3. Xếp Hạng Ma Trận

Trang chủ » Tính Chất Hạng Của Ma Trận » 3. Xếp Hạng Ma Trận

Có thể bạn quan tâm

§3. Xếp hạng ma trận

Xác định hạng của ma trận

Các hàng phụ thuộc tuyến tính

Các phép biến đổi ma trận cơ bản

Ma trận tương đương

Thuật toán tìm hạng của ma trận sử dụng các phép biến đổi cơ bản

§4. Các yếu tố quyết định thứ tự thứ nhất, thứ hai và thứ ba

Yếu tố quyết định bậc nhất

Yếu tố quyết định bậc hai

Yếu tố quyết định bậc ba

Quy tắc Sarrus

§5. Tính toán các yếu tố quyết định các đơn đặt hàng lớn

Phép cộng đại số

Định lý Laplace

Định thức ma trận tam giác

Ruột thừa. Khái niệm về một yếu tố quyết định P thứ tự nói chung.

§ 3. Xếp hạng ma trận

Mỗi ma trận được đặc trưng bởi một số nhất định có ý nghĩa quan trọng trong việc giải hệ phương trình tuyến tính. Số này được gọi là xếp hạng ma trận.

Xếp hạng ma trận bằng số hàng (cột) độc lập tuyến tính của nó, qua đó tất cả các hàng (cột) khác của nó được biểu diễn tuyến tính.

Các hàng (cột) của ma trận được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu các phần tử tương ứng của chúng là tỷ lệ thuận.

Nói cách khác, các phần tử của một trong các hàng phụ thuộc tuyến tính bằng các phần tử của hàng kia, nhân với cùng một số. Ví dụ: hàng 1 và 2 của ma trận NHƯNG phụ thuộc tuyến tính nếu, trong đó (λ là một số).

Ví dụ. Tìm hạng của ma trận

Quyết định.

Hàng thứ hai nhận được từ hàng đầu tiên nếu các phần tử của nó được nhân với -3, hàng thứ ba nhận được từ hàng đầu tiên nếu các phần tử của nó được nhân với 0 và hàng thứ tư không thể được biểu thị theo giá trị của hàng đầu tiên. Nó chỉ ra rằng ma trận có hai hàng độc lập tuyến tính, bởi vì hàng đầu tiên và hàng thứ tư không tỷ lệ với nhau, do đó hạng của ma trận là 2.

Xếp hạng ma trận NHƯNG biểu thị xếp hạng A hoặc r(Một).

Từ định nghĩa về hạng của ma trận, nó như sau:

1. Thứ hạng của ma trận không vượt quá kích thước nhỏ nhất của nó, tức là cho ma trận Là × N .

2. Hạng của ma trận chỉ bằng 0 nếu nó là ma trận không.

Trong trường hợp chung, việc xác định thứ hạng của một ma trận khá tốn công sức. Để tạo điều kiện thuận lợi cho nhiệm vụ này, các phép biến đổi được sử dụng để bảo toàn thứ hạng của ma trận, được gọi là biến đổi cơ bản:

1) loại bỏ hàng không (cột);

2) phép nhân tất cả các phần tử của một hàng (cột) với một số khác 0;

3) thay đổi thứ tự của các hàng (cột);

4) thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác, nhân với bất kỳ số nào;

5) chuyển vị ma trận.

Hai ma trận được gọi là tương đương nếu cái này nhận được từ cái kia bằng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Sự tương đương của các ma trận được biểu thị bằng dấu "~" (tương đương).

Với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, ma trận nào cũng có thể thu gọn về dạng tam giác, thì việc tính hạng của nó không khó.

Quy trình tính hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản hãy xem một ví dụ.

Ví dụ. Tìm hạng của ma trận

A =

Quyết định.

Nhiệm vụ của chúng ta là đưa ma trận về dạng tam giác, tức là sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đảm bảo rằng chỉ các số không nằm dưới đường chéo chính trong ma trận.

1. Hãy xem xét dòng đầu tiên. Nếu phần tử một 11 = 0, sau đó khi hoán vị các hàng hoặc cột, chúng ta đạt được điều đó một 11 ¹ 0. Trong ví dụ của chúng ta, hãy hoán đổi, chẳng hạn như hàng đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận:

A =

Hiện tại phần tử một 11 ¹ 0. Nhân hàng đầu tiên với các số thích hợp và cộng với các hàng khác, chúng tôi sẽ đảm bảo rằng tất cả các phần tử của cột đầu tiên (ngoại trừ một 11) bằng không.

2. Bây giờ hãy xem xét dòng thứ hai. Nếu phần tử một 22 = 0, sau đó khi hoán vị các hàng hoặc cột, chúng ta đạt được điều đó một 22 ¹ 0. Nếu phần tử một 22 ¹ 0 (và chúng tôi có một 22 = –1 ¹ 0), sau đó nhân hàng thứ hai với các số thích hợp và thêm vào các hàng khác, chúng tôi sẽ đảm bảo rằng tất cả các phần tử của cột thứ hai (ngoại trừ một 22) bằng không.

3. Nếu trong quá trình biến đổi thu được các hàng (cột) bao gồm hoàn toàn các số không thì chúng ta loại bỏ chúng. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi sẽ loại bỏ dòng 3 và 4:

Ma trận cuối cùng có dạng bậc và chứa hai hàng. Chúng độc lập tuyến tính, do đó hạng của ma trận là 2.

