4.3a GIỚI HẠN HÀM SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ...

Có thể bạn quan tâm

GIỚI HẠN HÀM SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1). Giới hạn của hàm số tại một điểm:

a). Giới hạn hữu hạn: Giả sử là một khoảng chứa điểm và là một hàm số xác định trên tập hợp . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số trong tập hợp mà ta đều có . Khi đó ta viết: hoặc khi .

Nhận xét:

Nếu , trong đó c là hằng số thì .

Nếu thì .

b). Giới hạn vô cực:Giả sử là một khoảng chứa điểm và là một hàm số xác định trên tập hợp .

nếu với mọi dãy số trog tập hợp mà ta đều có .

2). Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới nếu với mọi dãy số trong khoảng mà ta đều có . Khi đó ta viết: hoặc khi .

Các giới hạn được định nghĩa hoàn toàn tương tự.

Nhận xét:

Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, có thể chứng minh được rằng: Với mọi số nguyên dương k, ta có:

3). Một số định lí về giới hạn hữu hạn:

Định lí 1: Giả sử và (với L, M ).Khi đó:

Nếu thì

Hệ quả:

Nếu c là một hằng số thì .

( a hằng số và ).

Định lí 2:Giả sử . Khi đó:

Nếu với mọi , trong đó J là một khoảng nào đó chứa , thì và .

Chú ý:

Định lí 1 và định lí 2 vẫn đúng khi thay bởi hoặc .

Định lí 3: (Định lí kẹp về giới hạn hàm số): giả sử là một khoảng chứa và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp . Nếu với mọi và thì .

Chú ý: Định lí 3 vẫn đúng khi thay bởi (trong các trường hợp này thay tập hợp bằng khoảng ) hoặc (trong các trường hợp này thay tập hợp bằng khoảng ).

Định lí 4: Nếu thì .

4). Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực:

Qui tắc 1: Nếu và (với ) thì được cho bởi bảng sau:

	Dấu của L
	+

Quy tắc 2: Nếu , và hoặc với mọi thì được cho bởi bảng sau:

Dấu của L	Dấu của
	+

5). Các dạng vô định:

Các dạng vô định trường gặp: .

6). Giới hạn một bên:

a). Giới hạn hữu hạn:

Giới hạn bên phải: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số trong khoảng mà , ta đều có . Khi đó ta viết:

hoặc khi .

Giới hạn bên trái: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số trong khoảng mà , ta đều có . Khi đó ta viết:

hoặc khi .

Định lí 5:

Giới hạn vô cực:

được phát biểu tương tự như các định nghĩa ở phần giới hạn hữu hạn.

Định lí 5 vẫn đúng với giới hạn vô cực.

Các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực vẫn đúng trong trường hợp hay .

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

VẤN ĐỀ 1: TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

a). Để tìm ta làm như sau:

Xét dãy số bất kỳ thuộc tập xác định D với mà

Tìm :

Nếu ta có thì .

b). Để tìm hoặc ta làm như sau :

Xét dãy số bất kỳ thuộc tập xác định mà .

Tìm :

Nếu ta có thì .

Hoàn toàn tương tự khi tính .

c). Để chứng minh hàm số không có giới hạn khi ta thường làm như sau :

Chọn hai dãy số và cùng thuộc tập xác định của hàm sốsao cho và có .

Chứng minh hoặc một trong hai giới hạn này không tồn tại.

Khi đó theo định nghĩa ta suy ra hàm số không có giới hạn khi .

Đối với các trường hợp ta cũng làm tương tự.

CÁCH KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH (Dạng này thường gặp khi ).

DẠNG 1: Hàm số trong đó là đa thức theo biến x.

PHƯƠNG PHÁP: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn biểu thức làm cả tử và mẫu bằng 0.

Phân tích đa thức thành nhân tử có các phương pháp sau:

Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

Nếu tam thức bậc hai thì sử dụng với là nghiệm của phương trình .

Sử dụng phương pháp Hoocner . Phép chia đa thức cho theo sơ đồ Hoocner như sau:

a	b	c	d	e
	a

Hàng thứ nhất điền hệ số của đa thức từ ô thứ hai đến ô cuối cùng. Ở hàng thứ hai ô đầu tiên điền giá trị là một nghiệm của , ô thứ hai viết lại a, lấy đặt vào ô thứ ba, lấy điền váo ô thứ tư, lấy điền vào ô thứ năm, lấy (bắt buộc tổng này phải bằng 0, thì đây mới là phép chia hết). Khi đó được viết lại

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a). b). c).

d). e). f).

LỜI GIẢI

a).Ta có (áp dụng hằng đẳng thức), và (với và là hai nghiệm của phương trình ).

Do đó .

b).

Thay vào cả tử và mẫu thấy đều bằng 0, nên là một nghiệm của hai đa thức cả mẫu và tử. Có nghĩa là nhân tử chung, ta phân tích đa thức ở tử và mẫu thành nhân tử bằng phương pháp Hoocner. Cách làm như sau:

Phân tích tử số:

Kẻ bảng như sau. Sau đó điền hệ số của từng số hạng với số mũ giảm dần vào các ô ở hàng đầu tiên với ô thứ nhất để trống. Ở hàng thứ hai: điền giá trị làm đa thức bằng 0 ở đây là chữ số 3. Ô thứ hai điền lại giá trị ở ô thứ hai của hàng một xuống (ta thường hay nói “đầu rơi xuống”), sau đó lấy điền chữ số 1 vào ô thứ ba, lấy điền chữ số 1 vào ô thứ tư, cuối cùng lấy điền vào ô cuối cùng.

