∅. Nếu với hai phép toán trên W cũng là không gianvéc tơ thì W được gọi là không gian con của VNhư vậy muốn chứng minh W ⊂ E là không gian con của E ta phải chứng minh rằngbản thân W với hai phép toán: cộng hai véc tơ và nhân véc tơ với một số trong V cũngthoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ.Ví dụ 1. Các tập hợp E, { θ } là các không gian con của EĐịnh lý sau là cơ sở để chứng minh W ⊂ E là một không gian con của V đơn giảnhơn.Định lý 1. Cho W ⊂ E, W ≠ ∅.W được gọi là không gian vectơ con của E cần và đủ là W thoả mãn hai điều kiện sauđây :a) ∀u, v ∈ W thì u + v ∈ Wb) ∀u ∈ W, ∀λ ∈ R thì λu ∈ WChứng minh( ⇒ ) Nếu W là không gian con của E thì W thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơnên đương nhiên sẽ thoả mãn a) và b).( ⇐ ) Ngược lại giả sử a) và b) thoả mãn. Khi đó các tiên đề i), ii), v), vi), vii), viii) đãthoả mãn trong E thì cũng thoả mãn trong W. Nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh cáctiên đề iii) và iv) cũng thoả mãn trong W.Thật vậy với u ∈ W, ta có θ = 0.u ∈ W , - u = (-1). u ∈ W (theo b)). Do đó, trong W tacó: u + θ = θ + u = u(-u) + u = u + (- u) = [1 + (-1)]u = 0u = θVậy W là không gian con của EChú ý 1. Mọi không gian vectơ con của E đều chứa θ của E. Cơ sở và số chiều củakhông gian véc tơ W cũng được gọi là cơ sở và số chiều của không gian con.Ví dụ 2. Trong không gian R3, xét tập hợpW = { (x 1 , x 2 , 0) : x 1 , x 2 ∈ R}Chứng minh rằng W là không gian con của R3. Tìm cơ sở và số chiều của W49Giải:Trước hết ta có véc tơ không của R3: θ = (0, 0, 0) ∈ WBây giờ kiểm tra hai điều kiện a) và b) của định lý 3.12Thật vậy, với u, v ∈ W ta có u = (x1, x2, 0), v = (y1, y2, 0). Khi đóu + v = (x1 + y1, x2 + y2 , 0) ∈ Wλ u = ( λ x1, λ x2, 0) ∈ WDo đó, W là không gian con của không gian R3Xét hệ véc tơ U của W: U = {u1 = (1, 0, 0); u2 = (0, 1, 0)}Dễ dàng thấy rằng U là một hệ độc lập tuyến tính và mọi véc tơ X = (x 1, x2, 0) ∈ Wđều có X = x1u1 + x2u2 nên U là một cơ sở của W và dimW = 2Ví dụ 3. Trong không gian các ma trận vuông cấp 2, Mat2(R). Xét tậpa b W = A = ; a, b ∈ R  0 0Chứng minh rằng W là một không gian con của Mat 2(R). Tìm một cơ sở và số chiềucủa W.Chứng minh0 0 Dễ thấy θ = ∈W0 0 Bây giờ cần kiểm tra hai điều kiện a) và b) của định lý 3.12.a 10Thật vậy, với A, B ∈ W, ta có A = a + a 2A+B=  1 0b1 a 2; B =  00b1 + b 2 ka 1 ∈ W ; kA =  00 b2 0kb1 ∈W0 Vậy W là không gian con của Mat2(R).1 00 1  Xét hệ véc tơ U của W: U = U 1 = ; U 2 = 0 0  0 0  a b  ∈ W đều0 0 Dễ dàng thấy rằng U là một hệ độc lập tuyến tính và mọi ma trận A = có A = aU1 + bU2 nên U là một cơ sở của W và dimW = 2.4. Không gian con sinh bởi một hệ véc tơĐịnh nghĩa 2. Cho U = {u 1, u2, …, um} ⊂ E. Gọi L[U] là tập hợp tất cả các tổ hợptuyến tính của các phần tử trên U:50

Xem Thêm

Tài liệu liên quan

• TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Nhà xuất bản Sư phạm
  • 166
  • 24,203
  • 29
• An toàn khu định hoá trong căn cứ địa kháng chiến việt bắc
  • 110
  • 0
  • 0
• Ảnh hưởng của giáo dục nhà trường tới nhận thức của học sinh thpt về sức khoẻ sinh sản (khảo sát tại trường thpt than uyên ii - lai châu)
  • 127
  • 2
  • 10
• Áp dụng dạy học tích cực để hình thành khái niệm địa lí kinh tế – xã hội cho học sinh lớp 10 thpt ở tỉnh bắc Cạn
  • 130
  • 4
  • 10
• Biện pháp giảm tải bài học về tác gia ở trung học phổ thông (bài Nguyễn Trãi)
  • 98
  • 159
  • 0
• Biện pháp giáo dục kỹ năng sống cho học sinh tiểu học trên địa bàn thành phố thái nguyên tỉnh thái nguyên
  • 110
  • 346
  • 2
• Biện pháp nâng cao hiệu quả sử dụng phương tiện dạy học ở trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên
  • 97
  • 226
  • 0
• Biện pháp phát triển đội ngũ giảng viên trường cao đẳng kinh tế - kỹ thuật thuộc đại học thái nguyên
  • 126
  • 1
  • 10
• Biện pháp phối hợp quản lý hoạt động bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên trung học phổ thông của BCH Công đoàn giáo dục tỉnh Quảng Ninh
  • 119
  • 231
  • 1
• Biện pháp quản lý hoạt động dạy học theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học viên tại trung tâm hướng nghiệp và giáo dục thường xuyên tỉnh quảng ninh
  • 113
  • 160
  • 0
• Biện pháp quản lý thực hiện chương trình giáo dục lý luận chính trị tại các trung tâm bồi dưỡng chính trị cấp huyện tỉnh thái nguyên
  • 113
  • 0
  • 0

Tải bản đầy đủ (.doc) (166 trang)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(4.82 MB) - TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Nhà xuất bản Sư phạm-166 (trang) Tải bản đầy đủ ngay ×