§ 4. Các yếu tố quyết định thứ tự thứ nhất, thứ hai và thứ ba

Trong số nhiều loại ma trận, ma trận vuông được chọn riêng biệt. Loại ma trận này tốt vì:

1. Các ma trận nhận dạng là hình vuông.

2. Bạn có thể nhân và cộng bất kỳ ma trận vuông nào có cùng bậc và bạn sẽ nhận được một ma trận có cùng bậc.

3. Ma trận vuông có thể được nâng lên thành lũy thừa.

Ngoài ra, chỉ có ma trận vuông mới có thể có định thức.

Định thức ma trận là một số đặc biệt được tính theo một quy luật nào đó. Định thức ma trận NHƯNG ký hiệu:

Hoặc với dấu ngoặc thẳng:,

Hoặc chữ cái Hy Lạp viết hoa "delta": Δ ( Một),

Hoặc ký hiệu "định thức": det ( Một).

Định thức của ma trận bậc nhất NHƯNG= (một 11) hoặc yếu tố quyết định bậc đầu tiên, là một số bằng phần tử ma trận:

∆1 = =một 11

Định thức ma trận bậc hai hoặc yếu tố quyết định bậc hai

Ví dụ:

Định thức của ma trận bậc ba hoặc yếu tố quyết định bậc ba, là một số được tính theo công thức:

Yếu tố quyết định thứ ba có thể được tính toán bằng cách sử dụng Quy tắc Sarrus .

Quy tắc Sarrus. Hai cột đầu tiên được ký vào định thức bậc ba ở bên phải và với dấu cộng (+), chúng lấy tổng tích của ba phần tử nằm trên đường chéo chính của định thức và trên "đường thẳng" song song với đường chéo chính, với dấu trừ (-) chúng lấy tổng tích của các phần tử nằm trên đường chéo thứ hai và trên các "đường thẳng" song song với nó.

Ví dụ:

Dễ dàng nhận thấy rằng số hạng trong định thức tăng dần theo thứ tự của nó. Nói chung, trong yếu tố quyết định P thứ tự, số hạng là 1 2 3 ... P = P!.

Hãy kiểm tra: với Δ 1 thì số số hạng bằng 1! = 1,

đối với Δ 2 số hạng là 2! = 1 2 = 2,

cho Δ 3 số hạng là 3! = 1 2 3 = 6.

Theo đó, đối với định thức bậc 4, số hạng là 4! = 1 2 3 4 = 24, nghĩa là việc tính định thức như vậy khá tốn công, chưa kể định thức bậc cao. Xem xét điều này, họ cố gắng giảm việc tính toán các yếu tố quyết định của các đơn đặt hàng lớn thành việc tính toán các yếu tố quyết định của các đơn hàng thứ hai hoặc thứ ba.

§ 5. Tính toán các yếu tố quyết định các đơn đặt hàng lớn

Hãy để chúng tôi giới thiệu một số khái niệm.

Cho một ma trận vuông được Một-đặt hàng thứ:

A =

Diễn viên phụ M yếu tố ij một ij được gọi là định thức ( P- 1) thứ tự thu được từ ma trận NHƯNG làm văng ra tôi-dòng thứ và j-cột thứ.

Ví dụ, phần tử phụ của phần tử một 12 ma trận bậc ba sẽ là:

Phép cộng đại số NHƯNG yếu tố ij một ij là phụ của nó, được lấy với dấu (−1) tôi + j:

NHƯNG ij = (−1) tôi + jM ij

Nói cách khác, NHƯNG ij = M tôi nếu tôi+j số chẵn,

NHƯNG ij = - M tôi nếu tôi+j số lẻ.

Ví dụ. Tìm phần bổ sung đại số của các phần tử thuộc hàng thứ hai của ma trận

Quyết định.

Với sự trợ giúp của phần bổ sung đại số, người ta có thể tính toán các định thức của bậc lớn, dựa trên định lý Laplace.

Định lý Laplace. Định thức của ma trận vuông bằng tổng tích các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của nó và phần bổ sung đại số của chúng:

– phân hủy trên dòng thứ i;

( là phần mở rộng trong cột thứ j).

Ví dụ. Tính định thức ma trận sự phân hủy trên dòng đầu tiên.

Quyết định.

Do đó, một định thức của bất kỳ đơn hàng nào có thể được rút gọn thành phép tính một số định thức của một đơn hàng nhỏ hơn. Rõ ràng là để mở rộng, thuận tiện để chọn một hàng hoặc cột chứa càng nhiều số 0 càng tốt.

Hãy xem xét thêm một ví dụ.

Ví dụ. Tính định thức của ma trận tam giác

Quyết định.

Hiểu rồi định thức của ma trận tam giác bằng tích của các phần tử của đường chéo chính của nó .

Kết luận quan trọng này giúp bạn dễ dàng tính định thức của bất kỳ ma trận tam giác nào. Điều này càng hữu ích hơn bởi vì, nếu cần, bất kỳ định thức nào có thể được rút gọn thành dạng tam giác. Trong trường hợp này, một số thuộc tính của định thức được sử dụng.

ruột thừa

Khái niệm về một yếu tố quyết định P thứ tự nói chung.

