30 Bài Tập Trắc Nghiệm đường Tiệm Cận Của đồ Thị Hàm Số Mức độ ...

Trang chủ » Tổng Số Tiệm Cận Ngang Và Tiệm Cận đứng Của đồ Thị Hàm Số Y=1/2f(x)-1 » 30 Bài Tập Trắc Nghiệm đường Tiệm Cận Của đồ Thị Hàm Số Mức độ ...

Có thể bạn quan tâm

  • Lớp 12
    • Ngữ văn 12
      • Soạn văn - Kết nối tri thức
      • Soạn văn - Cánh diều
      • Soạn văn - Chân trời sáng tạo
      • Tác giả tác phẩm
      • Tóm tắt, bố cục Văn - Kết nối tri thức
      • Tóm tắt, bố cục Văn - Cánh diều
      • Tóm tắt, bố cục Văn - Chân trời sáng tạo
      • SBT Văn - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Toán học 12
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cùng khám phá
      • SBT Toán - Kết nối tri thức
      • SBT Toán - Cánh diều
      • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Toán - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 12
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Friends Global
      • Tiếng Anh - iLearn Smart World
      • Tiếng Anh - Bright
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • SBT Global Success
      • SBT Friends Global
      • SBT iLearn Smart World
      • >> Xem thêm
    • Vật lí 12
      • SGK Vật Lí - Kết nối tri thức
      • SGK Vật Lí - Cánh diều
      • SGK Vật Lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Vật lí - Kết nối tri thức
      • SBT Vật lí - Cánh diều
      • SBT Vật lí - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Lí - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Lí - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Hóa học 12
      • SGK Hóa - Kết nối tri thức
      • SGK Hóa - Cánh diều
      • SGK Hóa - Chân trời sáng tạo
      • SBT Hóa - Kết nối tri thức
      • SBT Hóa - Cánh diều
      • SBT Hóa - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Hóa - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Hóa - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Sinh học 12
      • SGK Sinh - Kết nối tri thức
      • SGK Sinh - Cánh diều
      • SGK Sinh - Chân trời sáng tạo
      • Trắc nghiệm Sinh - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Sinh - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Sinh - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Sinh - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Sinh - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử 12
      • SGK Lịch sử - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử - Chân trời sáng tạo
      • SGK Lịch sử - Cánh diều
      • SBT Lịch sử - Cánh diều
      • Đề thi, đề kiểm tra Lịch sử - Kết nối tri thức
      • Đề thi, đề kiểm tra Lịch sử - Chân trời sáng tạo
      • Đề thi, đề kiểm tra Lịch sử - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Lịch sử - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Địa lí 12
      • SGK Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SGK Địa lí - Cánh diều
      • SBT Địa lí - Cánh diều
      • Đề thi, đề kiểm tra Địa lí - Kết nối tri thức
      • Đề thi, đề kiểm tra Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • Đề thi, đề kiểm tra Địa lí - Cánh diều
      • SBT Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • GD kinh tế và pháp luật 12
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Chân trời sáng tạo
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Cánh diều
      • SBT Giáo dục kinh tế và pháp luật - Cánh diều
      • SBT Giáo dục kinh tế và pháp luật - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Giáo dục kinh tế pháp luật - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Giáo dục kinh tế pháp luật - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Giáo dục kinh tế pháp luật - Chân trời sáng tạo
    • Công nghệ 12
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Công nghệ - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Công nghệ - Cánh diều
    • Tin học 12
      • SGK Tin học - Cánh diều
      • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SBT Tin học - Kết nối tri thức
      • SBT Tin học - Cánh diều
      • SBT Tin học - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Tin - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Tin - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 12
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 1
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 2
    • GD Quốc phòng và An ninh 12
      • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Cánh diều
    • Giáo dục thể chất 12
      • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
    • Giáo dục địa phương 12
      • Tài liệu Giáo dục địa phương
    • Đề thi, đề kiểm tra 12
      • Tổng hợp đề thi, đề kiểm tra
  • Lớp 11
    • Ngữ văn 11
      • Soạn văn - Kết nối tri thức - chi tiết
      • Soạn văn - Kết nối tri thức - siêu ngắn
      • Soạn văn - Cánh Diều - chi tiết
      • Soạn văn - Cánh Diều - siêu ngắn
      • Soạn văn - Chân trời sáng tạo - chi tiết
      • Soạn văn - Chân trời sáng tạo - siêu ngắn
      • Tác giả tác phẩm
      • Tóm tắt, bố cục Văn - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Toán học 11
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cùng khám phá
      • Chuyên đề học tập Toán - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Toán - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Toán - Chân trời sáng tạo
      • SBT Toán - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 11
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Friends Global
      • Tiếng Anh - iLearn Smart Wolrd
      • Tiếng Anh - Bright
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • SBT Global Success
      • SBT Friends Global
      • SBT iLearn Smart World
      • >> Xem thêm
    • Vật lí 11
      • SGK Vật Lí - Kết nối tri thức
      • SGK Vật Lí - Cánh diều
      • SGK Vật Lí - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Lí - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Lí - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Vật lí - Kết nối tri thức
      • SBT Vật lí - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Hóa học 11
      • SGK Hóa học - Kết nối tri thức
      • SGK Hóa học - Cánh diều
      • SGK Hóa học - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Hóa - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Hóa - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Hóa - Chân trời sáng tạo
      • SBT Hóa - Kết nối tri thức
      • SBT Hóa - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Sinh học 11
      • SGK Sinh - Kết nối tri thức
      • SGK Sinh - Cánh diều
      • SGK Sinh - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Sinh - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Sinh - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Sinh - Chân trời sáng tạo
      • SBT Sinh - Kết nối tri thức
      • SBT Sinh - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 11
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 1
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 2
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo (Bản 1)
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo (Bản 2)
    • Lịch sử 11
      • SGK Lịch sử - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử - Chân trời sáng tạo
      • SGK Lịch sử - Cánh diều
      • SBT Lịch sử - Kết nối tri thức
      • SBT Lịch sử - Chân trời sáng tạo
      • SBT Lịch sử - Cánh diều
      • Đề thi, đề kiểm tra Lịch sử - Kết nối tri thức
      • Đề thi, đề kiểm tra Lịch sử - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Địa lí 11
      • SGK Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SGK Địa lí - Cánh diều
      • SBT Địa lí - Kết nối tri thức
      • SBT Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Địa lí - Cánh diều
      • Đề thi, đề kiểm tra Địa lí - Kết nối tri thức
      • Đề thi, đề kiểm tra Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • GD kinh tế và pháp luật 11
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Chân trời sáng tạo
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Cánh diều
      • SBT Giáo dục kinh tế và pháp luật - Kết nối tri thức
      • SBT Giáo dục kinh tế và pháp luật - Chân trời sáng tạo
      • SBT Giáo dục kinh tế và pháp luật - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Giáo dục kinh tế pháp luật - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Giáo dục kinh tế pháp luật - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Công nghệ 11
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
    • Tin học 11
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Cánh diều
      • SBT Tin học - Kết nối tri thức
      • SBT Tin học - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Tin - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Tin - Cánh diều
    • Giáo dục thể chất 11
      • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
    • GD Quốc phòng và An ninh 11
      • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Cánh diều
    • Giáo dục địa phương 11
      • Tài liệu Giáo dục địa phương
    • Đề thi, đề kiểm tra 11
      • Tổng hợp đề thi, đề kiểm tra
  • Lớp 10
    • Ngữ văn 10
      • Soạn văn - Kết nối tri thức - siêu ngắn
      • Soạn văn - Kết nối tri thức - chi tiết
      • Soạn văn - Chân trời sáng tạo - siêu ngắn
      • Soạn văn - Chân trời sáng tạo - chi tiết
      • Soạn văn - Cánh Diều - siêu ngắn
      • Soạn văn - Cánh Diều - chi tiết
      • Tác giả tác phẩm
      • Tóm tắt, bố cục Văn - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Toán học 10
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SBT Toán - Kết nối tri thức
      • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
      • SBT Toán - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Toán - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Toán - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 10
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Friends Global
      • Tiếng Anh - iLearn Smart World
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • Tiếng Anh - Bright
      • Tiếng Anh - Explore New Worlds
      • SBT Global Success
      • SBT Friends Global
      • >> Xem thêm
    • Vật lí 10
      • SGK Vật Lí - Kết nối tri thức
      • SGK Vật Lí - Chân trời sáng tạo
      • SGK Vật Lí - Cánh diều
      • SBT Vật lí - Kết nối tri thức
      • SBT Vật lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Vật lí - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Lí - Kết nối tri thức
      • Bài tập trắc nghiệm Lí - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Hóa học 10
      • SGK Hóa - Kết nối tri thức
      • SGK Hóa - Chân trời sáng tạo
      • SGK Hóa - Cánh diều
      • SBT Hóa - Kết nối tri thức
      • SBT Hóa - Chân trời sáng tạo
      • SBT Hóa 10 - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Hóa - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Hóa 10 – Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Sinh học 10
      • SGK Sinh - Kết nối tri thức
      • SGK Sinh - Chân trời sáng tạo
      • SGK Sinh - Cánh diều
      • SBT Sinh - Kết nối tri thức
      • SBT Sinh - Chân trời sáng tạo
      • SBT Sinh - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Sinh - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Sinh - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử 10
      • SGK Lịch sử - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử - Chân trời sáng tạo
      • SGK Lịch sử - Cánh Diều
      • SBT Lịch sử - Kết nối tri thức
      • SBT Lịch sử - Chân trời sáng tạo
      • SBT Lịch sử - Cánh Diều
      • Chuyên đề học tập Lịch sử - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Sử - kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Địa lí 10
      • SGK Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Địa lí - Cánh Diều
      • SGK Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Địa lí - Kết nối tri thức
      • SBT Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • Trắc nghiệm Địa lí - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • Trắc nghiệm Địa lí - Cánh Diều
      • >> Xem thêm
    • Tin học 10
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Cánh Diều
      • SBT Tin học - Kết nối tri thức
      • SBT Tin học 10 - Cánh diều
    • Công nghệ 10
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Công nghệ - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Công nghệ - Cánh diều
    • GD kinh tế và pháp luật 10
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - KNTT
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - CTST
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Cánh diều
      • SBT Giáo dục kinh tế và pháp luật - Kết nối tri thức
      • SBT Giáo dục kinh tế và pháp luật - Chân trời sáng tạo
      • SBT Giáo dục kinh tế và pháp luật - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Giáo dục kinh tế pháp luật - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Giáo dục kinh tế pháp luật - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 10
