3. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian

  Cũng như quan hệ song song trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian rất quan trong. Trong phần này, chúng ta sẽ biết được thế nào là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng…, và điều kiện gì mà ta có được những điều đó.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Định nghĩa

 Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

 Kí hiệu: a ⊥ (P) hay (P) ⊥ a

2. Tính chất

• Định lý 1. (Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng đó sẽ vuông góc với mặt phẳng ấy.

• Định lý 2. (Định lý ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a có hình chiếu trên mặt phẳng (P) là đường thẳng a’. Khi ấy đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với a khi và chỉ khi nó vuông góc với a’.

3. Đoạn thẳng góc và đoạn xiên

 Cho mặt phẳng (P) và điểm O ∉ (P). Gọi H là hình chiếu của O trên (P); A, B là các điểm trên (P) nhưng không trùng với H. Ta có:

1. OH ngắn nhất

2. OA = OB ⇔ HA = HB

3. OA > OB ⇔ HA > HB

Góc

1. Góc giữa hai đường thẳng

 Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là góc giữa hai đường thẳng d’1 và d’2 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với d1 và d2.

Kí hiệu: 

2. Góc giữa hai mặt phẳng

• Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Chú ý:  Góc giữa hai mặt phẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90º

3. Hai mặt phẳng vuông góc

• Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90º

• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi một trong hai mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vuông góc vơi mặt phẳng còn lại.

4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

•  Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90 º.

• Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a với hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Khoảng cách

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

• Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), kí hiệu là d(M, (P)) (hoặc đến đường thẳng d, kí hiệu là d(M, d)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, với H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên d).

• Nhận xét: 

1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng (đường thẳng) là khoảng cách nhỏ nhất so với khoảng cách giữa M với một điểm N bất kì trên mặt phẳng (đường thẳng)

2. d(M, (P)) = 0 ⇔ M ∈ (P); d(M, d) = 0 ⇔ M ∈ d

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

• Định nghĩa 1: Khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng (P) song song với a, là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P). Kí hiệu: d(a, (P)).

• Định nghĩa 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này dến mặt phẳng kia. Kí hiệu: d((P), (Q)).

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

• Định nghĩa 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng c cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b, đồng thời vuông góc với a và b.

1. Đường thẳng c nói trên được goi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.

2. Giả sử đường thẳng c cắt a và b lần lượt tạ M và N thì MN được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.

• Định nghĩa 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

• Nhận xét:

1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng song song chứa đường thẳng còn lại

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

 Click vào đây để kiểm tra những gì đã học được nhé! Quan hệ vuông góc

Hướng dẫn làm bài trắc nghiệm: huongdanlambaitracnghiem

✿◕ ‿ ◕✿ “Mỗi buổi sáng chúng ta có 2 lựa chọn: tiếp tục ngủ với ươc mơ của mình hoặc là thức dậy và theo đuổi ước mơ. Còn bạn? bạn chọn điều gì?“

Chia sẻ:

• Twitter
• Facebook

Thích Đang tải...

Có liên quan