Nói chung, người ta có thể đưa ra một định nghĩa chặt chẽ cho định thức ma trận P thứ tự, nhưng đối với điều này, nó là cần thiết để giới thiệu một số khái niệm.

hoán vị số 1, 2, ..., N bất kỳ sự sắp xếp nào của các số này theo một thứ tự nhất định đều được gọi. Trong đại số sơ cấp, người ta chứng minh rằng số tất cả các hoán vị có thể được tạo thành từ N số là 12 ... n = N! Ví dụ, ba số 1, 2, 3 có thể tạo thành 3! = 6 hoán vị: 123, 132, 312, 321, 231, 213.

Họ nói rằng trong một hoán vị nhất định của số tôi và j cấu tạo sự nghịch đảo(rối loạn) nếu tôi> j, nhưng tôiđứng trong hoán vị này trước j, nghĩa là, nếu số lớn hơn ở bên trái của số nhỏ hơn.

Hoán vị được gọi là thậm chí(hoặc số lẻ) nếu tổng số nghịch đảo tương ứng là chẵn (lẻ).

Một phép toán bằng cách chuyển từ một hoán vị này sang một hoán vị khác, bao gồm cùng một N số được gọi là thay thế Nđộ thứ.

Phép thay thế biến một hoán vị này thành hoán vị khác được viết thành hai dòng trong ngoặc đơn, và các số chiếm vị trí giống nhau trong các hoán vị đang xét được gọi là tương ứng và được viết liền nhau. Ví dụ, biểu tượng

biểu thị một hoán vị trong đó 3 chuyển thành 4, 1 thành 2, 2 thành 1, 4 thành 3. Một hoán vị được gọi là chẵn (hoặc lẻ) nếu tổng số nghịch đảo trong cả hai hàng của phép thay thế là chẵn (lẻ). Mọi sự thay thế N mức độ thứ có thể được viết là

những thứ kia. với sự sắp xếp tự nhiên của các số ở dòng trên cùng.

Hãy cho chúng tôi một ma trận vuông có thứ tự N

Xem xét tất cả các sản phẩm có thể N các phần tử của ma trận này, được lấy một và chỉ một từ mỗi hàng và mỗi cột, tức là các tác phẩm có dạng:

,

chỉ số ở đâu q 1 , q 2 ,..., q n tạo thành một số hoán vị của các số 1, 2,..., N. Số sản phẩm đó bằng số các hoán vị khác nhau từ N ký tự, tức là bằng N! Bảng hiệu công việc , bằng (–1) q, ở đâu q là số nghịch đảo trong hoán vị của các chỉ số thứ hai của các phần tử.

bản ngã N-đơn hàng thứđược gọi là tổng đại số của tất cả các tích có thể có trên N phần tử ma trận, được lấy một và chỉ một từ mỗi hàng và mỗi cột, tức là các tác phẩm có dạng: . Đồng thời, dấu hiệu của việc bằng (-1) q, ở đâu q là số nghịch đảo trong hoán vị của các chỉ số thứ hai của các phần tử.

Đại số tuyến tính

Trước đây cho ma trận vuông thứ tự, khái niệm về trẻ vị thành niên được đưa ra thành phần . Nhớ lại rằng đây là tên của yếu tố quyết định thứ tự , thu được từ yếu tố quyết định làm văng ra -dòng thứ và -cột thứ.

Bây giờ chúng tôi xin giới thiệu khái niệm chung về trẻ vị thành niên. Hãy xem xét một số không nhất thiết phải là hình vuông ma trận . Hãy chọn một số số dòng và số cột .

Sự định nghĩa. Đơn hàng nhỏ ma trận (tương ứng với các hàng và cột đã chọn) được gọi là yếu tố quyết định thứ tự , được hình thành bởi các phần tử đứng ở giao điểm của các hàng và cột đã chọn, tức là con số

.

Mỗi ma trận có rất nhiều con của một thứ tự nhất định Có bao nhiêu cách chọn số hàng? và cột .

Sự định nghĩa. Trong ma trận kích thước đặt hàng nhỏ triệu tập nền tảng, nếu nó khác 0, và tất cả các trẻ vị thành niên theo thứ tự không hoặc trẻ vị thành niên của trật tự tại ma trận tuyệt đối không.

Rõ ràng là có thể có một số trẻ vị thành niên khác nhau trong một ma trận, nhưng tất cả các trẻ vị thành niên cơ sở đều có cùng một thứ tự. Thật vậy, nếu tất cả trẻ vị thành niên có trật tự bằng 0, thì chúng bằng 0 và tất cả các trẻ vị thành niên theo thứ tự , và do đó, tất cả các đơn đặt hàng cao hơn.

Sự định nghĩa. Xếp hạng ma trậnđược gọi là thứ tự của trẻ vị thành niên cơ sở, hay nói cách khác, thứ tự lớn nhất mà các trẻ vị thành niên khác không tồn tại. Nếu tất cả các phần tử của ma trận đều bằng 0, thì hạng của ma trận đó, theo định nghĩa, được coi là bằng không.

Xếp hạng ma trận sẽ được biểu thị bằng ký hiệu . Nó tuân theo định nghĩa của thứ hạng cho ma trận kích thước tỷ lệ hợp lý.