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh Diều
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo (Bản 1)
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo (Bản 2)
    • Giáo dục thể chất 10
      • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
    • GD Quốc phòng và An ninh 10
      • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Cánh diều
    • Giáo dục địa phương 10
      • Tài liệu Giáo dục địa phương
    • Đề thi, đề kiểm tra 10
      • Tổng hợp đề thi, đề kiểm tra
  • Lớp 9
    • Toán học 9
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SGK Toán - Cùng khám phá
      • SBT Toán - Kết nối tri thức
      • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
      • SBT Toán - Cánh diều
      • Vở thực hành Toán
      • >> Xem thêm
    • Ngữ văn 9
      • Soạn văn - Kết nối tri thức
      • Soạn văn - Chân trời sáng tạo
      • Soạn văn - Cánh diều
      • Tác giả - Tác phẩm văn
      • Tóm tắt, bố cục Văn - Kết nối tri thức
      • Tóm tắt, bố cục Văn - Chân trời sáng tạo
      • Tóm tắt, bố cục Văn - Cánh diều
      • SBT Văn - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 9
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Friends Plus
      • Tiếng Anh - iLearn Smart World
      • Tiếng Anh - Right on!
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • SBT Global Success
      • SBT Friends Plus
      • SBT iLearn Smart World
      • >> Xem thêm
    • Khoa học tự nhiên 9
      • SGK Khoa học tự nhiên - Kết nối tri thức
      • SGK Khoa học tự nhiên - Cánh diều
      • SGK Khoa học tự nhiên 9 Chân trời sáng tạo
      • SBT KHTN - Kết nối tri thức
      • SBT KHTN - Cánh diều
      • SBT KHTN - Chân trời sáng tạo
      • Trắc nghiệm KHTN - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm KHTN - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử và Địa lí 9
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Lịch sử - Cánh diều
      • SBT Địa lí - Kết nối tri thức
      • SBT Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Đia lí - Cánh diều
      • Đề thi, kiểm tra Lịch Sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • GDCD 9
      • Giáo dục công dân - Kết nối tri thức
      • Giáo dục công dân - Chân trời sáng tạo
      • Giáo dục công dân - Cánh diều
      • SBT GDCD - Chân trời sáng tạo
      • SBT GDCD - Cánh diều
    • Tin học 9
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Cánh diều
      • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
      • SBT Tin học - Kết nối tri thức
      • SBT Tin học - Chân trời sáng tạo
      • SBT Tin học - Cánh diều
    • Công nghệ 9
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
      • SBT Công nghệ - Cánh diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 9
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 1
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 2
    • Giáo dục địa phương 9
      • Tài liệu Giáo dục địa phương
    • Đề thi, đề kiểm tra 9
      • Tổng hợp đề thi, đề kiểm tra
      • Tổng hợp đề thi vào 10
  • Lớp 8
    • Ngữ văn 8
      • Soạn văn chi tiết - KNTT
      • Soạn văn siêu ngắn - KNTT
      • Soạn văn chi tiết - CTST
      • Soạn văn siêu ngắn - CTST
      • Soạn văn chi tiết - Cánh diều
      • Soạn văn siêu ngắn - Cánh diều
      • Tác giả - Tác phẩm văn
      • Tóm tắt, bố cục Văn - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Toán học 8
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SGK Toán - Cùng khám phá
      • SBT Toán - Kết nối tri thức
      • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
      • SBT Toán - Cánh diều
      • Vở thực hành Toán
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 8
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Friends Plus
      • Tiếng Anh - iLearn Smart World
      • Tiếng Anh - Right on!
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • SBT Global Success
      • SBT Friends Plus
      • SBT iLearn Smart World
      • >> Xem thêm
    • Khoa học tự nhiên 8
      • SGK Khoa học tự nhiên - Kết nối tri thức
      • SGK Khoa học tự nhiên - Chân trời sáng tạo
      • SGK Khoa học tự nhiên - Cánh diều
      • SBT KHTN - Kết nối tri thức
      • SBT KHTN - Cánh diều
      • Vở thực hành Khoa học tự nhiên
      • Đề thi, đề kiểm tra KHTN - Kết nối tri thức
      • Đề thi, đề kiểm tra KHTN - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử và Địa lí 8
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Lịch sử - Kết nối tri thức
      • SBT Địa lí - Kết nối tri thức
      • SBT Lịch sử - Chân trời sáng tạo
      • SBT Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Lịch sử - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • GDCD 8
      • Giáo dục công dân - Kết nối tri thức
      • Giáo dục công dân - Chân trời sáng tạo
      • Giáo dục công dân - Cánh diều
      • SBT GDCD - Kết nối tri thức
      • SBT GDCD - Chân trời sáng tạo
      • SBT GDCD - Cánh diều
    • Công nghệ 8
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
      • SBT Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SBT Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SBT Công nghệ - Cánh diều
    • Tin học 8
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
      • SGK Tin học - Cánh diều
      • SBT Tin học - Kết nối tri thức
      • SBT Tin học - Chân trời sáng tạo
      • SBT Tin học - Cánh diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 8
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 1
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 2
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo (Bản 1)
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo (Bản 2)
    • Âm nhạc 8
      • SGK Âm nhạc - Kết nối tri thức
      • SGK Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
      • SGK Âm nhạc - Cánh diều
    • Mỹ thuật 8
      • SGK Mĩ thuật - Kết nối tri thức
      • SGK Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo bản 1
      • SGK Mĩ thuật - Cánh diều
      • SGK Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo bản 2
    • Giáo dục thể chất 8
      • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
      • SGK Giáo dục thể chất - Chân trời sáng tạo
    • Giáo dục địa phương 8
      • Đề thi, đề kiểm tra Giáo dục địa phương
      • Tài liệu Giáo dục địa phương
    • Đề thi, đề kiểm tra 8
      • Tổng hợp đề thi, đề kiểm tra
  • Lớp 7
    • Ngữ văn 7
      • Soạn văn siêu ngắn - KNTT
      • Soạn văn chi tiết - KNTT
      • Soạn văn siêu ngắn - CTST
      • Soạn văn chi tiết - CTST
      • Soạn văn siêu ngắn - Cánh diều
      • Soạn văn chi tiết - Cánh diều
      • Tác giả - Tác phẩm văn
      • Tóm tắt, bố cục Văn - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Toán học 7
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SBT Toán - Kết nối tri thức
      • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
      • SBT Toán - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Toán- Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 7
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Friends Plus
      • Tiếng Anh - iLearn Smart World
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • Tiếng Anh - Right on!
      • SBT Global Success
      • SBT Friends Plus
      • SBT iLearn Smart World
      • >> Xem thêm
    • Khoa học tự nhiên 7
      • SGK Khoa học tự nhiên - Kết nối tri thức
      • SGK Khoa học tự nhiên - Chân trời sáng tạo
      • SGK Khoa học tự nhiên - Cánh diều
      • SBT KHTN - Kết nối tri thức
      • SBT KHTN - Chân trời sáng tạo
      • SBT KHTN - Cánh diều
      • Trắc nghiệm KHTN - Kết nối tri thức
      • Bài tập trắc nghiệm Khoa học tự nhiên - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử và Địa lí 7
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh Diều
      • SBT Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • SBT Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Tin học 7
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Cánh Diều
      • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
      • SBT Tin học - Kết nối tri thức
      • SBT Tin học - Chân trời sáng tạo
      • SBT Tin học - Cánh diều
    • Công nghệ 7
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
      • SBT Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SBT Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SBT Công nghệ - Cánh diều
    • GDCD 7
      • SGK GDCD - KNTT
      • SGK GDCD - CTST
      • SGK GDCD - Cánh diều
      • Bài tập tình huống GDCD
      • SBT GDCD - Kết nối tri thức
      • SBT GDCD - Chân trời sáng tạo
      • SBT GDCD - Cánh diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 7
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo (Bản 1)
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh Diều
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
      • SBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo (Bản 2)
    • Âm nhạc 7
      • Âm nhạc - Kết nối tri thức
      • Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
      • Âm nhạc - Cánh diều
    • Giáo dục địa phương 7
      • Đề thi, đề kiểm tra Giáo dục địa phương 7
      • Tài liệu Giáo dục địa phương
    • Đề thi, đề kiểm tra 7
      • Tổng hợp đề thi, đề kiểm tra
  • Lớp 6
    • Ngữ văn 6
      • Soạn văn siêu ngắn - KNTT
      • Soạn văn chi tiết - KNTT
      • Soạn văn siêu ngắn - CTST
      • Soạn văn chi tiết - CTST
      • Soạn văn siêu ngắn - Cánh diều
      • Soạn văn chi tiết - Cánh diều
      • Tác giả - Tác phẩm văn
      • Tóm tắt, bố cục Văn - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Toán học 6
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SBT Toán - Kết nối tri thức
      • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
      • SBT Toán - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Toán - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 6
      • Global Success (Pearson)
      • Tiếng Anh - Friends plus
      • Tiếng Anh - iLearn Smart World
      • Tiếng Anh - Right on
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • Tiếng Anh - Explore English
      • SBT Global Success
      • SBT Friends Plus
      • >> Xem thêm
    • Khoa học tự nhiên 6
      • SGK KHTN - Kết nối tri thức
      • SGK KHTN - Chân trời sáng tạo
      • SGK KHTN - Cánh Diều
      • SBT KHTN - Kết nối tri thức
      • SBT KHTN - Chân trời sáng tạo
      • SBT KHTN - Cánh Diều
      • Trắc nghiệm KHTN - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm KHTN - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử và Địa lí 6
      • SGK Lịch sử và Địa lí - KNTT
      • SGK Lịch sử và Địa lí - CTST
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh Diều
      • SBT Lịch sử và Địa lí - KNTT
      • SBT Lịch sử và Địa lí - CTST
      • SBT Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Lịch sử và Địa Lí - KNTT
      • Trắc nghiệm Lịch Sử và Địa Lí - CTST
      • >> Xem thêm
    • GDCD 6
      • SGK GDCD - KNTT
      • SGK GDCD - CTST
      • SGK GDCD - Cánh Diều
      • SBT GDCD - Kết nối tri thức
      • SBT GDCD - Chân trời sáng tạo
      • SBT GDCD - Cánh diều
    • Công nghệ 6
      • Công nghệ - Kết nối tri thức
      • Công nghệ - Cánh Diều
      • Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SBT Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SBT Công nghệ - Cánh diều
      • SBT Công nghệ - Chân trời sáng tạo
    • Tin học 6
      • Tin học - Kết nối tri thức + chân trời sáng tạo
      • Tin học - Cánh Diều
      • SBT Tin học - Kết nối tri thức
      • SBT Tin học - Cánh Diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 6
      • SGK Trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SGK Trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo
      • SGK Trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
      • SBT Trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SBT Trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo
      • Thực hành Trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
    • Âm nhạc 6
      • Âm nhạc - Kết nối tri thức
      • Âm nhạc - Cánh Diều
      • Âm nhạc: Chân trời sáng tạo
    • Mỹ thuật 6
      • Mĩ thuật - Kết nối tri thức
      • Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo
      • Mĩ thuật - Cánh diều
    • Giáo dục địa phương 6
      • Đề thi, đề kiểm tra Giáo dục địa phương
      • Tài liệu Giáo dục địa phương
    • Đề thi, đề kiểm tra 6
      • Tổng hợp đề thi, đề kiểm tra
  • Lớp 5
    • Toán học 5
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SGK Toán - Bình Minh
      • VBT Toán - Kết nối tri thức
      • VBT Toán - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Toán - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Tiếng việt 5
      • Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • Tiếng Việt - Cánh diều
      • VBT Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • VBT Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • VBT Tiếng Việt - Cánh diều
