40 Bài Tập Quỹ Tích Số Phức Mức độ Vận Dụng

Trang chủ » Các Loại Quỹ Tích Số Phức » 40 Bài Tập Quỹ Tích Số Phức Mức độ Vận Dụng

Có thể bạn quan tâm

  • Lớp 12
    • Toán học 12
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cùng khám phá
      • SBT Toán - Kết nối tri thức
      • SBT Toán - Cánh diều
      • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Toán - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Ngữ văn 12
      • Soạn văn - Kết nối tri thức
      • Soạn văn - Cánh diều
      • Soạn văn - Chân trời sáng tạo
      • SBT Văn 12 - Kết nối tri thức
      • SBT Văn 12 - Cánh diều
      • SBT Văn 12 - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Văn 12 - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Văn 12 - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 12
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Friends Global
      • Tiếng Anh - iLearn Smart World
      • Tiếng Anh - Bright
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • SBT Global Success
      • SBT Friends Global
      • SBT iLearn Smart World
      • >> Xem thêm
    • Vật lí 12
      • SGK Vật Lí - Kết nối tri thức
      • SGK Vật Lí - Cánh diều
      • SGK Vật Lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Vật lí - Kết nối tri thức
      • SBT Vật lí - Cánh diều
      • SBT Vật lí - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Lí - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Lí - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Hóa học 12
      • SGK Hóa - Kết nối tri thức
      • SGK Hóa - Cánh diều
      • SGK Hóa - Chân trời sáng tạo
      • SBT Hóa - Kết nối tri thức
      • SBT Hóa - Cánh diều
      • SBT Hóa - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Hóa - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Hóa - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Sinh học 12
      • SGK Sinh - Kết nối tri thức
      • SGK Sinh - Cánh diều
      • SGK Sinh - Chân trời sáng tạo
      • Trắc nghiệm Sinh - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Sinh - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Sinh - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Sinh - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Sinh - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử 12
      • SGK Lịch sử - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử - Chân trời sáng tạo
      • SGK Lịch sử - Cánh diều
    • Địa lí 12
      • SGK Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SGK Địa lí - Cánh diều
      • SBT Địa lí - Cánh diều
    • GD kinh tế và pháp luật 12
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Chân trời sáng tạo
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Cánh diều
    • Công nghệ 12
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
    • Tin học 12
      • SGK Tin học - Cánh diều
      • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 12
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 1
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 2
    • GD Quốc phòng và An ninh 12
      • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Cánh diều
    • Giáo dục thể chất 12
      • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
  • Lớp 11
    • Ngữ văn 11
      • Soạn văn - Kết nối tri thức - chi tiết
      • Soạn văn - Kết nối tri thức - siêu ngắn
      • Soạn văn - Cánh Diều - chi tiết
      • Soạn văn - Cánh Diều - siêu ngắn
      • Soạn văn - Chân trời sáng tạo - chi tiết
      • Soạn văn - Chân trời sáng tạo - siêu ngắn
      • Chuyên đề học tập Văn - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Văn - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Toán học 11
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cùng khám phá
      • Chuyên đề học tập Toán - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Toán - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Toán - Chân trời sáng tạo
      • SBT Toán - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 11
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Friends Global
      • Tiếng Anh - iLearn Smart Wolrd
      • Tiếng Anh - Bright
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • SBT Global Success
      • SBT Friends Global
      • SBT iLearn Smart World
      • >> Xem thêm
    • Vật lí 11
      • SGK Vật Lí - Kết nối tri thức
      • SGK Vật Lí - Cánh diều
      • SGK Vật Lí - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Lí - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Lí - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Vật lí - Kết nối tri thức
      • SBT Vật lí - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Hóa học 11
      • SGK Hóa học - Kết nối tri thức
      • SGK Hóa học - Cánh diều
      • SGK Hóa học - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Hóa - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Hóa - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Hóa - Chân trời sáng tạo
      • SBT Hóa - Kết nối tri thức
      • SBT Hóa - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Sinh học 11
      • SGK Sinh - Kết nối tri thức
      • SGK Sinh - Cánh diều
      • SGK Sinh - Chân trời sáng tạo
      • Chuyên đề học tập Sinh - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Sinh - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Sinh - Chân trời sáng tạo
      • SBT Sinh - Kết nối tri thức
      • SBT Sinh - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử 11
      • SGK Lịch sử - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử - Chân trời sáng tạo
      • SGK Lịch sử - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Lịch sử
      • Đề thi, kiểm tra Lịch Sử
    • Địa lí 11
      • SGK Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • Trắc nghiệm Địa lí
      • Đề thi, kiểm tra Địa lí
      • SGK Địa lí - Cánh diều
    • GD kinh tế và pháp luật 11
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Chân trời sáng tạo
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Cánh diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 11
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 1
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 2
    • Công nghệ 11
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
    • Tin học 11
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Cánh diều
    • Giáo dục thể chất 11
      • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
    • GD Quốc phòng và An ninh 11
      • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Cánh diều
  • Lớp 10
    • Ngữ văn 10
      • Soạn văn - Kết nối tri thức - siêu ngắn
      • Soạn văn - Kết nối tri thức - chi tiết
      • Soạn văn - Chân trời sáng tạo - siêu ngắn
      • Soạn văn - Chân trời sáng tạo - chi tiết
      • Soạn văn - Cánh Diều - siêu ngắn
      • Soạn văn - Cánh Diều - chi tiết
      • Tác giả tác phẩm
      • Văn mẫu - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Toán học 10
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SBT Toán - Kết nối tri thức
      • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
      • SBT Toán - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Toán - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Toán - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 10
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Friends Global
      • Tiếng Anh - iLearn Smart World
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • Tiếng Anh - Bright