Hai cách để tính hạng của ma trận

một) Phương pháp Tua nhỏ

Hãy để trẻ nhỏ được tìm thấy trong ma trận thứ tự, khác 0. Chỉ xem xét những trẻ vị thành niên đó -thứ tự, chứa (bao quanh) nhỏ : nếu chúng đều bằng 0, thì hạng của ma trận là . Nếu không, trong số những người thuộc con giáp có một người chưa thành niên thứ tự, và toàn bộ quy trình được lặp lại.

Ví dụ 9 . Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp tiểu giáp.

Chúng tôi chọn một phần nhỏ của đơn hàng thứ hai . Chỉ có một trẻ vị thành niên của bậc thứ ba, giáp giới vị thành niên đã chọn . Hãy tính toán nó.

Quá nhỏ cơ bản và hạng của ma trận bằng với thứ tự của nó, tức là

Rõ ràng là việc sắp xếp các phần tử theo cách này để tìm kiếm cơ sở một là một nhiệm vụ liên quan đến các phép tính lớn, nếu các kích thước của ma trận không phải là rất nhỏ. Tuy nhiên, có một cách dễ dàng hơn để tìm hạng của ma trận - sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

b) Phương pháp biến đổi cơ bản

Sự định nghĩa. Các phép biến đổi ma trận cơ bảnđược gọi là các phép biến đổi sau:

    nhân một chuỗi với một số khác 0;

    thêm dòng khác vào một dòng;

    hoán vị dòng;

    các phép biến đổi cột giống nhau.

Các phép biến đổi 1 và 2 được thực hiện theo từng phần tử.

Bằng cách kết hợp các phép biến đổi của loại thứ nhất và thứ hai, chúng ta có thể thêm một tổ hợp tuyến tính của các dòng còn lại vào bất kỳ dòng nào.

Định lý. Các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi hạng của ma trận.

(không có bằng chứng)

Ý tưởng về một phương pháp thực tế để tính hạng của một ma trận

nằm ở chỗ với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, ma trận đã cho dẫn đến quan điểm

, (5)

trong đó các phần tử "đường chéo" khác 0 và các phần tử nằm bên dưới "đường chéo" bằng 0. Hãy để chúng tôi gọi là ma trận loại hình tam giác này (cách khác, nó được gọi là đường chéo, hình thang hoặc cầu thang). Sau khi đưa ma trận sang dạng tam giác, chúng ta có thể viết ngay rằng .

Thật, (vì các phép biến hình sơ cấp không làm thay đổi hạng). Nhưng ma trận có một thứ tự khác không :

,

và bất kỳ phần nào của đơn đặt hàng chứa chuỗi null và do đó là null.

Bây giờ chúng ta hãy xây dựng một quy tắc tính thứ hạng ma trận sử dụng các phép biến đổi cơ bản: để tìm hạng của ma trận nó sẽ được đưa về dạng tam giác với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản . Khi đó, hạng của ma trận sẽ bằng số hàng khác 0 trong ma trận kết quả .

Ví dụ 10 Tìm hạng của ma trận phương pháp biến đổi cơ bản

Quyết định.

Hãy hoán đổi hàng đầu tiên và hàng thứ hai (vì phần tử đầu tiên của hàng thứ hai là −1 và sẽ thuận tiện khi thực hiện các phép biến đổi với nó). Kết quả là, chúng ta thu được một ma trận tương đương với ma trận đã cho.

Chứng tỏ - hàng thứ của ma trận - . Chúng ta cần đưa ma trận ban đầu về dạng tam giác. Chúng ta sẽ coi dòng đầu tiên là dòng đầu tiên, nó sẽ tham gia vào tất cả các phép biến đổi, nhưng bản thân nó vẫn không thay đổi.

Ở giai đoạn đầu tiên, chúng tôi thực hiện các phép biến đổi cho phép chúng tôi thu được các số không trong cột đầu tiên, ngoại trừ phần tử đầu tiên. Để làm điều này, từ hàng thứ hai, trừ hàng đầu tiên, nhân với 2 , thêm dòng đầu tiên vào dòng thứ ba và từ số thứ ba, chúng tôi trừ số đầu tiên, nhân với 3 Ta nhận được một ma trận có hạng của nó trùng với hạng của ma trận đã cho. Hãy biểu thị nó bằng cùng một chữ cái :

.

Vì chúng ta cần đưa ma trận về dạng (5), chúng ta lấy hàng thứ tư trừ đi thứ hai. Khi làm như vậy, chúng tôi có:

.

Một ma trận tam giác thu được và có thể kết luận rằng , tức là số hàng khác 0. Tóm lại, giải pháp cho vấn đề có thể được viết như sau:

Cho một số ma trận:

.

Chọn trong ma trận này dòng tùy ý và cột tùy ý . Sau đó, yếu tố quyết định thứ tự, bao gồm các phần tử ma trận nằm ở giao điểm của các hàng và cột đã chọn được gọi là cột phụ ma trận thứ tự .

Định nghĩa 1.13. Xếp hạng ma trận là bậc lớn nhất của số nhỏ khác 0 của ma trận này.