      • Văn mẫu lớp 5
      • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 5
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Family and Friends
      • Tiếng Anh - iLearn Smart Start
      • Tiếng Anh - Explore Our World
      • Tiếng Anh - Phonics Smart
      • SBT Tiếng Anh - Global Success
      • SBT Tiếng Anh - Family and Friends
      • SBT Tiếng Anh - iLearn Smart Start
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử và Địa lí 5
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • VBT Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • VBT Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
      • Đề thi, đề kiểm tra Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • Đề thi, đề kiểm tra Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • Đề thi, đề kiểm tra Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
    • Khoa học 5
      • SGK Khoa học - Kết nối tri thức
      • SGK Khoa học - Chân trời sáng tạo
      • SGK Khoa học - Cánh diều
      • VBT Khoa học - Kết nối tri thức
      • VBT Khoa học - Chân trời sáng tạo
      • VBT Khoa học - Cánh diều
    • Đạo đức 5
      • SGK Đạo đức - Kết nối tri thức
      • SGK Đạo đức - Chân trời sáng tạo
      • SGK Đạo đức - Cánh diều
      • VBT Đạo đức - Kết nối tri thức
      • VBT Đạo đức - Chân trời sáng tạo
      • VBT Đạo đức - Cánh diều
    • Tin học 5
      • SGK Tin học - Cánh diều
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
      • VBT Tin học - Kết nối tri thức
      • VBT Tin học - Chân trời sáng tạo
      • VBT Tin học - Cánh diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 5
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo Bản 1
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo Bản 2
      • VBT Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
      • VBT Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
      • VBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo (Bản 1)
      • VBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo (Bản 2)
    • Công nghệ 5
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
      • VBT Công nghệ - Kết nối tri thức
    • Đề thi, đề kiểm tra 5
      • Đề thi vào lớp 6
      • Tổng hợp đề thi, đề kiểm tra
  • Lớp 4
    • Toán học 4
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SGK Toán - Bình Minh
      • VBT Toán - Kết nối tri thức
      • Vở thực hành Toán
      • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Toán - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Tiếng việt 4
      • Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • Tiếng Việt - Cánh diều
      • VBT Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Cánh diều
      • Ôn hè Tiếng Việt
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 4
      • Tiếng Anh - Global Sucess
      • Tiếng Anh - Family and Friends
      • Tiếng Anh - iLearn Smart Start
      • Tiếng Anh - Phonics Smart
      • Tiếng Anh - Explore Our World
      • SBT Tiếng Anh - Global Success
      • SBT Tiếng Anh - Family and Friends
      • SBT Tiếng Anh - iLearn Smart Start
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử và Địa lí 4
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
      • VBT Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • VBT Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • VBT Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
      • Đề thi, đề kiểm tra Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • Đề thi, đề kiểm tra Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Khoa học 4
      • SGK Khoa học - Kết nối tri thức
      • SGK Khoa học - Chân trời sáng tạo
      • SGK Khoa học - Cánh diều
      • VBT Khoa học - Kết nối tri thức
      • VBT Khoa học - Chân trời sáng tạo
      • VBT Khoa học - Cánh diều
    • Đạo đức 4
      • SGK Đạo đức - Kết nối tri thức
      • SGK Đạo đức - Chân trời sáng tạo
      • SGK Đạo đức - Cánh diều
      • VBT Đạo đức - Kết nối tri thức
      • VBT Đạo đức 4 - Chân trời sáng tạo
      • VBT Đạo đức - Cánh diều
    • Tin học 4
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
      • SGK Tin học - Cánh diều
      • VBT Tin học - Kết nối tri thức
      • VBT Tin học - Chân trời sáng tạo
      • VBT Tin học - Cánh diều
    • Công nghệ 4
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
      • VBT Công nghệ - Kết nối tri thức
      • VBT Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • VBT Công nghệ - Cánh diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 4
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo Bản 1
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo Bản 2
      • VBT Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
      • VBT Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
      • VBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo (Bản 1)
      • VBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo (Bản 2)
    • Âm nhạc 4
      • SGK Âm nhạc - Kết nối tri thức
      • SGK Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
      • SGK Âm nhạc - Cánh diều
    • Mỹ thuật 4
      • SGK Mĩ thuật - Kết nối tri thức
      • SGK Mĩ thuật - Cánh diều
      • SGK Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo bản 1
      • SGK Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo bản 2
    • Giáo dục thể chất 4
      • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
      • SGK Giáo dục thể chất - Chân trời sáng tạo
    • Giáo dục địa phương 4
      • Tài liệu Giáo dục địa phương
    • Đề thi, đề kiểm tra 4
      • Tổng hợp đề thi, đề kiểm tra
  • Lớp 3
    • Toán học 3
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • VBT Toán - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Toán - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Toán - Chân trời sáng tạo
      • Đề thi, đề kiểm tra Toán - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Tiếng việt 3
      • Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • Tiếng Việt - Cánh diều
      • VBT Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • VBT Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • VBT Tiếng Việt - Cánh diều
      • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 3
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Family and Friends
      • Tiếng Anh - iLearn Smart Start
      • Tiếng Anh - Explore Our World
      • Tiếng Anh - Phonics Smart
      • SBT Tiếng Anh - Global Success
      • SBT Tiếng Anh - Family and Friends
      • SBT Tiếng Anh - iLearn Smart Start
      • >> Xem thêm
    • Tự nhiên và xã hội 3
      • VBT Tự nhiên và xã hội - Cánh diều
      • Tự nhiên và xã hội - Kết nối tri thức
      • Tự nhiên và xã hội - Chân trời sáng tạo
      • Tự nhiên và xã hội - Cánh diều
      • VBT Tự nhiên và xã hội - Kết nối tri thức
      • VBT Tự nhiên và xã hội - Chân trời sáng tạo
    • Đạo đức 3
      • SGK Đạo đức - Kết nối tri thức
      • SGK Đạo đức - Chân trời sáng tạo
      • SGK Đạo đức - Cánh diều
      • VBT Đạo đức - Kết nối tri thức
      • VBT Đạo đức - Cánh diều
      • VBT Đạo đức - Chân trời sáng tạo
    • Tin học 3
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
      • SGK Tin học - Cánh diều
      • VBT Tin học - Kết nối tri thức
      • VBT Tin học - Chân trời sáng tạo
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 3
      • SGK Hoạt động trải nghiệm- Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm- Chân trời sáng tạo
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
      • VBT Hoạt động trải nghệm - Kết nối tri thức
      • VBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo
      • VBT Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
    • Công nghệ 3
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
      • VBT Công nghệ - Kết nối tri thức
      • VBT Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • VBT Công nghệ - Cánh diều
    • Âm nhạc 3
      • Âm nhạc - Kết nối tri thức
      • Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
      • Âm nhạc - Cánh diều
    • Giáo dục thể chất 3
      • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục thể chất - Chân trời sáng tạo
      • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
    • Giáo dục địa phương 3
      • Tài liệu Giáo dục địa phương
  • Lớp 2
    • Toán học 2
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh Diều
      • VBT Toán - KNTT
      • VBT Toán - CTST
      • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Toán - Chân trời sáng tạo
      • Trắc nghiệm Toán - Cánh Diều
      • >> Xem thêm
    • Tiếng việt 2
      • Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • Tiếng Việt - Cánh Diều
      • Văn mẫu - Kết nối tri thức
      • Văn mẫu - Chân trời sáng tạo
      • Văn mẫu - Cánh diều
      • VBT Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • VBT Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 2
      • Tiếng Anh - Kết nối tri thức
      • Tiếng Anh - Family and Friends
      • Tiếng Anh - iLearn Smart Start
      • Tiếng Anh - Phonics Smart
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • Tiếng Anh - Explore Our World
      • Family & Friends Special
      • SBT Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Tự nhiên và xã hội 2
      • Tự nhiên và xã hội - Kết nối tri thức
      • Tự nhiên và xã hội - Chân trời sáng tạo
      • Tự nhiên và xã hội - Cánh diều
      • VBT Tự nhiên và xã hội - Kết nối tri thức
      • VBT Tự nhiên và xã hội - Cánh diều
      • VBT Tự nhiên và xã hội - Chân trời sáng tạo
    • Đạo đức 2
      • SGK Đạo đức - Kết nối tri thức
      • SGK Đạo đức - Chân trời sáng tạo
      • SGK Đạo đức - Cánh Diều
      • VBT Đạo đức - Kết nối tri thức
      • VBT Đạo đức - Chân trời sáng tạo
      • VBT Đạo đức - Cánh Diều
    • Âm nhạc 2
      • Âm nhạc 2 - Kết nối tri thức
      • Âm nhạc 2 - Chân trời sáng tạo
      • Âm nhạc 2 - Cánh diều
      • VBT Âm nhạc - Kết nối tri thức
      • VBT Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
      • VBT Âm nhạc - Cánh diều
    • Mỹ thuật 2
      • Mĩ thuật- Kết nối tri thức
      • Mĩ thuật- Chân trời sáng tạo
      • Mĩ thuật - Cánh Diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 2
      • VBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo
      • VTH Hoạt động trải nghiệm - Cánh Diều
      • VBT Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
    • Giáo dục địa phương 2
      • Tài liệu Giáo dục địa phương
  • Lớp 1
    • Tiếng việt 1
      • Đề thi, kiểm tra Tiếng Việt
      • SGK Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • SGK Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • SGK Tiếng Việt - Cánh diều
    • Toán học 1
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • Trắc nghiệm Toán
    • Tiếng Anh 1
      • Chứng chỉ Cambridge Pre A1 Starters
    • Truyện cổ tích 1
      • Truyện cổ tích
    • Tự nhiên và xã hội 1
      • Tự nhiên & xã hội
      • VBT Tự nhiên & xã hội
    • Đạo đức 1
      • VBT Đạo Đức
    • Giáo dục địa phương 1
      • Tài liệu Giáo dục địa phương
  • Công cụ
    • Ngữ văn
      • Từ điển tiếng Việt
      • Từ đồng nghĩa, trái nghĩa
      • Thành ngữ Việt Nam
      • Dẫn chứng nghị luận xã hội
      • Ca dao, tục ngữ
      • Chính tả tiếng Việt
      • Từ láy
      • Kho truyện
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh
      • Động từ bất quy tắc
      • Cụm động từ (Phrasal verbs)
  • PHẦN GIẢI TÍCH
    • Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
      • 100 bài tập sự đồng biến nghịch biến của hàm số
      • 100 bài tập cực trị của hàm số
      • 100 bài tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
      • 100 bài tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số
      • 150 bài tập khảo sát hàm số
    • Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân
      • 100 bài tập trắc nghiệm nguyên hàm
      • 200 bài tập trắc nghiệm tích phân
      • 100 bài tập trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong hình học
    • Chương 4: Số phức
      • 100 bài tập số phức
      • 100 bài tập các phép toán với số phức
      • 100 bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực
  • PHẦN HÌNH HỌC
    • Chương 1: Khối đa diện
      • 100 bài tập trắc nghiệm khái niệm về khối đa diện
      • 100 bài tập trắc nghiệm khối đa diện lồi và khối đa diện đều
      • 150 bài tập trắc nghiệm thể tích khối đa diện
    • Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
      • 200 bài tập mặt nón
      • 200 bài tập mặt trụ
      • 250 bài tập mặt cầu
    • Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
      • 200 bài tập hệ tọa độ trong không gian
      • 150 bài tập phương trình mặt cầu
      • 150 bài tập phương trình mặt phẳng
      • 150 bài tập phương trình đường thẳng trong không gian
Trắc nghiệm Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết 100 bài tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số