      • Tiếng Anh - Explore New Worlds
      • SBT Global Success
      • SBT Friends Global
      • >> Xem thêm
    • Vật lí 10
      • SGK Vật Lí - Kết nối tri thức
      • SGK Vật Lí - Chân trời sáng tạo
      • SGK Vật Lí - Cánh diều
      • SBT Vật lí - Kết nối tri thức
      • SBT Vật lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Vật lí - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Lí - Kết nối tri thức
      • Bài tập trắc nghiệm Lí - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Hóa học 10
      • SGK Hóa - Kết nối tri thức
      • SGK Hóa - Chân trời sáng tạo
      • SGK Hóa - Cánh diều
      • SBT Hóa - Kết nối tri thức
      • SBT Hóa - Chân trời sáng tạo
      • SBT Hóa 10 - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Hóa - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Hóa 10 – Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Sinh học 10
      • SGK Sinh - Kết nối tri thức
      • SGK Sinh - Chân trời sáng tạo
      • SGK Sinh - Cánh diều
      • SBT Sinh - Kết nối tri thức
      • SBT Sinh - Chân trời sáng tạo
      • SBT Sinh - Cánh diều
      • Chuyên đề học tập Sinh - Kết nối tri thức
      • Chuyên đề học tập Sinh - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử 10
      • SGK Lịch sử - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử - Chân trời sáng tạo
      • SGK Lịch sử - Cánh Diều
      • SBT Lịch sử - Kết nối tri thức
      • SBT Lịch sử - Chân trời sáng tạo
      • SBT Lịch sử - Cánh Diều
      • Chuyên đề học tập Lịch sử - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Sử - kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Địa lí 10
      • SGK Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Địa lí - Cánh Diều
      • SGK Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Địa lí - Kết nối tri thức
      • SBT Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • Trắc nghiệm Địa lí - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • Trắc nghiệm Địa lí - Cánh Diều
      • >> Xem thêm
    • Tin học 10
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Cánh Diều
      • SBT Tin học - Kết nối tri thức
    • Công nghệ 10
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
    • GD kinh tế và pháp luật 10
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - KNTT
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - CTST
      • SGK Giáo dục kinh tế và pháp luật - Cánh diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 10
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh Diều
    • Giáo dục thể chất 10
      • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
    • GD Quốc phòng và An ninh 10
      • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục quốc phòng và an ninh - Cánh diều
  • Lớp 9
    • Toán học 9
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SGK Toán - Cùng khám phá
      • SBT Toán - Kết nối tri thức
      • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
      • SBT Toán - Cánh diều
      • Vở thực hành Toán
      • >> Xem thêm
    • Ngữ văn 9
      • Soạn văn - Kết nối tri thức
      • Soạn văn - Chân trời sáng tạo
      • Soạn văn - Cánh diều
      • Tác giả - Tác phẩm văn
      • Vở thực hành văn
      • SBT Văn - Kết nối tri thức
      • SBT Văn - Chân trời sáng tạo
      • SBT Văn - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 9
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Friends Plus
      • Tiếng Anh - iLearn Smart World
      • Tiếng Anh - Right on!
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • SBT Global Success
      • SBT Friends Plus
      • SBT iLearn Smart World
      • >> Xem thêm
    • Khoa học tự nhiên 9
      • SGK Khoa học tự nhiên - Kết nối tri thức
      • SGK Khoa học tự nhiên - Cánh diều
      • SGK Khoa học tự nhiên 9 Chân trời sáng tạo
      • SBT KHTN - Kết nối tri thức
      • SBT KHTN - Cánh diều
      • SBT KHTN - Chân trời sáng tạo
      • Trắc nghiệm KHTN - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm KHTN - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử và Địa lí 9
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • GDCD 9
      • Giáo dục công dân - Kết nối tri thức
      • Giáo dục công dân - Chân trời sáng tạo
      • Giáo dục công dân - Cánh diều
    • Tin học 9
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Cánh diều
      • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
    • Công nghệ 9
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 9
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 1
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 2
  • Lớp 8
    • Ngữ văn 8
      • Soạn văn chi tiết - KNTT
      • Soạn văn siêu ngắn - KNTT
      • Soạn văn chi tiết - CTST
      • Soạn văn siêu ngắn - CTST
      • Soạn văn chi tiết - Cánh diều
      • Soạn văn siêu ngắn - Cánh diều
      • SBT Văn - Kết nối tri thức
      • SBT Văn - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Toán học 8
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SGK Toán - Cùng khám phá
      • SBT Toán - Kết nối tri thức
      • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
      • SBT Toán - Cánh diều
      • Vở thực hành Toán
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 8
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Friends Plus
      • Tiếng Anh - iLearn Smart World
      • Tiếng Anh - Right on!
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • SBT Global Success
      • SBT Friends Plus
      • SBT iLearn Smart World
      • >> Xem thêm
    • Khoa học tự nhiên 8
      • SGK Khoa học tự nhiên - Kết nối tri thức
      • SGK Khoa học tự nhiên - Chân trời sáng tạo
      • SGK Khoa học tự nhiên - Cánh diều
      • SBT KHTN - Kết nối tri thức
      • SBT KHTN - Cánh diều
      • Vở thực hành Khoa học tự nhiên
      • Đề thi, đề kiểm tra KHTN - Kết nối tri thức
      • Đề thi, đề kiểm tra KHTN - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử và Địa lí 8
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • Đề thi, kiểm tra Lịch Sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • Đề thi, kiểm tra Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • Đề thi, kiểm tra Lịch Sử và Địa lí - Cánh diều
    • GDCD 8
      • Giáo dục công dân - Kết nối tri thức
      • Giáo dục công dân - Chân trời sáng tạo
      • Giáo dục công dân - Cánh diều
    • Công nghệ 8
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
    • Tin học 8
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
      • SGK Tin học - Cánh diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 8
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 1
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo Bản 2
    • Âm nhạc 8
      • SGK Âm nhạc - Kết nối tri thức
      • SGK Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
      • SGK Âm nhạc - Cánh diều
    • Mỹ thuật 8
      • SGK Mĩ thuật - Kết nối tri thức
      • SGK Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo bản 1
      • SGK Mĩ thuật - Cánh diều
      • SGK Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo bản 2
    • Giáo dục thể chất 8
      • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
      • SGK Giáo dục thể chất - Chân trời sáng tạo
  • Lớp 7
    • Ngữ văn 7
      • Soạn văn siêu ngắn - KNTT
      • Soạn văn chi tiết - KNTT
      • Soạn văn siêu ngắn - CTST
      • Soạn văn chi tiết - CTST
      • Soạn văn siêu ngắn - Cánh diều
      • Soạn văn chi tiết - Cánh diều