Để tính thứ hạng của một ma trận, người ta nên xem xét tất cả các phần tử của nó thuộc thứ tự nhỏ nhất và nếu ít nhất một trong số chúng là khác không, hãy tiến hành xem xét các phần tử của ma trận có bậc cao nhất. Cách tiếp cận này để xác định thứ hạng của một ma trận được gọi là phương pháp giáp ranh (hoặc phương pháp các con giáp ranh giới).

Nhiệm vụ 1.4. Bằng phương pháp giáp ranh giới trẻ, xác định thứ hạng của một ma trận .

.

Ví dụ: hãy xem xét đường viền theo thứ tự đầu tiên, . Sau đó, chúng tôi chuyển sang việc xem xét một số giáp của bậc thứ hai.

Ví dụ, .

Cuối cùng, chúng ta hãy phân tích biên của bậc ba.

.

Vì vậy, bậc cao nhất của một số nhỏ khác 0 là 2, do đó .

Khi giải quyết vấn đề 1.4, người ta có thể nhận thấy rằng dãy các con lân cận của bậc hai là khác không. Về vấn đề này, quan điểm sau đây diễn ra.

Định nghĩa 1.14. Con cơ sở của ma trận là bất kỳ con nào khác 0 mà bậc của nó bằng bậc của ma trận.

Định lý 1.2.(Định lý nhỏ cơ bản). Các hàng cơ bản (cột cơ bản) độc lập tuyến tính.

Lưu ý rằng các hàng (cột) của ma trận phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ khi ít nhất một trong số chúng có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các ma trận khác.

Định lý 1.3. Số hàng của ma trận độc lập tuyến tính bằng số cột của ma trận độc lập tuyến tính và bằng hạng của ma trận.

Định lý 1.4.(Điều kiện cần và đủ để định thức có giá trị bằng không). Để cho yếu tố quyết định -đơn hàng thứ bằng 0, cần và đủ để các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

Việc tính toán hạng của một ma trận dựa trên định nghĩa của nó là quá cồng kềnh. Điều này trở nên đặc biệt quan trọng đối với ma trận bậc cao. Về vấn đề này, trong thực tế, hạng của ma trận được tính dựa trên việc áp dụng các Định lý 10.2 - 10.4, cũng như việc sử dụng các khái niệm về sự tương đương của ma trận và các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.15. Hai ma trận và được gọi là tương đương nếu cấp bậc của chúng bằng nhau, tức là .

Nếu ma trận và là tương đương, sau đó đánh dấu .

Định lý 1.5. Hạng của ma trận không thay đổi so với các phép biến đổi cơ bản.

Chúng ta sẽ gọi các phép biến đổi cơ bản của ma trận bất kỳ hành động nào sau đây trên ma trận:

Thay thế hàng bằng cột và cột bằng hàng tương ứng;

Hoán vị các hàng của ma trận;

Gạch bỏ một dòng, tất cả các phần tử của chúng đều bằng 0;

Nhân bất kỳ chuỗi nào với một số khác 0;

Thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử tương ứng của một hàng khác nhân với cùng một số .

Hệ quả của Định lý 1.5. Nếu ma trận thu được từ ma trận sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản, sau đó các ma trận và là tương đương.

Khi tính hạng của một ma trận, cần rút gọn nó về dạng hình thang bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.16. Chúng ta sẽ gọi hình thang là một dạng biểu diễn của ma trận, khi ở con giáp của bậc lớn nhất khác 0, tất cả các phần tử bên dưới đường chéo đều biến mất. Ví dụ:

.

Đây , phần tử ma trận chuyển về số không. Khi đó dạng biểu diễn của một ma trận như vậy sẽ là hình thang.

Theo quy luật, ma trận được thu gọn thành hình thang bằng cách sử dụng thuật toán Gaussian. Ý tưởng của thuật toán Gaussian là, bằng cách nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận với các yếu tố tương ứng, chúng đạt được rằng tất cả các phần tử của cột đầu tiên nằm bên dưới phần tử , sẽ chuyển thành 0. Sau đó, nhân các phần tử của cột thứ hai với các số nhân tương ứng, chúng ta đạt được rằng tất cả các phần tử của cột thứ hai nằm bên dưới phần tử , sẽ chuyển thành 0. Tiếp tục tiến hành tương tự.

Nhiệm vụ 1.5. Xác định hạng của ma trận bằng cách rút gọn nó về dạng hình thang.

.

Để thuận tiện cho việc áp dụng thuật toán Gaussian, bạn có thể hoán đổi hàng đầu tiên và hàng thứ ba.

.

Rõ ràng là ở đây . Tuy nhiên, để mang lại kết quả ở dạng thanh lịch hơn, có thể tiếp tục tiếp tục các phép biến đổi trên các cột.

.

Hãy xem xét một ma trận A có kích thước.

A = Chọn k hàng và k cột trong đó ( ).

Định nghĩa 26:Diễn viên phụ Bậc k của ma trận A là định thức của ma trận vuông, nhận được từ định thức đã cho bằng cách chọn trong đó.

k hàng và k cột.

Định nghĩa 27:cấp ma trận được gọi là ma trận lớn nhất trong số các bậc khác không của các phần tử của nó, r (A).

Định nghĩa 28: Trẻ vị thành niên có thứ tự giống với cấp bậc của nó được gọi là trẻ vị thành niên cơ bản.

