3 Quy Tắc đếm Cơ Bản Và Bài Tập Vận Dụng - O₂ Education

3 quy tắc đếm cơ bản, 3 nguyên lý của bài toán đếm

Trong phần này, chúng ta sẽ sử dụng 3 quy tắc đếm (quy tắc cộng, quy tắc nhân và quy tắc bù trừ) để giải quyết các bài toán có dạng như sau:

• Bạn Nam có 2 hòn bi đen, 3 hòn bi trắng. Cần chọn một viên bi, màu gì cũng được. Hỏi có mấy cách chọn?
• Bạn Nam cần đi từ Nam Định đến Hà Nội nhưng bắt buộc phải đi qua Phủ Lý. Biết rằng từ Nam Định đến Phủ Lý có 2 cách chọn đường đi, từ Phủ Lý đến Hà Nội có 3 cách chọn đường đi. Hỏi bạn Nam có mấy cách chọn đường đi từ Nam Định đến Hà Nội?

1. Các quy tắc đếm cơ bản

1.1. Quy tắc cộng (nguyên lý cộng)

Giả sử một công việc được thực hiện theo một trong hai phương án (hướng, trường hợp, khả năng) $ A $ hoặc $ B $.

• Phương án $ A $ có thể thực hiện theo $ n $ cách.
• Phương án $ B $ có thể thực hiện theo $ m $ cách.

Khi đó, để hoàn thành công việc có thể thực hiện theo $ n + m $ cách.

Quy tắc cộng có thể mở rộng trong trường hợp tổng quát, khi công việc có nhiều hướng để xử lý không chỉ là $ A $ hoặc $ B $ nữa mà có thể là $ A $ hoặc $ B $ hoặc $C$ hoặc $D$… Lúc đó, chúng ta cộng tất cả các cách của từng trường hợp $A,B,C,D…$ này lại.

1.2. Quy tắc nhân (nguyên lý nhân)

Giả sử một công việc bao gồm hai công đoạn (giai đoạn, bước) 1 và 2.

• Công đoạn 1: có thể thực hiện theo $ n $ cách
• Công đoạn 2: có thể thực hiện theo $ m $ cách.

Khi đó, để hoàn thành được công việc có thể thực hiện theo $ n.m $ cách.

Quy tắc nhân có thể được mở rộng ra cho công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn.

1.3. Quy tắc bù trừ (nguyên lý bù trừ)

Tư tưởng của nguyên lí này là hãy đếm phần dễ đếm để suy ra phần khó đếm nhưng lại phải đếm. 

Chẳng hạn, ở một ngôi làng có 100 thanh niên trai tráng, cần chọn ra 2 người trong số họ để lên đường đi giết rồng lửa cứu dân làng. Thì, số cách chọn ra 2 người đó cũng chính bằng số cách chọn ra 98 người để ở nhà. Vì nếu chọn được 98 người ở nhà thì đương nhiên 2 người còn lại sẽ là 2 người đi giết rồng.

Dấu hiện để nhận biết khi nào sử dụng nguyên lý bù trừ là đề bài xuất hiện các cụm từ luôn có, ít nhất, có đủ, có nhiều nhất, có ít nhất.

2. Các ví dụ về quy tắc đếm

Ví dụ 1. Trong kì thi THPTQG 2015, trường Xuân Trường B có kết quả xuất sắc nên được chọn một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một học sinh đạt từ 28,5 điểm trở lên từ các lớp 12A1,12A2 hoặc 12A3. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, biết rằng lớp 12A1 có 5 học sinh đạt từ 28,5 điểm trở lên, lớp 12A2 có 4 học sinh và lớp 12A3 có 3 học sinh đạt từ 28,5 điểm trở lên.

Hướng dẫn. Để chọn một học sinh đạt từ 28,5 điểm trở lên, chúng ta có thể chọn:

• Chọn học sinh lớp 12A1: có 5 cách.
• Chọn học sinh lớp 12A2: có 4 cách.
• Chọn học sinh lớp 12A3: có 3 cách.