      • Tác giả - Tác phẩm văn
      • Văn mẫu - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Toán học 7
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SBT Toán - Kết nối tri thức
      • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
      • SBT Toán - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Toán- Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 7
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Friends Plus
      • Tiếng Anh - iLearn Smart World
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • Tiếng Anh - Right on!
      • SBT Global Success
      • SBT Friends Plus
      • SBT iLearn Smart World
      • >> Xem thêm
    • Khoa học tự nhiên 7
      • SGK Khoa học tự nhiên - Kết nối tri thức
      • SGK Khoa học tự nhiên - Chân trời sáng tạo
      • SGK Khoa học tự nhiên - Cánh diều
      • SBT KHTN - Kết nối tri thức
      • SBT KHTN - Chân trời sáng tạo
      • SBT KHTN - Cánh diều
      • Trắc nghiệm KHTN - Kết nối tri thức
      • Bài tập trắc nghiệm Khoa học tự nhiên - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử và Địa lí 7
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh Diều
      • SBT Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • SBT Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SBT Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Tin học 7
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Cánh Diều
      • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
      • SBT Tin học - Kết nối tri thức
    • Công nghệ 7
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
    • GDCD 7
      • SGK GDCD - KNTT
      • SGK GDCD - CTST
      • SGK GDCD - Cánh diều
      • Bài tập tình huống GDCD
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 7
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh Diều
      • SGK Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo
    • Âm nhạc 7
      • Âm nhạc - Kết nối tri thức
      • Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
      • Âm nhạc - Cánh diều
  • Lớp 6
    • Ngữ văn 6
      • Soạn văn siêu ngắn - KNTT
      • Soạn văn chi tiết - KNTT
      • Soạn văn siêu ngắn - CTST
      • Soạn văn chi tiết - CTST
      • Soạn văn siêu ngắn - Cánh diều
      • Soạn văn chi tiết - Cánh diều
      • Tác giả - Tác phẩm văn
      • SBT Văn - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Toán học 6
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SBT Toán - Kết nối tri thức
      • SBT Toán - Chân trời sáng tạo
      • SBT Toán - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Toán - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 6
      • Global Success (Pearson)
      • Tiếng Anh - Friends plus
      • Tiếng Anh - iLearn Smart World
      • Tiếng Anh - Right on
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • Tiếng Anh - Explore English
      • SBT Global Success
      • SBT Friends Plus
      • >> Xem thêm
    • Khoa học tự nhiên 6
      • SGK KHTN - Kết nối tri thức
      • SGK KHTN - Chân trời sáng tạo
      • SGK KHTN - Cánh Diều
      • SBT KHTN - Kết nối tri thức
      • SBT KHTN - Chân trời sáng tạo
      • SBT KHTN - Cánh Diều
      • Trắc nghiệm KHTN - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm KHTN - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử và Địa lí 6
      • SGK Lịch sử và Địa lí - KNTT
      • SGK Lịch sử và Địa lí - CTST
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh Diều
      • SBT Lịch sử và Địa lí - KNTT
      • SBT Lịch sử và Địa lí - CTST
      • SBT Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Lịch sử và Địa Lí - KNTT
      • Trắc nghiệm Lịch Sử và Địa Lí - CTST
      • >> Xem thêm
    • GDCD 6
      • SGK GDCD - KNTT
      • SGK GDCD - CTST
      • SGK GDCD - Cánh Diều
      • SBT GDCD - Kết nối tri thức
      • SBT GDCD - Chân trời sáng tạo
      • SBT GDCD - Cánh diều
    • Công nghệ 6
      • Công nghệ - Kết nối tri thức
      • Công nghệ - Cánh Diều
      • Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SBT Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SBT Công nghệ - Cánh diều
      • SBT Công nghệ - Chân trời sáng tạo
    • Tin học 6
      • Tin học - Kết nối tri thức + chân trời sáng tạo
      • Tin học - Cánh Diều
      • SBT Tin học - Kết nối tri thức
      • SBT Tin học - Cánh Diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 6
      • SGK Trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SGK Trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo
      • SGK Trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
      • SBT Trải nghiệm, hướng nghiệp - Kết nối tri thức
      • SBT Trải nghiệm, hướng nghiệp - Chân trời sáng tạo
      • Thực hành Trải nghiệm, hướng nghiệp - Cánh diều
    • Âm nhạc 6
      • Âm nhạc - Kết nối tri thức
      • Âm nhạc - Cánh Diều
      • Âm nhạc: Chân trời sáng tạo
    • Mỹ thuật 6
      • Mĩ thuật - Kết nối tri thức
      • Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo
      • Mĩ thuật - Cánh diều
  • Lớp 5
    • Toán học 5
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SGK Toán - Bình Minh
      • VBT Toán - Kết nối tri thức
      • VBT Toán - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Toán - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Tiếng việt 5
      • Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • Tiếng Việt - Cánh diều
      • VBT Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • VBT Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • VBT Tiếng Việt - Cánh diều
      • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 5
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Family and Friends
      • Tiếng Anh - iLearn Smart Start
      • Tiếng Anh - Explore Our World
      • Tiếng Anh - Phonics Smart
      • SBT Tiếng Anh - Global Success
      • SBT Tiếng Anh - Family and Friends
      • SBT Tiếng Anh - iLearn Smart Start
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử và Địa lí 5
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
    • Khoa học 5
      • SGK Khoa học - Kết nối tri thức
      • SGK Khoa học - Chân trời sáng tạo
      • SGK Khoa học - Cánh diều
      • VBT Khoa học - Kết nối tri thức
    • Đạo đức 5
      • SGK Đạo đức - Kết nối tri thức
      • SGK Đạo đức - Chân trời sáng tạo
      • SGK Đạo đức - Cánh diều
    • Tin học 5
      • SGK Tin học - Cánh diều
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
    • Công nghệ 5
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 5
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo Bản 1
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo Bản 2
  • Lớp 4
    • Toán học 4
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SGK Toán - Bình Minh
      • VBT Toán - Kết nối tri thức
      • Vở thực hành Toán
      • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Toán - Cánh diều
      • >> Xem thêm
    • Tiếng việt 4
      • Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • Tiếng Việt - Cánh diều
      • VBT Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Việt - Cánh diều
      • Ôn tập hè Tiếng Việt
    • Tiếng Anh 4
      • Tiếng Anh - Global Sucess
      • Tiếng Anh - Family and Friends
      • Tiếng Anh - iLearn Smart Start
      • Tiếng Anh - Phonics Smart
      • Tiếng Anh - Explore Our World
      • SBT Tiếng Anh - Global Success
      • SBT Tiếng Anh - Family and Friends
      • SBT Tiếng Anh - iLearn Smart Start
      • >> Xem thêm
    • Lịch sử và Địa lí 4