Tuyên bố:

1. Thứ hạng được biểu thị dưới dạng số nguyên. ( )

2.r = 0, khi A bằng không.

Các phép biến đổi cơ bản của ma trận.

Các phép biến đổi cơ bản của ma trận bao gồm:

1) phép nhân tất cả các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận với cùng một số.

2) cộng các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận các phần tử tương ứng của hàng (cột) khác nhân với cùng một số;

3) hoán vị của các hàng (cột) của ma trận;

4) loại bỏ hàng không (cột);

5) thay thế các hàng của ma trận bằng các cột tương ứng.

Định nghĩa 29: Các ma trận thu được từ nhau, dưới các phép biến đổi cơ bản, được gọi là ma trận tương đương, ký hiệu là "~"

Thuộc tính chính của ma trận tương đương: Hạng của các ma trận tương đương là bằng nhau.

Ví dụ 18: Tính r (A),

Quyết định: Nhân dòng đầu tiên từng bước với (-4) (- 2)

(-7) rồi thêm lần lượt vào các hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư.

~

hoán đổi dòng thứ hai và thứ tư nhân hàng thứ hai với (-2) và cộng với hàng thứ tư; thêm hàng thứ hai và thứ ba.

thêm hàng thứ ba và thứ tư.

~bỏ dòng rỗng

~r (A) = 3 thứ hạng của ma trận ban đầu

bằng ba.

Định nghĩa 30: Chúng ta gọi ma trận A là ma trận bước nếu tất cả các phần tử của đường chéo chính 0 và các phần tử dưới đường chéo chính bằng không.

Phục vụ:

1) hạng của ma trận bước bằng số hàng của nó;

2) bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành dạng bước với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản.

Ví dụ 19: Tại các giá trị nào của ma trận  có hạng bằng một?

Quyết định: Xếp hạng bằng một nếu định thức bậc hai bằng 0, tức là

§6. Hệ phương trình tuyến tính dạng tổng quát.

xem hệ thống --- (9) được gọi là hệ có dạng tổng quát.

Định nghĩa 31: Hai hệ được cho là tương đương (tương đương) nếu mọi nghiệm của hệ thứ nhất là nghiệm của hệ thứ hai và ngược lại.

Trong hệ thống (1), ma trận A = sẽ được gọi là ma trận chính của hệ thống, và =hệ thống ma trận mở rộng

Định lý. Kronecker-Cappelli

Để hệ thống (9) nhất quán, cần và đủ rằng hạng của ma trận chính của hệ thống bằng hạng của ma trận mở rộng, tức là r (A) = r ( )

Định lý 1. Nếu hạng của ma trận của một hệ nhất quán bằng số ẩn số thì hệ có nghiệm duy nhất.

Định lý 2. Nếu hạng của ma trận của một hệ liên hợp nhỏ hơn số ẩn số thì hệ có vô số nghiệm.

Quy tắc giải một hệ phương trình tuyến tính tùy ý:

1) tìm cấp bậc của ma trận chính và ma trận mở rộng của hệ thống. Nếu một , thì hệ thống không nhất quán.

2) Nếu = r, thì hệ thống nhất quán. Tìm một số nhỏ cơ bản của bậc r. Chúng tôi sẽ gọi là nhỏ cơ bản, trên cơ sở đó thứ hạng của ma trận đã được xác định.

Các ẩn số mà hệ số được đưa vào phụ cơ bản được gọi là chính (cơ bản) và được đặt ở bên trái, trong khi các ẩn số còn lại được gọi là tự do và chuyển sang vế phải của phương trình.

3) Tìm biểu thức của ẩn số chính trong các ẩn số tự do. Giải pháp chung của hệ thống thu được.

Ví dụ 20:Điều tra hệ thống và trong trường hợp có tính tương thích của nó, hãy tìm một giải pháp chung hoặc duy nhất

Quyết định: 1) theo T. Kronecker-Capelli, chúng tôi tìm thấy cấp bậc của các ma trận cơ bản và mở rộng của hệ thống:

~~

~~hạng của ma trận chính là hai

2) tìm thứ hạng của ma trận tăng cường ~~~

3) Sự kết luận:= 2, thì hệ thống nhất quán.

Nhưng hệ thống là vô hạn và có vô số nghiệm.

4) Những ẩn số cơ bản và , vì chúng thuộc về trẻ vị thành niên cơ bản, và - miễn phí không xác định.

Để cho được = c, trong đó c là số bất kỳ.

5) Ma trận cuối cùng tương ứng với hệ thống

6) Trả lời:

7) Kiểm định: trong bất kỳ phương trình nào của hệ ban đầu, nơi có tất cả các ẩn số, chúng tôi thay thế các giá trị tìm được.

Bài viết này sẽ thảo luận về một khái niệm như hạng của ma trận và các khái niệm bổ sung cần thiết. Chúng tôi sẽ đưa ra các ví dụ và bằng chứng về việc tìm hạng của ma trận, đồng thời cũng cho bạn biết ma trận nhỏ là gì và tại sao nó lại quan trọng như vậy.

Ma trận nhỏ

Để hiểu hạng của ma trận là gì, cần phải hiểu khái niệm như một ma trận nhỏ.