2	-5	-2	-3
3	2	1	1	0

Phân tích mẫu số:

4	-13	4	-3
3	4	-1	1	0

Do đó .

c). . Ta thấy và như vậy đây là dạng giới hạn vô định ta phải phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử để khử vô định. Phân tích nhân tử bằng phương pháp Hoocner

Phân tích tử số:

Phân tích mẫu số:

Từ đó , ta thấy và ta vẫn còn dạng vô định nên phân tích thành nhân tử tiếp, ta làm như sau: .

d). Bước đầu tiên ta phải quy đồng mẫu, sau đó phân tích đa thức của tử thành nhân tửvà rút gọn hạng tử vô định .

e). . Phân tích tử số . Phân tích mẫu số bằng Hoocner:

Do đó

Từ đó .

f). .

DẠNG 2: Hàm số trong đó là các biểu thức có chứa căn thức theo biến x.

PHƯƠNG PHÁP:

Bước 1: Nhân lượng liên hợp.

Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn hạng tử chung của cả tử và mẫu.

Ví dụ 1:Tìm các giới hạn sau :

a). b). c).

d). e). f). .

g). h).

LỜI GIẢI

a). .

b). .

c).

d). .

e).

f).

g).

h).

Ví dụ 2:Tìm các giới hạn sau :

a). b). c).

d). e). f). .

LỜI GIẢI

a). Ta có .

Do đó .

b). Ta có

Và có

Do đó

c). Ta có

Và . Do đó .

d).Có , và .

Từ đó .

e). Có và .

Do đó .

f). Có .

Do đó .

DẠNG 3: Thêm bớt số hạng hoặc một biểu thức vắng để khử được dạng vô định: Các dạng hay gặp hoặc hoặc . Trong đó k, m, n và .

PHƯƠNG PHÁP: Thông qua những ví dụ sau, rồi ta rút ra phương pháp giải:

Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau :

a). b).

c). d).

LỜI GIẢI

a). Ta có khi thì do đó đây là bài dạng vô định , ta phải tách được về dạng sao cho mỗi giới hạn nhân lượng liên hợp đều khử được dạng vô định . Kỹ thuật ta thay vào và nên số tách thành và gom lại như sau :

. Sau đó tính từng giới hạn.

Tính .

Kết luận .

b). . Ta dễ dàng thấy đây là dạng vô định và tử số có hai căn thức khác loại, nên ta phải thêm bớt một hằng số c sao cho đưa được về dạng và mỗi giới hạn đều tính được giới hạn khi khử được dạng vô định bằng phương pháp nhân lượng liên hợp.

Kỹ thuật 1: Thay vào và đều bằng 2. Suy ra 2 là giá trị ta cần thêm bớt.

Kỹ thuật 2: Cho sau đó giải hệ là giá trị cần thêm bớt.

Cụ thể làm như sau: .

Tính

Tính .

Do đó .

c). , tương tự câu b) thay vào và đều bằng 3. Như vậy 3 là giá trị cần thêm và bớt, cụ thể .

Tính .

Tính: .

Do đó .

d). . Ta thấy khi thì cả tử và mẫu đều nên đây là bài thuộc dạng vô định . Kỹ thuật giải bài này cũng giống như các câu a, b, c. Bước đầu tiên thay vào được 2, thay vào được 1 và thay vào được 1. Nên giới hạn được viết lại

Tính .

Từ đó suy ra .

Ví dụ 2 *: Tính các giới hạn sau:

a). b).

c). d).

LỜI GIẢI

Cách khử vô định dạng ta phải thêm và bớt một biểu thức sao choliên hợp thì tử xuất hiện một lượng nhân tử sau đó khử được vô định. Cách làm như sau:

Trong đó là lượng liên hợp của và là lượng liên hợp của . Cụ thể qua những ví dụ các bạn sẽ hiểu rõ hơn.

a). Phân tích hướng giải, bước đầu tiên ta phải thêm một lượng có nghĩa .

Tính , ta có như vậy ta phải tìm hàm sao cho phải xuất hiện . Ta phân tích . Đến đây bài toán xem như đã hoàn thành (vì phương pháp nhân lượng liên hợp các bạn đã thành thạo trong những ví dụ trên).

Cách làm cụ thể : .

Tính

Do đó .

b). . Để dễ thêm bớt ta nên đặt vì do đó . Suy ra đến đây ta phải thêm và bớt một lượng để trên tử phải xuất hiện một lượng . Ta bắt đầu thực hiện .

Phân tích như vậy ta phải tìm hàm sao cho phải xuất hiện một lượng . Ta thực hiện như sau: mấu chốt của bài toán ta đã giải quyết xong. Ở đây vì sao ta lại lấy giới hạn đầu để phân tích? Thật ra lấy giới hạn nào cũng được vì thêm và bớt phải cùng một lượng , ta tìm được bớt lượng ở giới hạn đầu thì giới hạn sau hiển nhiên phải nhận thêm lượng . Và tìm hàm lấy giới hạn có căn thức bậc hai dễ nhân lượng liên hợp hơn.