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Kết nối tri thức
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Chân trời sáng tạo
      • SGK Lịch sử và Địa lí - Cánh diều
    • Khoa học 4
      • SGK Khoa học - Kết nối tri thức
      • SGK Khoa học - Chân trời sáng tạo
      • SGK Khoa học - Cánh diều
    • Đạo đức 4
      • SGK Đạo đức - Kết nối tri thức
      • SGK Đạo đức - Chân trời sáng tạo
      • SGK Đạo đức - Cánh diều
    • Tin học 4
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
      • SGK Tin học - Cánh diều
    • Công nghệ 4
      • SGK Công nghệ - Kết nối tri thức
      • SGK Công nghệ - Chân trời sáng tạo
      • SGK Công nghệ - Cánh diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 4
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo Bản 1
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo Bản 2
    • Âm nhạc 4
      • SGK Âm nhạc - Kết nối tri thức
      • SGK Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
      • SGK Âm nhạc - Cánh diều
    • Mỹ thuật 4
      • SGK Mĩ thuật - Kết nối tri thức
      • SGK Mĩ thuật - Cánh diều
      • SGK Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo bản 1
      • SGK Mĩ thuật - Chân trời sáng tạo bản 2
    • Giáo dục thể chất 4
      • SGK Giáo dục thể chất - Kết nối tri thức
      • SGK Giáo dục thể chất - Cánh diều
      • SGK Giáo dục thể chất - Chân trời sáng tạo
  • Lớp 3
    • Toán học 3
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh diều
      • VBT Toán - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Toán - Cánh diều
      • Trắc nghiệm Toán - Chân trời sáng tạo
      • Đề thi, đề kiểm tra Toán - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Tiếng việt 3
      • Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • Tiếng Việt - Cánh diều
      • VBT Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • VBT Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • VBT Tiếng Việt - Cánh diều
      • Văn mẫu - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 3
      • Tiếng Anh - Global Success
      • Tiếng Anh - Family and Friends
      • Tiếng Anh - iLearn Smart Start
      • Tiếng Anh - Explore Our World
      • Tiếng Anh - Phonics Smart
      • SBT Tiếng Anh - Global Success
      • SBT Tiếng Anh - Family and Friends
      • SBT Tiếng Anh - iLearn Smart Start
      • >> Xem thêm
    • Tin học 3
      • SGK Tin học - Kết nối tri thức
      • SGK Tin học - Chân trời sáng tạo
      • SGK Tin học - Cánh diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 3
      • SGK Hoạt động trải nghiệm- Kết nối tri thức
      • SGK Hoạt động trải nghiệm- Chân trời sáng tạo
      • SGK Hoạt động trải nghiệm - Cánh diều
    • Tự nhiên và xã hội 3
      • Tự nhiên và xã hội - Kết nối tri thức
      • Tự nhiên và xã hội - Chân trời sáng tạo
      • Tự nhiên và xã hội - Cánh diều
    • Âm nhạc 3
      • Âm nhạc - Kết nối tri thức
      • Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
      • Âm nhạc - Cánh diều
    • Đạo đức 3
      • SGK Đạo đức - Kết nối tri thức
      • SGK Đạo đức - Chân trời sáng tạo
      • SGK Đạo đức - Cánh diều
  • Lớp 2
    • Toán học 2
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • SGK Toán - Cánh Diều
      • VBT Toán - KNTT
      • VBT Toán - CTST
      • Trắc nghiệm Toán - Kết nối tri thức
      • Trắc nghiệm Toán - Chân trời sáng tạo
      • Trắc nghiệm Toán - Cánh Diều
      • >> Xem thêm
    • Tiếng việt 2
      • Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • Tiếng Việt - Cánh Diều
      • Văn mẫu - Kết nối tri thức
      • Văn mẫu - Chân trời sáng tạo
      • Văn mẫu - Cánh diều
      • VBT Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • VBT Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • >> Xem thêm
    • Tiếng Anh 2
      • Tiếng Anh - Kết nối tri thức
      • Tiếng Anh - Family and Friends
      • Tiếng Anh - iLearn Smart Start
      • Tiếng Anh - Phonics Smart
      • Tiếng Anh - English Discovery
      • Tiếng Anh - Explore Our World
      • Family & Friends Special
      • SBT Kết nối tri thức
      • >> Xem thêm
    • Tự nhiên và xã hội 2
      • Tự nhiên và xã hội - Kết nối tri thức
      • Tự nhiên và xã hội - Chân trời sáng tạo
      • Tự nhiên và xã hội - Cánh diều
      • VBT Tự nhiên và xã hội - Kết nối tri thức
      • VBT Tự nhiên và xã hội - Cánh diều
      • VBT Tự nhiên và xã hội - Chân trời sáng tạo
    • Đạo đức 2
      • SGK Đạo đức - Kết nối tri thức
      • SGK Đạo đức - Chân trời sáng tạo
      • SGK Đạo đức - Cánh Diều
      • VBT Đạo đức - Kết nối tri thức
      • VBT Đạo đức - Chân trời sáng tạo
      • VBT Đạo đức - Cánh Diều
    • Âm nhạc 2
      • Âm nhạc 2 - Kết nối tri thức
      • Âm nhạc 2 - Chân trời sáng tạo
      • Âm nhạc 2 - Cánh diều
      • VBT Âm nhạc - Kết nối tri thức
      • VBT Âm nhạc - Chân trời sáng tạo
      • VBT Âm nhạc - Cánh diều
    • Mỹ thuật 2
      • Mĩ thuật- Kết nối tri thức
      • Mĩ thuật- Chân trời sáng tạo
      • Mĩ thuật - Cánh Diều
    • HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 2
      • VBT Hoạt động trải nghiệm - Chân trời sáng tạo
      • VTH Hoạt động trải nghiệm - Cánh Diều
      • VBT Hoạt động trải nghiệm - Kết nối tri thức
  • Lớp 1
    • Tiếng việt 1
      • Đề thi, kiểm tra Tiếng Việt
      • SGK Tiếng Việt - Kết nối tri thức
      • SGK Tiếng Việt - Chân trời sáng tạo
      • SGK Tiếng Việt - Cánh diều
    • Toán học 1
      • SGK Toán - Kết nối tri thức
      • SGK Toán - Cánh diều
      • SGK Toán - Chân trời sáng tạo
      • Trắc nghiệm Toán
    • Tiếng Anh 1
      • Chứng chỉ Cambridge Pre A1 Starters
    • Truyện cổ tích 1
      • Truyện cổ tích
    • Tự nhiên và xã hội 1
      • Tự nhiên & xã hội
      • VBT Tự nhiên & xã hội
    • Đạo đức 1
      • VBT Đạo Đức
  • Công cụ
    • Ngữ văn
      • Từ đồng nghĩa, trái nghĩa
      • Thành ngữ Việt Nam
      • Ca dao, tục ngữ
      • Chính tả tiếng Việt
      • Từ láy
    • Tiếng Anh
      • Động từ bất quy tắc
      • Cụm động từ (Phrasal verbs)
  • PHẦN GIẢI TÍCH
    • Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
      • 100 bài tập sự đồng biến nghịch biến của hàm số
      • 100 bài tập cực trị của hàm số
      • 100 bài tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
      • 100 bài tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số
      • 150 bài tập khảo sát hàm số
    • Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân
      • 100 bài tập trắc nghiệm nguyên hàm
      • 200 bài tập trắc nghiệm tích phân
      • 100 bài tập trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong hình học
    • Chương 4: Số phức
      • 100 bài tập số phức
      • 100 bài tập các phép toán với số phức
      • 100 bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực
  • PHẦN HÌNH HỌC
    • Chương 1: Khối đa diện
      • 100 bài tập trắc nghiệm khái niệm về khối đa diện
      • 100 bài tập trắc nghiệm khối đa diện lồi và khối đa diện đều
      • 150 bài tập trắc nghiệm thể tích khối đa diện
    • Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
      • 200 bài tập mặt nón
      • 200 bài tập mặt trụ
      • 250 bài tập mặt cầu
    • Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
      • 200 bài tập hệ tọa độ trong không gian
      • 150 bài tập phương trình mặt cầu
      • 150 bài tập phương trình mặt phẳng
      • 150 bài tập phương trình đường thẳng trong không gian
Trắc nghiệm Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết

40 bài tập quỹ tích số phức mức độ vận dụng

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| \le 1\):

  • A Hình tròn tâm \(I\left( {0;\,\,1} \right),\) bán kính \(R = 2.\)      
  • B Hình tròn tâm \(I\left( {0;\, - 1} \right),\) bán kính \(R = 1.\)
  • C Hình tròn tâm \(I\left( {1;\,\,0} \right),\) bán kính \(R = 1.\)
  • D Hình tròn tâm \(I\left( {0;\,\,1} \right),\) bán kính \(R = 1.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z = x - yi\,\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\)

Biến đổi biểu thức \(\left| {z - i} \right| \le 1\) để tìm quỹ tích của số phức bài cho.

Lời giải chi tiết:

Gọi số phức \(z = x - yi\,\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\)

Ta có: \(\left| {z - i} \right| \le 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {x + yi - i} \right| \le 1\\ \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| \le 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \le 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Quỹ tích của số phức \(z\) thỏa mãn bài cho là hình tròn tâm \(I\left( {0;\,\,1} \right),\) bán kính \(R = 1.\)

Chọn D. 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn \({z^2} = {\left| z \right|^2}\) là:

  • A \(\mathbb{R}\)      
  • B \(\mathbb{Z}\)      
  • C \(\mathbb{C}\)
  • D \(\mathbb{Q}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp lấy môđun hai vế.

- Áp dụng công thức \(\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\), theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} - {b^2} + 2abi = {a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow 2{b^2} = 2abi\\ \Leftrightarrow 2b\left( {b - ai} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2b = 0\\b - ai = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\a = b = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập hợp các số phức thỏa mãn yêu câu bài toán là các số phức có phần ảo bằng \(0\) và số \(0\), chính là tập \(\mathbb{R}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z thỏa mãn\(\left| {z + 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\) là

  • A Đường tròn tâm O bán kính \(R = 1.\)
  • B Đường tròn đường kính AB với \(A\left( { - 1; - 3} \right)\)và \(B\left( {2;1} \right).\)
  • C Đường thẳng vuông góc với đoạn AB với \(A\left( { - 1; - 3} \right),\,\,B\left( {2;1} \right).\)
  • D Đường trung trực của đoạn thẳng AB với \(A\left( { - 1; - 3} \right)\)và \(B\left( {2;1} \right).\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Đặt \(z = a + bi\). Áp dụng công thức tính môđun số phức: \(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

- Biến đổi rút ra mối quan hệ giữa \(a,\,\,b\) và suy ra quỹ tích các điểm biểu diễn số phức \(z\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right).\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z + 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + bi + 1 + 3i} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 + {b^2} + 6b + 9 = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 6a + 8b + 5 = 0\end{array}\)

Suy ra tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(6x + 8y + 5 = 0\).

Dựa vào các đáp án ta có: Với \(A\left( { - 1; - 3} \right),\,\,B\left( {2;1} \right)\) \( \Rightarrow \) trung điểm của đoạn \(AB\)  là \(I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\).

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;4} \right)\) là 1 VTPT của đường trung trực của AB.

Suy ra phương trình đường trung trực của AB là:

\(3\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) + 4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + \dfrac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow 6x + 8y + 5 = 0\).

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức \(z\) là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \left| {2 - 3i - z} \right|\) là

  • A Đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 4.\)
  • B Đường thẳng có phương trình \(x + 2y + 1 = 0.\)
  • C Đường thẳng có phương trình \(x - 2y - 3 = 0.\)
  • D Đường elip có phương trình \({x^2} + 4{y^2} = 4.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Gọi \(z = x + yi\) .

- Thay vào giả thiết, biến đổi và suy ra phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\).

- Sử dụng công thức tính môđun số phức: \(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = x + yi\), theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {z - i} \right| = \left| {2 - 3i - z} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - i} \right| = \left| {2 - 3i - x - yi} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {2 - x} \right) - \left( {3 + y} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {2 - x} \right)^2} + {\left( {3 + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} - 4x + 4 + {y^2} + 6y + 9\\ \Leftrightarrow 4x - 8y - 12 = 0\\ \Leftrightarrow x - 2y - 3 = 0\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \left| {2 - 3i - z} \right|\) làđường thẳng có phương trình \(x - 2y - 3 = 0.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 2z + 2 = 0\). Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức \(w\) thỏa mãn \(\left| {w - {z_1}} \right| = \left| {w - {z_2}} \right|\) là đường thẳng có phương trình

  • A \(x - y = 0\)
  • B \(x = 0\)
  • C \(x + y = 0\)
  • D \(y = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Giải phương trình bậc hai tìm hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) .

- Đặt \(w = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\), thay vào giả thiết tìm mối quan hệ giữa \(x,\,\,y\).

- Sử dụng công thức tính môđun số phức: \(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z^2} - 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + i\\{z_2} = 1 - i\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có: \(\left| {w - {z_1}} \right| = \left| {w - {z_2}} \right| \Leftrightarrow \left| {w - 1 - i} \right| = \left| {w - 1 + i} \right|\).

Đặt \(w = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {x + yi - 1 - i} \right| = \left| {x + yi - 1 + i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {y^2} - 2y + 1 = {y^2} + 2y + 1\\ \Leftrightarrow y = 0\end{array}\) 

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức \(w\) là đường thẳng có phương trình \(y = 0\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1 - 2i} \right| = 2\), giá trị lớn nhất của \(\left| {z + 2 - i} \right|\) bằng:

  • A \( - 2 + \sqrt 2 \)
  • B \(2 - \sqrt 2 \)
  • C \(\sqrt 2 \)
  • D \(2 + \sqrt 2 \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Xác định quỹ tích các điểm biểu diễn số phức \(z\).

- Gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(z\), \(N\left( { - 2;1} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \( - 2 + i\), khi đó ta có \(\left| {z + 2 - i} \right| = MN\).

- Dựa vào hình vẽ xác định vị trí của điểm \(M\) để \(M{N_{\max }}\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1 - 2i} \right| = 2\) nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(z\), \(N\left( { - 2;1} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \( - 2 + i\), khi đó ta có \(\left| {z + 2 - i} \right| = MN\).