Định nghĩa 1

Diễn viên phụkma trận thứ tự - định thức của ma trận vuông bậc k × k, bao gồm các phần tử của ma trận A, nằm trong k hàng và k cột được chọn trước, đồng thời giữ nguyên vị trí của các phần tử của ma trận A.

Nói một cách đơn giản, nếu trong ma trận A chúng ta xóa (p-k) hàng và (n-k) cột, và từ những phần tử còn lại đó, chúng ta tạo một ma trận, giữ nguyên sự sắp xếp của các phần tử của ma trận A, thì định thức của ma trận kết quả là Hạng tử bậc k của ma trận A.

Từ ví dụ này, các phần tử con bậc nhất của ma trận A chính là các phần tử của ma trận.

Chúng tôi có thể đưa ra một số ví dụ về trẻ vị thành niên của đơn hàng thứ hai. Hãy chọn hai hàng và hai cột. Ví dụ, hàng thứ nhất và thứ hai, thứ ba và thứ tư cột.

Với sự lựa chọn các phần tử này, số nhỏ của bậc hai sẽ là - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Một con khác bậc 2 của ma trận A là 0 0 1 1 = 0

Hãy để chúng tôi cung cấp các hình ảnh minh họa về việc xây dựng các con bậc hai của ma trận A:

Số nhỏ bậc 3 thu được bằng cách xóa cột thứ ba của ma trận A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Một minh họa về cách thu được bậc phụ thứ 3 của ma trận A:

Đối với một ma trận nhất định, không có con nào cao hơn bậc 3, bởi vì

k ≤ m i n (p, n) = m i n (3, 4) = 3

Có bao nhiêu ma trận con bậc k cho ma trận A bậc p × n?

Số lượng trẻ vị thành niên được tính theo công thức sau:

C p k × C n k, g e C p k = p! k! (p - k)! và C nk = n! k! (n - k)! - số lượng các tổ hợp từ p đến k, từ n đến k, tương ứng.

Sau khi chúng ta đã quyết định các hạng tử của ma trận A là gì, chúng ta có thể tiến hành xác định hạng của ma trận A.

Xếp hạng ma trận: các phương pháp tìm kiếm

Định nghĩa 2

Xếp hạng ma trận - bậc cao nhất của ma trận, khác 0.

Chỉ định 1

Xếp hạng (A), Rg (A), Rang (A).

Từ định nghĩa hạng của ma trận và hạng của ma trận, ta thấy rõ hạng của ma trận 0 bằng 0 và hạng của ma trận khác 0 khác 0.

Tìm hạng của ma trận theo định nghĩa

Định nghĩa 3

Phương pháp liệt kê nhỏ - một phương pháp dựa trên việc xác định hạng của ma trận.

Thuật toán hành động bằng cách liệt kê trẻ vị thành niên :

Cần tìm hạng của ma trận A có bậc P× N. Nếu có ít nhất một phần tử khác 0, thì hạng của ma trận ít nhất bằng một ( tại vì là con bậc 1 không bằng 0).

Sau đó, theo sau việc liệt kê các trẻ vị thành niên của bậc 2. Nếu tất cả các trẻ vị thành niên bậc 2 đều bằng 0, thì xếp hạng bằng một. Nếu có ít nhất một con khác 0 của bậc 2, thì cần phải liệt kê các con nhỏ của bậc 3, và hạng của ma trận, trong trường hợp này, sẽ ít nhất là hai.

Hãy làm tương tự với hạng của bậc 3: nếu tất cả các hạng tử của ma trận đều bằng 0 thì hạng sẽ bằng hai. Nếu có ít nhất một con bậc ba khác 0, thì hạng của ma trận ít nhất là ba. Và như vậy, bằng cách tương tự.

Ví dụ 2

Tìm hạng của ma trận:

A \ u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Vì ma trận khác 0 nên hạng của nó ít nhất bằng một.

Số hạng thứ 2 - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 khác 0. Điều này ngụ ý rằng hạng của ma trận A ít nhất là hai.

Chúng tôi sắp xếp thông qua các phần tử của bậc 3: C 3 3 × C 5 3 \ u003d 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 cái.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Các con bậc 3 bằng 0, do đó hạng của ma trận là hai.

Trả lời : Hạng (A) = 2.

Tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp lập diềm

Định nghĩa 3

Phương pháp Tua nhỏ - một phương pháp cho phép bạn có được một kết quả với công việc tính toán ít hơn.

Tua nhỏ - M o k (k + 1) bậc thứ của ma trận A, giáp với M thứ bậc k của ma trận A, nếu ma trận tương ứng với M o k "chứa" ma trận tương ứng với M.

Nói một cách đơn giản, ma trận tương ứng với M phụ cận kề được lấy từ ma trận tương ứng với M phụ cận kề bằng cách xóa các phần tử của một hàng và một cột.

Ví dụ 3

Tìm hạng của ma trận:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Để tìm hạng, ta lấy hạng phụ thứ 2 M = 2 - 1 4 1

Chúng tôi viết ra tất cả trẻ vị thành niên giáp ranh:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Để chứng minh cho phương pháp của các số phụ, chúng tôi trình bày một định lý mà công thức của nó không yêu cầu cơ sở chứng minh.