30 bài tập trắc nghiệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số mức độ vận dụng, vận dụng cao

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{20 + \sqrt {6x - {x^2}} }}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 2m} }}\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) sao cho đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng.

  • A \(m \in \left[ {6;8} \right)\)
  • B \(m \in \left( {6;8} \right)\)
  • C \(m \in \left[ {12;16} \right)\)
  • D \(m \in \left( {0;16} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho bằng số nghiệm của mẫu thức mà không là nghiệm của tử thức.

Lời giải chi tiết:

Để đồ thị hàm số có 2 TCĐ thì phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - 8x + 2m = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(0 \le {x_1} < {x_2} \le 6\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\af\left( 0 \right) \ge 0\\af\left( 6 \right) \ge 0\\0 < \dfrac{S}{2} < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 - 2m > 0\\1.2m \ge 0\\1.\left( { - 12 + 2m} \right) \ge 0\\0 < \dfrac{8}{2} < 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 8\\m \ge 0\\m \ge 6\end{array} \right. \Leftrightarrow 6 \le m < 8\)

Vậy \(m \in \left[ {6;8} \right)\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{2f\left( x \right) - 3}}\) là:

  • A \(2\)
  • B \(4\)
  • C \(5\)
  • D \(3\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).

- Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\).

- Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \).