Khi đó ta có \(MN\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(MN = IN + R = 2 + \sqrt 2 \).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 2} \right| = \left| {\overline z  + i} \right|\) là đường thẳng:

  • A \(4x + 2y - 3 = 0\)
  • B \(4x + 2y + 3 = 0\)
  • C \(4x - 2y - 3 = 0\)
  • D \(4x - 2y + 3 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\)\( \Rightarrow \overline z  = x - yi.\)

Modul của số phức \(z\) là:\(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)

Điểm \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\)\( \Rightarrow \overline z  = x - yi.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {z - 2} \right| = \left| {\overline z  + i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 2} \right| = \left| {x - yi + i} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4 - 4x = 1 - 2y\\ \Leftrightarrow 4x - 2y - 3 = 0\end{array}\)  

\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) đã cho là đường thẳng có phương trình \(4x - 2y - 3 = 0.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B là điểm biểu diễn cho các số phức z và \({\rm{w}} = \left( {1 + i} \right)z\). Biết tam giác OAB có diện tích bằng 8. Mô đun của số phức \({\rm{w}} - z\) bằng

  • A \(2\)
  • B \(2\sqrt 2 \)
  • C \(4\sqrt 2 \)
  • D \(4\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tìm điểm biểu diễn của các số phức.

- Dựa vào diện tích tam giác để xác định các số phức.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow {\rm{w}} = \left( {1 + i} \right)\left( {a + bi} \right) = a - b + \left( {a + b} \right)i\)

Khi đó \(A\left( {a;b} \right);B\left( {a - b;a + b} \right)\)

Số phức \(z' = {\rm{w}} - z =  - b + ai\)

Ta có \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}  = \sqrt 2 .\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)\( \Rightarrow OA = \sqrt 2 .OB\)

Mà \(\left| {z'} \right| = AB = OA\)

Tam giác OAB có \(OA = AB;OB = \sqrt 2 OA\) nên tam giác vuông cân tại A.

\( \Rightarrow {S_{OAB}} = \dfrac{{A{B^2}}}{2} = 8 \Rightarrow AB = 4 \Rightarrow \left| {{\rm{w}} - z} \right| = 4\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Xét các số phức z thỏa mãn \(\left( {z + 4i} \right)\left( {\overline z  + 6} \right)\) là số thuần ảo. biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là 

  • A \(\left( {3;2} \right)\)
  • B \(\left( { - 3;2} \right)\)
  • C \(\left( {3; - 2} \right)\)
  • D \(\left( { - 3; - 2} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đặt \(z = a + bi\) rồi thay vào biểu thức đề bài để lập luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\)\( \Rightarrow \overline z  = a - bi\)

Khi đó \(\left( {z + 4i} \right)\left( {\overline z  + 6} \right) = \left( {a + \left( {b + 4} \right)i} \right)\left( {a + 6 - bi} \right) = a\left( {a + 6} \right) + b\left( {b + 4} \right) + \left[ {\left( {a + 6} \right)\left( {b + 4} \right) - ab} \right]i\)

Là số thuần ảo nên \(a\left( {a + 6} \right) + b\left( {b + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = 13\)

Suy ra điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm \(I\left( { - 3; - 2} \right)\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Gọi z là số phức có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 8i} \right| = \sqrt {17} \). Biết \(z = a + bi\) với\(a,\,\,b \in \mathbb{R}\), tính \(m = 2{a^2} - 3b.\)

  • A \(m = 14.\)
  • B \(m =  - 18.\)
  • C \(m =  - 10.\)
  • D \(m = 54.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.

- Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức z.

- Khi đó: \({\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }}\).

Lời giải chi tiết:

Vì  \(\left| {z - 2 - 8i} \right| = \sqrt {17} \)nên tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn (C) tâm \(I\left( {2;8} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {17} .\)

Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó ta có \(\left| z \right| = OM\).

Do đó \({\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }} \Rightarrow M\) là giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (C).

Ta có đường thẳng OI có dạng \(y = 4x\)

M là giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (C) nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {4x - 8} \right)^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\17{\left( {x - 2} \right)^2} = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3,\,\,y = 12\\x = 1,\,\,y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {3;12} \right)\\M\left( {1;4} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với M(3;12) thì \(OM = \sqrt {{3^2} + {{12}^2}}  = 3\sqrt {17} \).

Với M(1;4) thì \(OM = \sqrt {{1^2} + {4^2}}  = \sqrt {17} \).

Vậy \(O{M_{\min }} = \sqrt {17}  \Leftrightarrow a = 1,\,\,b = 4\) \( \Rightarrow m = 2{a^2} - 3b =  - 10.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thảo mãn \(\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z  + 2i} \right|\) là đường thẳng nào?

  • A \(4x + 2y - 1 = 0\)   
  • B \(4x - 2y + 1 = 0\)
  • C \(4x - 2y - 1 = 0\)
  • D \(4x - 6y - 1 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\).

- Thay vào biểu thức đề bài cho và suy ra biểu thức biểu diễn mối liên hệ giữa \(x,\,\,y\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z  + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - 2 - i} \right| = \left| {x - yi + 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y - 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} + {y^2} - 4y + 4\\ \Leftrightarrow 4x - 2y - 1 = 0\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thảo mãn \(\left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\overline z  + 2i} \right|\) là đường thẳng \(4x - 2y - 1 = 0\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho các số phức \({z_1} = 1 + 3i\), \({z_2} =  - 5 - 3i\). Tìm điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \({z_3}\), biết rằng trong mặt phẳng phức điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(x - 2y + 1 = 0\) và môđun của số phức \(w = 3{z_3} - {z_2} - 2{z_1}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

  • A \(M\left( { - \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5}} \right)\)
  • B \(M\left( {\dfrac{3}{5}; - \dfrac{1}{5}} \right)\)
  • C \(M\left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5}} \right)\)
  • D \(M\left( { - \dfrac{3}{5}; - \dfrac{1}{5}} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Gọi \(M\left( {2a - 1;a} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - 2y + 1 = 0\) \( \Rightarrow \) Số phức \({z_3}\).

- Tính \(w\) và tính \(\left| w \right|\).

- Đưa biểu thức về dạng bình phương và tìm GTNN.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {2a - 1;a} \right)\) thuộc đường thẳng \(x - 2y + 1 = 0\) \( \Rightarrow {z_3} = 2a - 1 + ai\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}w = 3{z_3} - {z_2} - 2{z_1}\\w = 3\left( {2a - 1 + ai} \right) - \left( { - 5 - 3i} \right) - 2\left( {1 + 3i} \right)\\w = \left( {6a - 3 + 5 - 2} \right) + \left( {3a + 3 - 6} \right)i\\w = 6a + \left( {3a - 3} \right)i\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {6a} \right)}^2} + {{\left( {3a - 3} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45{a^2} - 18a + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45\left( {{a^2} - \dfrac{2}{5}a} \right) + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45\left( {{a^2} - 2.a.\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{25}}} \right) - \dfrac{9}{5} + 9} \\\,\,\,\,\,\,\left| w \right| = \sqrt {45{{\left( {a - \dfrac{1}{5}} \right)}^2} + \dfrac{{36}}{5}} \\ \Rightarrow \left| w \right| \ge \sqrt {\dfrac{{36}}{5}}  = \dfrac{6}{{\sqrt 5 }}\\ \Rightarrow {\left| w \right|_{\min }} = \dfrac{6}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{5}\end{array}\)

Vậy \({\left| w \right|_{\min }} \Leftrightarrow M\left( { - \dfrac{3}{5};\dfrac{1}{5}} \right)\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho số phức \(z\)  thỏa mãn \(\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z  - 2i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất \(\left| z \right|\) là:

  • A \(\sqrt 2 \)
  • B \(2\sqrt 2 \)
  • C \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
  • D \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\).