Định lý 1

Nếu tất cả các con giáp với con bậc k của ma trận A bậc p x n đều bằng 0, thì tất cả các con bậc (k + 1) của ma trận A đều bằng 0.

Thuật toán hành động :

Để tìm thứ hạng của một ma trận, không nhất thiết phải đi qua tất cả các phụ, chỉ cần nhìn vào các đường viền.

Nếu các con giáp bằng 0, thì hạng của ma trận bằng 0. Nếu tồn tại ít nhất một trẻ vị thành niên không bằng 0, thì chúng tôi coi là trẻ vị thành niên giáp ranh.

Nếu tất cả chúng bằng 0, thì Xếp hạng (A) là hai. Nếu có ít nhất một trẻ vị thành niên không giáp, thì chúng tôi sẽ tiến hành xem xét các trẻ vị thành niên giáp với nó. Và như vậy, theo một cách tương tự.

Ví dụ 4

Tìm thứ hạng của ma trận bằng phương pháp lập diềm

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Làm thế nào để quyết định?

Vì phần tử a 11 của ma trận A không bằng 0 nên ta lấy hạng tử bậc 1. Hãy bắt đầu tìm kiếm một con giáp khác 0:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

Chúng tôi đã tìm thấy một con giáp của bậc 2 không bằng 0 2 0 4 1.

Hãy thống kê các con giáp - (có (4 - 2) × (5 - 2) = 6 con).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Trả lời : Hạng (A) = 2.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp Gauss (sử dụng các phép biến đổi cơ bản)

Nhắc lại các phép biến hình cơ bản là gì.

Các phép biến đổi cơ bản:

  • bằng cách sắp xếp lại các hàng (cột) của ma trận;
  • bằng cách nhân tất cả các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận với một số k tùy ý;

bằng cách thêm vào các phần tử của hàng (cột) bất kỳ phần tử nào tương ứng với một hàng (cột) khác của ma trận, được nhân với một số k tùy ý.

Định nghĩa 5

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp Gauss - một phương pháp dựa trên lý thuyết về sự tương đương của ma trận: nếu ma trận B nhận được từ ma trận A bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản, thì Hạng (A) = Hạng (B).

Tính hợp lệ của câu lệnh này tuân theo định nghĩa của ma trận:

  • trong trường hợp hoán vị các hàng hoặc cột của ma trận, dấu hiệu thay đổi định thức của nó. Nếu nó bằng 0, thì khi hoán vị các hàng hoặc cột, nó vẫn bằng 0;
  • Trong trường hợp nhân tất cả các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào của ma trận với một số k tùy ý, không bằng 0, thì định thức của ma trận thu được bằng định thức của ma trận ban đầu. bởi k;

trong trường hợp thêm vào các phần tử của một hàng hoặc cột nhất định của ma trận các phần tử tương ứng của một hàng hoặc cột khác, được nhân với số k, không làm thay đổi định thức của nó.

Thực chất của phương pháp biến đổi sơ cấp : giảm ma trận, có hạng cần tìm, thành một hình thang bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Để làm gì?

Hạng của ma trận loại này khá dễ tìm. Nó bằng số hàng có ít nhất một phần tử khác rỗng. Và vì hạng không thay đổi trong các phép biến đổi cơ bản, đây sẽ là hạng của ma trận.

Hãy minh họa quá trình này:

  • đối với ma trận chữ nhật A có thứ tự p x n, số hàng trong đó lớn hơn số cột:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R a n k (A) = k

  • đối với ma trận chữ nhật A có thứ tự p x n, số hàng trong đó nhỏ hơn số cột:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b p p + 1 ⋯ b p n, R a n k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

  • cho ma trận vuông A bậc n x n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R a n k (A) = k, k< n

Ví dụ 5

Tìm hạng của ma trận A bằng các phép biến đổi cơ bản:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Làm thế nào để quyết định?

Vì phần tử a 11 khác 0, nên cần nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận A với 1 a 11 \ u003d 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Chúng tôi thêm vào các phần tử của hàng thứ 2 các phần tử tương ứng của hàng thứ nhất, được nhân với (-3). Đối với các phần tử của hàng thứ 3, chúng tôi thêm các phần tử của hàng thứ nhất, được nhân với (-1):

~ A (1) \ u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \ u003d \ u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5 ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Phần tử a 22 (2) khác 0, vì vậy chúng ta nhân các phần tử của hàng thứ 2 của ma trận A với A (2) với a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) \ u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \ u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

  • Đối với các phần tử của hàng thứ 3 của ma trận kết quả, chúng tôi cộng các phần tử tương ứng của hàng thứ 2, được nhân với 3 2;
  • đến các phần tử của hàng thứ 4 - các phần tử của hàng thứ 2, được nhân với 9 2;
  • đến các phần tử của hàng thứ 5 - các phần tử của hàng thứ 2, được nhân với 3 2.

Tất cả các phần tử hàng bằng không. Như vậy, với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, chúng ta đã thu gọn ma trận về dạng hình thang, từ đó có thể thấy rằng R a n k (A (4)) = 2. Theo đó hạng của ma trận ban đầu cũng bằng hai.

Nhận xét

Nếu bạn thực hiện các phép biến đổi cơ bản, thì các giá trị gần đúng không được phép!

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Từ khóa » Tính Chất Hạng Của Ma Trận