Lời giải chi tiết:

Dựa vào BBT ta thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty \).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{1}{{2f\left( x \right) - 3}} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{2f\left( x \right) - 3}} = 0\end{array}\)

Do đó đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có TCN \(y = 0\).

Dựa vào BBT ta lại thấy: Phương trình \(2f\left( x \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{3}{2}\) có 3 nghiệm phân biệt, và 3 nghiệm này không bị triệt tiêu bởi nghiệm của tử. Do đó đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{2f\left( x \right) - 3}}\) có tất cả 4 đường tiệm cận.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 100;100} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{\left( {x - m} \right)\sqrt {2x - {x^2}} }}\) có đúng 2 tiệm cận?

  • A \(200\)
  • B \(2\)
  • C \(199\)
  • D \(0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của hàm số.

- Xác định số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, sử dụng khái niệm: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

- Suy ra đồ thị hàm số cần có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ứng với bấy nhiêu nghiệm của mẫu thỏa mãn ĐKXĐ.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - m \ne 0\\2x - {x^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne m\\0 < x < 2\end{array} \right.\).

Do đó không tồn tại giới hạn của hàm số khi \(x \to  \pm \infty \), do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \infty \), suy ra đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng \(x = 0,\,\,x = 2\,\,\forall m\).

Suy ra để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì \(m \notin \left( {0;2} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 2\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(m \in \left[ { - 100;0} \right] \cup \left[ {2;100} \right]\), \(m\) nguyên.

Vậy có 101 + 99 = 200 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Biết đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {x + 3}  + ax + b}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) không có đường tiệm cận đứng nào. Tính \(T = a - 3b.\)

  • A \(T = 6.\)
  • B \(T = 4.\)
  • C \(T = 3.\)
  • D \(T = 5.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ\(t = \sqrt {x + 3} \), đưa hàm số về dạng bậc hai trên bậc hai rồi biện luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y = \dfrac{{\sqrt {x + 3}  + ax + b}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Đặt \(\sqrt {x + 3}  = t \Rightarrow x = {t^2} - 3\)

Khi đó \(y = \dfrac{{a\left( {{t^2} - 3} \right) + t + b}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Để hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {x + 3}  + ax + b}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) không có tiệm cận đứng thì phương trình \(a\left( {{t^2} - 3} \right) + t + b = 0 \Leftrightarrow a{t^2} + t - 3a + b = 0\) có nghiệm kép \(t = 2\) (ứng với \(x = 1\)).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 1 - 4a\left( {b - 3a} \right) = 0\\ - \dfrac{1}{{2a}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{1}{4}\\b =  - \dfrac{7}{4}\end{array} \right.\).

Vậy \(T = a - 3b =  - \dfrac{1}{4} - 3.\dfrac{{ - 7}}{4} = 5.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Đồ thị trong hình bên là của hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{x + c}}\)(với \(a,b,c \in \mathbb{R}\)). Khi đó tổng \(a + b + c\) bằng

  • A \( - 1.\)
  • B \(1\).
  • C \(2\).
  • D \(0\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Dựa vào đồ thị hàm số suy ra các đường tiệm cận để tìm a;c.

- Dựa vào điểm thuộc đồ thị để tìm b.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hàm số ta có: Đồ thị hàm số có TCN \(y = a\) và TCĐ \(x =  - c\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: Đồ thị hàm số có TCN \(y =  - 1\) và TCĐ \(x = 1\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\ - c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = c =  - 1\). Khi đó hàm số có dạng \(y = \dfrac{{ - x + b}}{{x - 1}}\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ là \(\left( {2;0} \right) \Rightarrow 0 = \dfrac{{ - 2 + b}}{{2 - 1}} \Leftrightarrow b = 2.\)

Vậy \(a + b + c =  - 1 + 2 - 1 = 0.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {2x - 7} \right)}}\). Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

  • A \(3\)
  • B \(2\)
  • C \(5\)
  • D \(4\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty .\)

+) Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = b.\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(y = \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {2x - 7} \right)}}\)

TXĐ: \(D = \left( {2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {\dfrac{7}{2}} \right\}.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{7}{2}} \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {2x - 7} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{7}{2}} \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 7} \right)}} = \infty \) \( \Rightarrow x = \dfrac{7}{2}\) là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {2x - 7} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{{\left( {x + 2} \right)\sqrt {x - 2} \left( {2x - 7} \right)}} = \infty \) \( \Rightarrow x = 2\) là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {2x - 7} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 7} \right)}} = 0\) \( \Rightarrow y = 0\) là TCN của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {{x^2} - 6x + 2m} }}\) có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của \(S\) là:

  • A Vô số
  • B \(13\)
  • C \(12\)
  • D \(14\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của hàm số.

- Tìm điều kiện để phương trình \({x^2} - 6x + 2m = 0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện xác định của tử và không bị triệt tiêu bởi nghiệm của tử.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\{x^2} - 6x + 2m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} - 6x + 2m > 0\end{array} \right.\).

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình \({x^2} - 6x + 2m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} > {x_2} >  - 2\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} + {x_2} >  - 4\\\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 2m > 0\\6 >  - 4\,\,\left( {luôn\,\,đúng} \right)\\{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{9}{2}\\2m + 2.6 + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{9}{2}\\2m >  - 16\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - 8 < m < \frac{9}{2}\\ \Rightarrow S = \left\{ { - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\end{array}\)

Vậy tập hợp \(S\) có 12 phần tử.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = m.\) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}}\) có duy nhất một tiệm cận ngang.

  • A \(1.\)
  • B \(0.\)
  • C \(2.\)
  • D Vô số.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = a\,\)hoặc\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}} = \dfrac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } 2}} = \dfrac{1}{{ - 1 + 2}} = 1 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}}\) có TCN \(y = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}} = \dfrac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } 2}} = \dfrac{1}{{m + 2}}\).

Để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}}\) có duy nhất một tiệm cận ngang thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}}\) hoặc là không xác định hoặc là bằng 1.

Khi đó \(\left[ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\m + 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy có 2 giá trị thực của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\), có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\)có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

  • A \(4\)
  • B \(3\)
  • C \(2\)
  • D \(1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Dựa vào định ngĩa đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

- Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số khi thỏa mãn một trong các điều kiện: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\).

- Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số khi thỏa mãn một trong các điều kiện: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \).

Lời giải chi tiết:

Dựa vào BBT ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 2\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - 2\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  + \infty \).

Đặt \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} =  - \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow y =  - \dfrac{1}{2}\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = 0\) \( \Rightarrow x =  - 1\) không là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\).

Xét phương trình \(f\left( x \right) = 0\), dựa vào BBT ta thấy phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn khác \( - 1\).

Do đó đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) có 2 TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) có tất cả 4 đường tiệm cận.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{3x + 1}}{{x - 4}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\), với mọi điểm \(M\) thuộc \(\left( C \right)\) thì tích các khoảng cách từ \(M\) tới 2 đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) bằng:

  • A \(11\)
  • B \(12\)
  • C \(14\)
  • D \(13\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x + 1}}{{x - 4}}\) (C) có TCĐ là: \(x = 4\), TCN là: \(y = 3\)

Lấy điểm \(M\) bất kì thuộc (C), giả sử \(M\left( {{x_0};\dfrac{{3{x_0} + 1}}{{{x_0} - 4}}} \right)\,\,\left( {{x_0} \ne 4} \right)\). Tích khoảng cách từ M tới 2 đường tiệm cận là:

\(\left| {{x_0} - 4} \right|.\left| {\dfrac{{3{x_0} + 1}}{{{x_0} - 4}} - 3} \right| = \left| {{x_0} - 4} \right|.\left| {\dfrac{{13}}{{{x_0} - 4}}} \right| = 13\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x\sqrt {2 - {x^2}} }}{{{x^2} + x - 2}}\) là

  • A \(1\)
  • B \(2\)
  • C \(4\)
  • D \(3\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ của hàm số.

- Sử dụng định nghĩa các đường tiệm cận: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).

+ Đường thẳng \(y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\).

+ Đường thẳng \(x = {x_0}\) là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \) , \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \)  hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x^2} \ge 0\\{x^2} + x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Do đó hàm số không có tiệm cận ngang (do không thể tồn tại giới hạn khi x tiến ra vô cực).

Ta xét \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x\sqrt {2 - {x^2}} }}{{{x^2} + x - 2}} =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x\sqrt {2 - {x^2}} }}{{{x^2} + x - 2}} =  - \infty \end{array} \right.\).

(Ta không xét giới hạn của hàm số khi \(x \to {2^ + }\) và \(x \to {2^ - }\) do \(x = 2\) không thuộc TXĐ của hàm số).

Do đó \(x = 1\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right) - 1}}\) là

  • A \(3\)
  • B \(6\)
  • C \(4\)
  • D \(5\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa về đường tiệm cận

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right) - 1}} = \dfrac{1}{{2 - 1}} = 1\), do đó đồ thị hàm số có TCN \(y = 1\).