- Thay vào giả thiết, tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức \(z\) là 1 đường thẳng \(d\).

- Khi đó \(\left| z \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \left| z \right| = d\left( {O;d} \right)\).

- Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:\,\,ax + by + c = 0\) là \(d\left( {M;d} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z  - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi + i - 1} \right| = \left| {x - yi - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y + 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1 = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\ \Leftrightarrow 2x + 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\end{array}\)

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(\left( d \right):\,\,x + y + 1 = 0\).

Khi đó \(\left| z \right| = OM\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow OM = d\left( {O;d} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z  - 2i} \right|\) là:

  • A

    Một đường thẳng.

     
  • B Một đường tròn.
  • C Một Parabol.
  • D Một Elip.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\).

- Thay \(z,\,\,\overline z \) vào phương trình đề bài cho.

- Sử dụng công thức \(\left| {a + bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

- Bình phương hai vế, tìm mối quan hệ giữa \(x,\,\,y\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\). Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z  - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi + i - 1} \right| = \left| {x - yi - 2z} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 1 + \left( {y + 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y + 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1 = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\ \Leftrightarrow 2x + 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng có phương trình \(x + y + 1 = 0\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Xét số phức thỏa \(\left| z \right| = 3\). Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w = \overline z  + i\) là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm của đường tròn đó.

  • A \(\left( {0;1} \right)\)
  • B \(\left( {0; - 1} \right)\)
  • C \(\left( { - 1;0} \right)\)
  • D \(\left( {1;0} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất: \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\).

- Rút \(\overline z \) từ giả thiết, đưa phương trình về dạng \(\left| {w - \left( {a + bi} \right)} \right| = R\). Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w\) là một đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số phức \(a + bi\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left| z \right| = 3\) nên \(\left| {\overline z } \right| = 3\). Mà \(w = \overline z  + i \Rightarrow \overline z  = w - i\).

Khi đó ta có: \(\left| {w - i} \right| = 3\).

Vậy tập tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w = \overline z  + i\) là một đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số phức \(i\), chính là điểm \(\left( {0;1} \right)\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1 - 2i} \right| = \left| {\overline z  - 2 + i} \right|\) là một đường thẳng có phương trình:

  • A \(3x - y = 0\).
  • B \(x + y = 0\).
  • C \(x - y = 0\).
  • D \(x + 3y = 0\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Gọi \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\). Thay vào biểu thức đã cho rồi suy ra đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\)

Ta có \(\left| {z + 1 - 2i} \right| = \left| {\overline z  - 2 + i} \right|\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {a + 1 + \left( {b - 2} \right)i} \right| = \left| {a - 2 - \left( {b - 1} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 + {b^2} - 4b + 4 = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 6a - 2b = 0 \Leftrightarrow 3a - b = 0\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(3x - y = 0\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Gọi \(M\) là điểm biểu diễn cho số phức \({z_1} = a + \left( {{a^2} - 2a + 2} \right)i\) (với \(a\) là số thực thay đổi) và \(N\) là điểm biểu diễn số phức \({z_2}\) biết \(\left| {{z_2} - 2 - i} \right| = \left| {{z_2} - 6 + i} \right|\). Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn \(MN\).

  • A \(\dfrac{{6\sqrt 5 }}{5}.\)
  • B \(2\sqrt 5 .\)
  • C \(1\)
  • D \(5\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ điểm \(M\).

- Tìm quỹ tích điểm \(N\) là một đường thẳng \(d\), xác định phương trình đường thẳng.

- Khi đó \(M{N_{\min }} \Leftrightarrow MN = d\left( {M;d} \right)\).

- Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:\,\,ax + by + c = 0\) là \(d\left( {M;d} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(M\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1} = a + \left( {{a^2} - 2a + 2} \right)i\)  \( \Rightarrow M\left( {a;{a^2} - 2a + 2} \right)\).

Gọi \(N\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \({z_2}\) \( \Rightarrow {z_2} = x + yi.\)

\(\begin{array}{l}\left| {x + yi - 2 - i} \right| = \left| {x + yi - 6 + i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} - 12x + 36 + {y^2} + 2y + 1\\ \Leftrightarrow 8x - 4y - 32 = 0\\ \Leftrightarrow 2x - y - 8 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({z_2}\) là đường thẳng \(d:\,\,2x - y - 8 = 0\).

Khi đó \(M{N_{\min }} = d\left( {M;\left( d \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2a - \left( {{a^2} - 2a + 2} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\left| {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + 6} \right|}}{{\sqrt 5 }} \ge \dfrac{{6\sqrt 5 }}{5}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Xét các số phức z thoả mãn \(\left| {z + 1 - 2i} \right| = \sqrt 2 \), giá trị lớn nhất của \({\left| {z + 1} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}\) là:

  • A \(5\).
  • B \(4\).
  • C \(10\).
  • D \(6\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp hình học xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\).

- Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - \left( {a + bi} \right)} \right| = R\) là đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R\).

- Gọi \(M,\,\,A,\,\,B\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \(z,\,\, - 1,\,\,i\). Xác định tọa độ các điểm \(M,\,\,A,\,\,B\). Đưa biểu thức \({\left| {z + 1} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}\)về biểu thức trong hình học (\(M{A^2} - M{B^2}\)).

- Xác định yếu tố cố định, yếu tố thay đổi, từ đó tìm GTLN.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z\) trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).

Ta có : \(\left| {z + 1 - 2i} \right| = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left| {z - \left( { - 1 + 2i} \right)} \right| = \sqrt 2 .\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \).

Gọi \(A\left( { - 1;0} \right),\,B\left( {0;1} \right)\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \({z_1} =  - 1,\,\,{z_2} = i\).

Ta có: \(T = {\left| {\left( {x + 1} \right) + yi} \right|^2} - {\left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right|^2} = M{A^2} - M{B^2}.\)

  \(\begin{array}{l} = {\overrightarrow {MA} ^2} - {\overrightarrow {MB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = M{I^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2} - M{I^2} - 2.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  - I{B^2}\\ = {2^2} - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IB} } \right)\\ = 2 + 2.\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {AB} \\ = 2 + 2.MI.AB.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {MI} ;\overrightarrow {BA} } \right)\\ \le 2 + 2MI.AB\end{array}\) 

Ta có: \(M \in \left( {I;\sqrt 2 } \right) \Rightarrow MI = \sqrt 2 \), \(AB = \sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow T \le 2 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 2  = 6\).