Theo quy tắc cộng, có tất cả \( 5+4+3=12 \) cách chọn,

Ví dụ 2. Có 8 bông hoa hồng khác nhau và 6 bông hoa cúc khác nhau, hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 bông hoa?

Hướng dẫn. Để chọn một bông hoa, chúng ta có các hướng sau:

• Chọn hoa hồng: có 8 cách chọn,
• Chọn hoa cúc: có 6 cách chọn.

Theo quy tắc cộng, có tất cả 8+6=14 cách chọn một bông hoa.

Ví dụ 3. Trên kệ sách có 12 quyển sách tham khảo Toán 11 và 6 quyển sách tham khảo Lý 11. Hỏi một học sinh có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách trong hai loại sách nói trên?

Hướng dẫn. Để chọn một cuốn sách, học sinh có thể

• Chọn sách Toán: có 12 cách
• Chọn sách Lý: có 6 cách

Theo Quy tắc cộng, học sinh có 12+6=18 cách chọn một cuốn sách.

Ví dụ 4. Một em bé có thể mang họ cha là Nguyễn, hoặc họ mẹ là Lê; tên đệm có thể là Văn, Hữu hoặc Đình; tên có thể là Nhân, Nghĩa, Trí hoặc Dũng. Hỏi có bao nhiêu cách đặt tên cho bé?

Hướng dẫn. Việc đặt tên cho bé phải trải qua ba bước:

• Bước 1, lựa chọn họ: có 2 cách.
• Bước 2, lựa chọn tên đệm: có 3 cách.
• Bước 3, lựa chọn tên: có 4 cách.

Theo quy tắc nhân, có tất cả $ 2.3.4=24 $ cách đặt tên cho bé.

Ví dụ 5. Một lớp học có 40 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban điều hành lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết rằng mỗi học sinh đều có thể làm một nhiệm vụ.

Hướng dẫn. Để chọn một ban điều hành lớp, cô giáo phải thực hiện 3 bước:

• Bước 1, chọn lớp trưởng: có 40 cách (vì ai cũng có khả năng làm lớp trưởng)
• Bước 2, chọn lớp phó: có 39 cách (vì một học sinh đã được chọn làm lớp trưởng, nên chỉ còn 39 học sinh có thể làm lớp phó)
• Bước 3, chọn thủ quỹ: còn lại 38 học sinh nên có 38 cách chọn

Theo quy tắc nhân, có $ 40\cdot 39 \cdot 38 = 58280 $ cách chọn.

Ví dụ 6. Từ các chữ số $ 1, 2, 3,4 $ có thể lập được bao nhiêu số gồm 2 chữ số?

Hướng dẫn. Để lập được số có hai chữ số, chúng ta thực hiện hai bước:

• Bước 1, chọn chữ số hàng chục: có 4 cách chọn (chọn một trong bốn chữ số đã cho)
• Bước 2, chọn chữ số hàng đơn vị: cũng có 4 cách chọn vì không yêu cầu phải khác chữ số hàng chục.

Theo Quy tắc nhân, có thể lập được tất cả $ 4^2= 16$ số.

Ví dụ 7. Từ các chữ số $ 1, 2, 3,4 $ có thể lập được bao nhiêu số gồm hai chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau?

Hướng dẫn. Tương tự ví dụ trươc, nhưng ở bước 2, chọn chữ số hàng đơn vị chỉ có 3 cách vì phải chọn chữ số khác với chữ số đã được chọn làm hàng chục.

Đáp số: Có $ 4.3= 12$ số.

Ví dụ 8. Cho tập $ E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. $ Từ các phần tử của $ E $ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau? Hướng dẫn. Để chọn được số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu, chúng ta giả sử số đó là $\overline{abcd}$. Việc lập số được thực hiện qua 4 bước:

• Bước 1: Chọn chữ số $d$ chẵn, có 4 cách chọn (chọn một trong bốn chữ số $2,4,6,8$)
• Bước 2: Chọn chữ số $a$, có 8 cách (vì có tất cả 9 chữ số nhưng một số đã chọn viết vào vị trí $d$ nên chỉ còn lại 8 chữ số)
• Bước 3: Chọn chữ số $b$, có 7 cách (phải chọn chữ số khác chữ số $a$ và $d$)
• Bước 4: Chọn chữ số $c$, có 6 cách (khác $a,b,d$)

Theo Quy tắc nhân, có tất cả $1344$ số.