           \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right) - 1}} = 0\), do đó đồ thị hàm số có TCN \(y = 0\).

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right) - 1}}\) là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 1.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 4 điểm phân biệt nên phương trình \(f\left( x \right) = 1\) có 4 nghiệm phân biệt. Suy ra đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng 6 đường tiệm cận.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \(\left[ { - 10;10} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}}\) có ba đường tiệm cận?

  • A \(7\)
  • B \(8\)
  • C \(10\)
  • D \(6\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(x = a\) là tiệm cận đứng khi xảy ra một trong các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ \pm }} f\left( x \right) =  \pm \infty \).

- Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(y = b\) là tiệm cận ngang khi xảy ra một trong các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = b\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}m{x^2} \ge 4\\x \ne 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m > 0\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}} = \sqrt m \\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}} =  - \sqrt m \end{array} \right. \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang \(y =  \pm \sqrt m \) \(\left( {m > 0} \right)\).

Để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}}\) có 3 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 1 đường tiệm cận đứng.

\( \Rightarrow x = 1\) phải thỏa mãn điều kiện \(m{x^2} \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 4\).

Do đó, \(m \ge 4\) thì hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang.

Mặt khác \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\), \(m \in \mathbb{Z}\)  nên \(m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10} \right\}\).

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{ax + 1}}{{bx + c}}\,\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có bảng biến thiên như sau: 

Trong các số \(a,\,\,b\) và \(c\) có bao nhiêu số dương ?

  • A \(2.\)
  • B

    \(3.\)

  • C \(1.\)
  • D \(0.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Từ BBT suy ra các đường TCĐ, TCN của đồ thị hàm số.

Từ đó suy ra mối quan hệ của \(a,\,\,b,\,\,c.\)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ: \(x = 2\) \( \Rightarrow  - \dfrac{c}{b} = 2 \Leftrightarrow c =  - 2b\)

TCN: \(y = 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} = 1 \Leftrightarrow a = b\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{ax + 1}}{{bx + c}}\)  \( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}}\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y' > 0\,\,\,\,\,\forall x \ne 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}} > 0\,\,\,\forall x \ne 2\\ \Leftrightarrow ac - b > 0\\ \Leftrightarrow b.\left( { - 2b} \right) - b > 0\\ \Leftrightarrow  - 2{b^2} - b > 0\\ \Leftrightarrow 2{b^2} + b < 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < b < 0\\ \Rightarrow b < 0\\ \Rightarrow a < 0,c > 0\end{array}\)

Vậy trong ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số dương.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Số giá trị nguyên của tham số \(m\)  để hàm số \(y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - \left( {1 - m} \right)x + 2m} }}\) có 3 tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) là

  • A \(0\)
  • B \(3\)
  • C \(2\)
  • D \(1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{g\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty .\)

Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = b.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\{x^2} - \left( {1 - m} \right)x + 2m > 0\end{array} \right..\)

Ta có: \(y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - \left( {1 - m} \right)x + 2m} }}\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - \left( {1 - m} \right)x + 2m} }}\)\(\left( {x \ge  - 1} \right)\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 0.\)

Do đó để hàm số có 3 đường tiệm cận thì hàm số phải có 2 tiệm cận đứng

\( \Rightarrow {x^2} - \left( {1 - m} \right)x + 2m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn \( - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\\{x_1} + 1 + {x_2} + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - m} \right)^2} - 8m > 0\\{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0\\{x_1} + {x_2} + 2 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - m} \right)^2} - 8m > 0\\2m + 1 - m + 1 > 0\\1 - m + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2m + {m^2} - 8m > 0\\m + 2 > 0\\m < 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 10m + 1 > 0\\m >  - 2\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 5 + 2\sqrt 6 \\m < 5 - 2\sqrt 6 \end{array} \right.\\ - 2 < m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 < m < 5 - 2\sqrt 6 \\ \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0} \right\}\end{array}\)

Lại có: \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;\,\,0} \right\}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - 2mx + 4}}\). Số giá trị thực của \(m\) để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận ?

  • A \(2\).
  • B \(3\).
  • C \(0\).
  • D \(1\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Sử dụng Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\): Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = a\,\)hoặc\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = a\)\( \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số, xác định đường TCN của hàm số.

- Để hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì hàm số phải có bao nhiêu đường tiệm cận đứng.

- Tìm điều kiện số nghiệm của phương trình mẫu số  = 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - 2mx + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - 2mx + 4}} = 0.\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - 2mx + 4}}\) luôn có 1 TCN \(y = 0\) với mọi \(m\).

Để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - 2mx + 4}}\) có đúng 2 đường tiệm cận thì số đường tiệm cận đứng là 1.

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \({x^2} - 2mx + 4 = 0\,\,\left( * \right)\) hoặc là có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là 1; hoặc là có nghiệm kép (bằng 1 hay khác 1 đều nhận).

TH1 : \(x = 1\) là nghiệm của phương trình (*) trên \( \Rightarrow 1 - 2m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{2}\).

Khi đó \(y = \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - 2mx + 4}} = \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - 5x + 4}} = \dfrac{{ - 1}}{{x - 4}}\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có đúng 1 TCĐ là \(x = 4 \Rightarrow m = \dfrac{5}{2}\) thỏa mãn.

TH2 : Phương trình \({x^2} - 2mx + 4 = 0\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = {m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 2.\)

Thử lại:

Với \(m =  - 2\) thì \(y = \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - 2mx + 4}} = \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) có 1 TCĐ là  \(x =  - 2\).

Với \(m =  - 2\) thì \(y = \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - 2mx + 4}} = \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - 4x + 4}}\) có 1 TCĐ là  \(x = 2\).

\( \Rightarrow m =  \pm 2\)thỏa mãn.

Vậy tập các giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(\left\{ {\dfrac{5}{2};2; - 2} \right\}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho hàm số \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên.

 

Hỏi đồ thị hàm số  \(g(x) = \dfrac{{({x^2} - 3x + 2)\sqrt {x - 1} }}{{x\left[ {{f^2}(x) - f(x)} \right]}}\) có bao nhiêu tiệm cận đứng?

  • A \(4\)
  • B \(3\)
  • C \(5\)
  • D \(2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Xác định số nghiệm của phương trình mẫu số.

- Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình mẫu số thỏa mãn điều kiện xác định và không bị triệt tiêu hết bởi nghiệm của tử số.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ge 1,\,\,f\left( x \right) \ne 0,\,\,f\left( x \right) \ne 1\).

\(g(x) = \dfrac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x.f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)}}\)

Nhận xét: \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) là hàm số bậc ba, đồng thời, quan sát đồ thị ta thấy:

+) \(f\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x = {x_1}\,\,\left( {0 < {x_1} < 1} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\)(nghiệm đơn) và \(x = 2\)(nghiệm kép).

+) \(f\left( x \right) = 1\) có 3 nghiệm phân biệt \(x = 1\)  (nghiệm đơn), \(x = {x_2}\,\,\left( {1 < {x_2} < 2} \right)\) (nghiệm đơn) và \(x = {x_3}\,\,\left( {{x_3} > 2} \right)\) (nghiệm đơn).

Khi đó hàm số \(y = g\left( x \right)\) được viết dưới dạng : \(g\left( x \right) = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x.\,a\left( {x - {x_1}} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}.\,a\left( {x - 1} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)}}\)

Do đó, đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 đường tiệm cận đứng là: \(x = {x_2},\,\,x = 2,\,\,x = {x_3}.\)

Chọn: B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 2mx - m + 2}}\) có đúng hai đường tiệm cận. Tổng tất cả các phần tử của tập \(S\) bằng:

  • A \( - 4\)  
  • B \( - 2\)
  • C \( - 5\)
  • D \( - 1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(x = a\) là tiệm cận đứng khi xảy ra một trong các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ \pm }} f\left( x \right) =  \pm \infty \).  

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(y = b\) là tiệm cận ngang khi xảy ra một trong các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = b\).

Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để suy ra số đường tiệm cận đứng. Từ đó tìm giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 2mx - m + 2}} = 0\).

Do đó, đồ thị hàm số đã cho luôn nhận đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang với mọi giá trị của \(m\).

Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có đúng 1 đường tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \({x^2} + 2mx - m + 2 = 0\) hoặc có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng \(1\).     (1)

Phương trình \({x^2} + 2mx - m + 2 = 0\) có \(\Delta ' = {m^2} - \left( { - m + 2} \right) = {m^2} + m - 2\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{1^2} + 2m.1 - m + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + m - 2 = 0\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 2 > 0\\3 + m = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 2\\m =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2\\m =  - 3\end{array} \right.\)

Do đó, tập các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn là \(S = \left\{ {1; - 2; - 3} \right\}\).