Ví dụ 9. Cần sắp xếp ba người $ A, B, C $ lên hai toa tàu (mỗi toa có thể chứa được 3 người). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

Hướng dẫn.

• Lời giải sai: Toa tàu thứ nhất có 3 cách chọn người, toa thứ hai có 3 cách chọn người. Do đó có 3.3 = 9 cách. Sai ở chỗ là toa thứ nhất có nhiều cách chọn (không chọn ai cả hoặc chọn 1 người, 2 người, cả 3 người) đồng thời khi chọn người A thì toa thứ hai không thể chọn người A được nữa!
• Lời giải đúng: Việc xếp ba người lên tàu gồm 3 bước: Chọn toa cho người A, có 2 cách; sau đó chọn toa cho người B, cũng có 2 cách; và bước cuối cùng, chọn toa cho người C, có 2 cách. Vậy có $ 2.2.2=8 $ cách sắp xếp ba người lên hai toa tàu.

Ví dụ 10. Trong vòng đấu loại của giải cờ vua “Master Chess 2016”, trường Xuân Trường B có 36 ứng viên tham gia. Mỗi người bốc thăm và chơi đúng 1 ván với một người khác. Mr Ban Ban cần biết có bao nhiêu trận đấu để xếp lịch, hãy tính giúp ông ấy!

Hướng dẫn.  Xét 18 đấu thủ (cầm quân trắng chẳng hạn).

• Người thứ 1 có 35 cách chọn đối thủ, còn lại 34 người chưa thi đấu.
• Người thứ 2 có 33 cách chọn đối thủ, còn lại 32 người chưa thi đấu.
• Người thứ 3 có 30 cách chọn đối thủ, còn lại 28 người chưa thi đấu.
• …
• Người thứ 18 có 1 cách chọn đối thủ duy nhất còn lại.

Theo quy tắc nhân có tất cả $ 35.33.31.29….3.1 $ trận đấu.

Đôi khi, để giải quyết nhiều bài toán, chúng ta phải phối hợp sử dụng cả 2 quy tắc đếm một cách linh hoạt.

Ví dụ 11. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau?

Hướng dẫn.  Ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0. Khi đó, chữ số thỏa mãn yêu cầu được thành lập qua các bước:
  • Chọn chữ số hàng đơn vị: chỉ có 1 cách chọn (là số 0).
  • Chọn chữ số hàng nghìn: có 9 cách chọn.
  • Chọn chữ số hàng trăm: có 8 cách chọn.
  • Chọn chữ số hàng chục: có 7 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, trường hợp này có $ 1\cdot 9\cdot 8\cdot 7=504 $ số thỏa mãn yêu cầu.

• Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0. Khi đó, chữ số thỏa mãn yêu cầu được thành lập qua các bước:
  • Chọn chữ số hàng đơn vị: có 4 cách chọn một trong các số 2,4,6,8.
  • Chọn chữ số hàng nghìn: có 8 cách chọn, vì phải khác 0 và khác chữ số hàng đơn vị vừa được chọn.
  • Chọn chữ số hàng trăm: có 8 cách chọn.
  • Chọn chữ số hàng chục: có 7 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, trường hợp này có $ 4\cdot 8\cdot 8\cdot 7= 1792 $ số thỏa mãn yêu cầu.

Như vậy, tổng hợp cả hai trường hợp ta có $ 504+1792=2296 $ số thỏa mãn yêu cầu.

Các bài toán sử dụng nguyên lý bù trừ, xin đón xem ở bài viết https://o2.edu.vn/hoan-vi-to-hop-chinh-hop

Xem thêm: Các dạng toán Tổ Hợp Xác Suất Nhị Thức Newton