Vậy tổng tất cả các phần tử của tập hợp \(S\) bằng \(1 - 2 - 3 =  - 4\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{20 + \sqrt {6x - {x^2}} }}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 2m} }}\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) sao cho đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng.

  • A

    \(m \in \left[ {6;8} \right)\)

     
  • B \(m \in \left( {6;8} \right)\)
  • C \(m \in \left[ {12;16} \right)\)
  • D \(m \in \left( {0;16} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của hàm số.

- Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình mẫu số = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐKXĐ.

- Cô lập \(m\). Sử dụng phương pháp hàm số.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 6\\{x^2} - 8x + 2m > 0\end{array} \right.\)

Để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{20 + \sqrt {6x - {x^2}} }}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 2m} }}\) có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình \({x^2} - 8x + 2m = 0\) có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ {0;6} \right]\) \( \Leftrightarrow \) Phương trình \({x^2} - 8x =  - 2m\) có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ {0;6} \right]\)(*). Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 8x\) ta có: \(f'\left( x \right) = 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 4.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thì  \(\left( * \right) \Leftrightarrow  - 16 <  - 2m \le  - 12 \Leftrightarrow 6 \le m < 8.\)

Vậy \(m \in \left[ {6;8} \right)\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)\). Biết rằng \({M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \({M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai điểm trên đồ thị \(\left( C \right)\) có tổng khoản cách đến hai tiệm cận của \(\left( C \right)\) nhỏ nhất. Tính giá trị \(P = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\).

  • A \(0\)
  • B \( - 2\)            
  • C \(1\)
  • D \( - 1\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

- Gọi \(M\left( {a;\frac{{2a - 1}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\) \(\left( {a \ne  - 1} \right)\). Tính các khoảng cách từ \(M\) đến hai đường tiệm cận.

- Sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN của tổng khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)\) có hai đường tiệm cận là \(y = 2;\,\,x =  - 1\).

Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a - 1}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\) \(\left( {a \ne  - 1} \right)\).

Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(y = 2 \Leftrightarrow y - 2 = 0\) là:

\({d_1} = \dfrac{{\left| {\dfrac{{2a - 1}}{{a + 1}} - 2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \left| {\dfrac{{2a - 1 - 2a - 2}}{{a + 1}}} \right|\)\( = \dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}\).

Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(x =  - 1 \Leftrightarrow x + 1 = 0\) là:

\({d_2} = \dfrac{{\left| {a + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {a + 1} \right|\).

Do đó tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai đường tiệm cận là:

\(d = {d_1} + {d_2} = \dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} + \left| {a + 1} \right|\) \( \ge 2\sqrt {\dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}.\left| {a + 1} \right|}  = 2\sqrt 3 \) (BĐT Cô-si)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} = \left| {a + 1} \right| \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 3\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1 + \sqrt 3 \\a =  - 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Với \(a =  - 1 + \sqrt 3 \) ta có \({M_1}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right)\).

Với \(a =  - 1 - \sqrt 3 \) ta có \({M_2}\left( { - 1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right)\).

Vậy

\(\begin{array}{l}P = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\\\,\,\,\,\, = \left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( { - 1} \right)^2} - 3 + 4 - 3\\\,\,\,\,\, =  - 1\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho hàm đa thức bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đò thị như hình vẽ

Tổng số đường tiệm cận ngang và đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{f\left( x \right)}}\) là

  • A

    \(1\)

  • B

    \(2\)

  • C \(3\)
  • D \(4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\):

- Đồ thị hàm số nhận \(y = {y_0}\) làm TCN nếu thỏa mãn một trong các điều kiện \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\).

- Đồ thị hàm số nhận \(x = {x_0}\) làm TCĐ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \).

Lời giải chi tiết:

Hàm số có dạng \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - 1\) (vì là hàm bậc ba và cắt trục tung tại điểm có tung độ \( - 1\))

Đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm có tọa độ là \(\left( { - 1;0} \right),\,\,\left( {1; - 2} \right);\,\,\left( {2;0} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}8a + 4b + 2c = 1\\ - a + b - c = 1\\a + b + c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = 0\\c = \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^3} - \dfrac{3}{2}x - 1 = \dfrac{1}{2}{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\end{array}\)

Khi đó \(y = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\dfrac{1}{2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Đồ thị hàm số trên có tiệm cận ngang \(y = 2\) và tiệm cận đứng là \(x = 1,\,\,x = 2\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{f\left( x \right)}}\) có 3 đường tiệm cận.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình dưới đây.

Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của m thuộc khoảng (-2019 ;2020) để đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {f\left( x \right)} }}{{\left( {f\left( x \right) - 2} \right)\left( {{x^2} - 2mx + m + 2} \right)}}\) có 5 đường tiệm cận ( tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang). Số phần tử của \(S\) là: 

  • A \(2016.\)
  • B \(4034.\)
  • C \(4036.\)
  • D \(2017.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Dựa vào đồ thị để tìm nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 2\).

- Biện luận để tìm điều kiện của \(m\).

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1; đi qua các điểm có tọa độ \(\left( {1;0} \right),\,\,\left( {2;2} \right);\,\,\left( { - 1;2} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 1\\a + b + c + d = 0\\8a + 4b + 2c + d = 2\\ - a + b - c + d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = 0\\c = \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1 = \dfrac{1}{2}{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right)\end{array}\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {f\left( x \right)} }}{{\left( {f\left( x \right) - 2} \right)\left( {{x^2} - 2mx + m + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {\dfrac{1}{2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)} }}{{\dfrac{1}{2}\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {{x^2} - 2mx + m + 2} \right)}}\,\,\,\left( {x \ge  - 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)} }}{{\dfrac{1}{2}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2mx + m + 2} \right)}}\,\,\left( {x \ge  - 2} \right)\end{array}\)

Đồ thị hàm số có 1 đường TCN là \(y = 0\).

Để đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận thì phương trình \({x^2} - 2mx + m + 2 = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(2,\,\, - 1,\,\,1\) và thỏa mãn lớn hơn hoặc bằng \( - 2\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - m - 2 > 0\\1 - 2m + m + 2 \ne 0\\1 + 2m + m + 2 \ne 0\\4 - 4m + m + 2 \ne 0\\{x_1} + {x_2} = 2m >  - 4\\\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\\m \notin \left\{ {3; - 1;2} \right\}\\m >  - 2\\m + 2 + 2.2m + 4 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\ - 2 < m <  - 1\end{array} \right.\\m \ne 3\\m \ge  - \dfrac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\ - \dfrac{6}{5} \le m <  - 1\end{array} \right.\\m \ne 3\end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện \(m \in \left( { - 2019;2020} \right),\,\,m \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 < m < 2020\\n \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow \) Có 2016 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3mx + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng?

  • A \(1.\)     
  • B \(2.\)
  • C \(3.\)
  • D \(4.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{g\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3mx + m}}\)

Điều kiện: \({x^2} - 3mx + m \ne 0.\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3mx + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng

\( \Leftrightarrow \) phương trình  \(g\left( x \right) = {x^2} - 3mx + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm \(x = 2\) hoặc phương trình có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\g\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.\\\Delta  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 4m > 0\\{2^2} - 3m.2 + m = 0\end{array} \right.\\9{m^2} - 4m = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m\left( {9m - 4} \right) > 0\\5m = 4\end{array} \right.\\m\left( {9m - 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > \frac{4}{9}\end{array} \right.\\m = \frac{4}{5}\end{array} \right.\\m = 0\\m = \frac{4}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{4}{5}\\m = 0\\m = \frac{4}{9}\end{array} \right..\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 0 \Rightarrow \) có 1 giá trị nguyên thỏa mãn bài toán.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Xác định số đường đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{{{x^2} + 5x}}\).

  • A \(3\)
  • B \(2\)
  • C \(0\)
  • D \(1\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính \(f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)\,\,\forall x \in \left[ {1;100} \right]\) sau đó tính \({S_1} - {S_2}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left[ { - 4; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{{{x^2} + 5x}} = 0\) \( \Rightarrow y = 0\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{{{x^2} + 5x}} = \dfrac{1}{{20}}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{{{x^2} + 5x}} = \dfrac{1}{{20}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số không có TCĐ.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)\sin x}}{{{x^3} - {x^2} - 6x}}\) là

  • A \(2.\)
  • B \(0.\)
  • C \(3.\)
  • D \(1.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng \(x = {x_0}\) là TCĐ khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \).

- Tính giới hạn bẳng phương pháp nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp, và sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 1\).

Xét phương trình mẫu số:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} - {x^2} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{\left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)\sin x}}{{{x^3} - {x^2} - 6x}}\\y = \dfrac{{\left( {x + 1 - 4} \right)\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\y = \dfrac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\end{array}\)

Khi đó:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \dfrac{1}{{\left( {1 + 2} \right)\left( {0 + 2} \right)}}.1 = \dfrac{1}{6}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \dfrac{1}{{\left( {1 + 2} \right)\left( {0 + 2} \right)}}.1 = \dfrac{1}{6}\)

Suy ra x = 0 không là TCĐ của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \dfrac{{\sin 3}}{{60}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \dfrac{{\sin 3}}{{60}}\).

Suy ra x = 3 không là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho không có TCĐ.

Đáp án B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trong đoạn \(\left[ -2017;2017 \right]\) sao cho đồ thị hàm số \(y=\frac{x-2}{\left( {{x}^{2}}-4mx+4 \right)\left( m{{x}^{2}}-2x+4 \right)}\) có đúng một đường tiệm cận.

  • A \(1\)                                               
  • B \(2017\)                            
  • C  \(4034\)                              
  • D  \(0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

- Điều kiện để đồ thị hàm số chỉ có duy nhất 1 tiệm cận là nó không có tiệm cận đứng, hay mẫu thức vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm duy nhất là nghiệm đơn \(x=2\).

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{\left( {{x}^{2}}-4mx+4 \right)\left( m{{x}^{2}}-2x+4 \right)}=0\) nên \(y=0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó để đồ thị hàm số chỉ có 1 đường tiệm cận thì nó không có tiệm cận đứng.

Khi đó phương trình \(\left( {{x}^{2}}-4mx+4 \right)\left( m{{x}^{2}}-2x+4 \right)=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất \(x=2\) (nghiệm đơn).

Trường hợp 1: Phương trình \(\left( {{x}^{2}}-4mx+4 \right)\left( m{{x}^{2}}-2x+4 \right)=0\) vô nghiệm.

\(\Leftrightarrow \) cả hai phương trình \({{x}^{2}}-4mx+4=0\) và \(m{{x}^{2}}-2x+4=0\) đều vô nghiệm.

+) Phương trình \({{x}^{2}}-4mx+4=0\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow {{\Delta }_{1}}'=4{{m}^{2}}-4<0\Leftrightarrow -1<m<1\).

+) Phương trình \(m{{x}^{2}}-2x+4=0\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow {{\Delta }_{2}}'=1-4m<0\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\).

Kết hợp hai điều kiện trên ta được \(\frac{1}{4}<m<1\).

Do đó trong trường hợp này không có số nguyên nào thỏa mãn.

Trường hợp 2: Phương trình \(\left( {{x}^{2}}-4mx+4 \right)\left( m{{x}^{2}}-2x+4 \right)=0\) có 1 nghiệm duy nhất là nghiệm đơn \(x=2\).

Với \(x=2\) thì \(\left( {{2}^{2}}-4m.2+4 \right)\left( m{{.2}^{2}}-2.2+4 \right)=0\Leftrightarrow \left( 8-8m \right).4m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=0 \\  & m=1 \\ \end{align} \right.\).

+) Nếu \(m=0\) thì \(y=\frac{x-2}{\left( {{x}^{2}}+4 \right)\left( -2x+4 \right)}=-\frac{1}{2\left( {{x}^{2}}+4 \right)}\)  nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và chỉ có 1 tiệm cận duy nhất (thỏa mãn).

+) Nếu \(m=1\) thì \(y=\frac{x-2}{\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}=-\frac{1}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}\) nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng \(x=2\) và một tiệm cận ngang \(y=0\) (loại).

Vậy \(m=0\) và có 1 giá trị nguyên duy nhất của \(m\) thỏa bài toán.

Chọn A.

 

 

 

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho (C) là đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}\). Tìm các điểm trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất:

  • A
  • B \(\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)\) và \(\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)\)
  • C \(\left( {1 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)\)
  • D \(\left( {1 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

+) Gọi \(M(x_0; \,y_0)\) là điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số.

+) Dựa vào công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến từng đường tiệm cận.

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm \(m\) thỏa mãn đề bài.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {m;\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right) \in \left( C \right)\,\left( {m \ne 2} \right)\). Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận x = 2 và y = 1 là

\(S = \left| {m - 2} \right| + \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} - 1} \right| = \left| {m - 2} \right| + \dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {m - 2} \right|.\dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}}}  = 2\sqrt 3 \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = \dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = \sqrt 3  \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 3 \)

Vậy có 2 điểm thỏa mãn bài toán là \({M_1}\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right),{M_2}\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Đồ thị hàm số nào sau đây không có đường tiệm cận?

  • A \(y = x + 2 - \dfrac{1}{{x + 3}}\)
  • B \(y = \sin x\)     
  • C \(y = \dfrac{{x - 2}}{{3x + 2}}\)
  • D \(y = \dfrac{x}{{2{x^2} - 1}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x=a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  \pm \infty .\)

Hay \(x=a\) là nghiệm của mẫu số và không là nghiệm của tử số.

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) =  b .\)

Lời giải chi tiết:

Các đồ thị của hàm số phân thức luôn có ít nhất một đường tiệm cận.

Chỉ có đáp án B là hàm số  không có đường tiệm cận.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho hai hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{{m^2} - 8 - x}}\)  và \(y = \dfrac{{5 - 2x}}{{x + 4}}\). Tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để hai đường tiệm cận đứng của hai đồ thị hàm số trên trùng nhau là:

  • A {-2,2}
  • B {-1;2}
  • C {0}
  • D {2;3}

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm TCĐ của đồ thị hàm số \(y = \frac{{5 - 2x}}{{x + 4}}.\)

Tìm TCĐ của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{{m^2} - 8 - x}}\) theo \(m.\)

Sau đó cho hai giá trị đó bằng nhau để tìm \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Xét đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{5 - 2x}}{{x + 4}}\) có TCĐ là \(x =  - 4\).

Suy ra hai đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng trùng nhau \( \Leftrightarrow x =  - 4\) là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{{m^2} - 8 - x}}\).

Ta thấy \(x =  - 4\) không là nghiệm của tử số \( \Rightarrow x =  - 4\) là TCĐ của đồ thị hàm số\( \Leftrightarrow {m^2} - 8 =  - 4 \Leftrightarrow {m^2} - 8 + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m =  \pm 2\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Gọi \(a;\,b;\,c\) lần lượt là số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau: \(y = \dfrac{{1 - 2x}}{{x - 4}};\)\(y = \dfrac{{ - x - 2}}{{{x^2} - 3}}\) và \(y = \dfrac{{25}}{{2{x^2} - 3x + 4}}\). Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

  • A \(a < b < c\)
  • B \(b < a < c\)
  • C \(c < a < b\)
  • D \(c < b < a\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x=a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) =  \pm \infty .\)

Hay \(x=a\) là nghiệm của mẫu số và không là nghiệm của tử số.

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số  \(y=f(x) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) =  b .\)

Lời giải chi tiết:

+) Xét đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{1 - 2x}}{{x - 4}}\) ta thấy đồ thị có TCĐ là \(x = 4\) và TCN là \(y =  - 2\) \( \Rightarrow a = 2\).

+) Xét đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - x - 2}}{{{x^2} - 3}}\) ta thấy đồ thị có TCĐ là \(x =  \pm \sqrt 3 \) và TCN là \(y = 0\)\( \Rightarrow b = 3\).

+) Xét đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{25}}{{2{x^2} - 3x + 4}}\) ta thấy đồ thị không có TCĐ và có TCN là \(y = 0\) \( \Rightarrow c = 1\).

Vậy chọn C.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

40 bài tập trắc nghiệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số mức độ nhận biết, thông hiểu

Tổng hợp bài tập trắc nghiệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số mức độ nhận biết, thông hiểu có đáp án và lời giải chi tiết

Xem chi tiết

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục

  • 20 bài tập quỹ tích số phức mức độ vận dụng cao
  • 40 bài tập quỹ tích số phức mức độ vận dụng
  • 40 bài tập quỹ tích số phức mức độ nhận biết, thông hiểu
  • 30 bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực mức độ vận dụng, vận dụng cao
  • 40 bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực mức độ thông hiểu
Bài giải mới nhất
  • 20 bài tập quỹ tích số phức mức độ vận dụng cao
  • 40 bài tập quỹ tích số phức mức độ vận dụng
  • 40 bài tập quỹ tích số phức mức độ nhận biết, thông hiểu
  • 30 bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực mức độ vận dụng, vận dụng cao
  • 40 bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực mức độ thông hiểu

Báo lỗi góp ý

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Sai chính tả

Giải khó hiểu

Giải sai

Lỗi khác

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Gửi góp ý Hủy bỏ Liên hệ Chính sách

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Từ khóa » Tổng Số Tiệm Cận Ngang Và Tiệm Cận đứng Của đồ Thị Hàm Số Y=1/2f(x)-1