Vậy \({T_{{\rm{max}}}} = 6\) khi và chỉ khi \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {MI} ;\overrightarrow {BA} } \right) = 1\) hay hai vectơ \(\overrightarrow {MI} ,\,\,\overrightarrow {BA} \) cùng hướng.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|\; = 4\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w = \left( {3 + 4i} \right)z + i\) là một đường tròn. Tính bán kính \(r\) của đường tròn đó.

  • A \(r = 4\)                     
  • B \(r = 5\)                        
  • C \(r = 20\)                
  • D \(r = 22\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Từ giả thiết \(w = \left( {3 + 4i} \right)z + i\) rút \(z\) theo \(w\).

- Thế vào giả thiết \(\left| z \right|\; = 4\), sử dụng công thức \(\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}\).

- Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) thỏa mãn \(\left| {w - \left( {a + bi} \right)} \right| = R\) là đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bám kính \(R\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(w = \left( {3 + 4i} \right)z + i \Leftrightarrow \left( {3 + 4i} \right)z = w - i\)\( \Leftrightarrow z = \frac{{w - i}}{{3 + 4i}}\).

Theo bài ra ta có:

 \(\begin{array}{l}\left| z \right|\; = 4 \Leftrightarrow \left| {\frac{{w - i}}{{3 + 4i}}} \right| = 4 \Leftrightarrow \frac{{\left| {w - i} \right|}}{{\left| {3 + 4i} \right|}} = 4\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {w - i} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 4 \Leftrightarrow \left| {w - i} \right| = 20\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn tâm \(I\left( {0;1} \right)\), bán kính \(r = 20\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 5 .\) Tập hợp các điểm biễu diễn số phức \(w = \left( {1 - 2i} \right)z - 2 + 3i\) là một đường tròn có bán kính bằng

  • A \(\sqrt 5 \)
  • B 25
  • C 5
  • D 1

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\sqrt 2 \). Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của số phức \(w = \dfrac{{z + 1 - i}}{{iz + 3}}\) là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó bằng

  • A \(2\sqrt {10} \)                        
  • B \(3\sqrt 5 \)                             
  • C  \(2\sqrt 2 \)                            
  • D  \(2\sqrt 7 \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Rút \(z\) theo \(w\) từ đẳng thức bài cho. Đặt \(w = a + bi\).

- Thay vào điểu kiện \(\left| z \right| = 2\sqrt 2 \) suy ra tập hợp điểm biểu diễn \(w\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(w = \dfrac{{z + 1 - i}}{{iz + 3}} \Leftrightarrow z + 1 - i = wiz + 3w \Leftrightarrow z\left( {1 - iw} \right) = 3w + i - 1 \Leftrightarrow z = \dfrac{{3w + i - 1}}{{1 - iw}}\) 

Đặt \(w = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thì \(z = \dfrac{{3\left( {a + bi} \right) + i - 1}}{{1 - i\left( {a + bi} \right)}} = \dfrac{{3a - 1 + \left( {3b + 1} \right)i}}{{1 + b - ai}}\)

Mà

\(\begin{array}{l}\left| z \right| = 2\sqrt 2  \Rightarrow \left| {\dfrac{{3a - 1 + \left( {3b + 1} \right)i}}{{1 + b - ai}}} \right| = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3a - 1 + \left( {3b + 1} \right)i} \right|}}{{\left| {1 + b - ai} \right|}} = 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3a - 1} \right)}^2} + {{\left( {3b + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {\left( {1 + {b^2}} \right) + {a^2}} .2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 9{a^2} - 6a + 1 + 9{b^2} + 6b + 1 = 8\left( {{a^2} + {b^2} + 2b + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 6a - 10b - 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 5} \right)^2} = 40\end{array}\)

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn tâm \(I\left( {3;5} \right)\) bán kính \(R = 2\sqrt {10} \).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Xét các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left( {z + 1 - i} \right)\left( {\overline z  - i} \right)\) là số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn hình học của \(z\) là một đường thẳng. Hệ số góc của đường thẳng đó là

  • A \( - 1\).
  • B \(1\).
  • C \( - 2\).
  • D \(2\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {z + 1 - i} \right)\left( {\overline z  - i} \right) = \left( {a + bi + 1 - i} \right)\left( {a - bi - i} \right)\\ = \left[ {\left( {a + 1} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right]\left[ {a - \left( {b + 1} \right)i} \right]\\ = a\left( {a + 1} \right) + \left( {{b^2} - 1} \right) + \left[ {a\left( {b - 1} \right) - \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} \right]i\end{array}\)

là số thực \( \Rightarrow a\left( {b - 1} \right) - \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow ab - a - ab - a - b - 1 = 0 \Leftrightarrow 2a + b + 1 = 0\).

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn hình học của \(z\) là đường thẳng \(2x + y + 1 = 0 \Leftrightarrow y =  -2 x - 1\) có hệ số góc \(k =  - 2\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho số phức \(z = \left( {m + 3} \right) + \left( {{m^2} - m - 6} \right)i\) với \(m \in \mathbb{R}.\) Gọi \(\left( P \right)\) là tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục hoành bằng

  • A \(\dfrac{{125}}{6}\)
  • B \(\dfrac{{17}}{6}\)
  • C \(1\)
  • D \(\dfrac{{55}}{6}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\)

+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và đường thẳng \(x = a;\,\,x = b\) là \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z = \left( {m + 3} \right) + \left( {{m^2} - m - 6} \right)i\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}x = m + 3\\y = {m^2} - m - 6\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = x - 3\\y = {\left( {x - 3} \right)^2} - \left( {x - 3} \right) - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = x - 3\\y = {x^2} - 7x + 6\end{array} \right.\).

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 7x + 6\)

Hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) với trục hoành là \({x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục hoành bằng

\(S = \int\limits_1^6 {\left| {{x^2} - 7x + 6} \right|dx}  = \left| {\int\limits_1^6 {\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)dx} } \right| = \dfrac{{125}}{6}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {z + 1 - 3i} \right)\left( {\overline z  + 1 + 3i} \right) = 25.\) Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính c. Tổng \(a + b + c\) bằng

  • A 7.
  • B 3.
  • C 9.

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Xét các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left( {z + 1 - i} \right)\left( {\overline z  - i} \right)\) là số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn hình học của \(z\) là một đường thẳng. Hệ số góc của đường thẳng đó là

  • A \( - 1\).     
  • B \(1\).
  • C \( - 2\).     
  • D \(2\).

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Cho số phức \(z\) có phần thực bằng \(\sqrt 2 \). Giá trị lớn nhất của \(\left| {\dfrac{1}{z} - i} \right|\) bằng

  • A \(\sqrt 2 \).      
  • B \(1\).
  • C \(1 + \sqrt 2 \).
  • D \(2\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {\overline z  + i} \right)\left( {z + 2} \right)\) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức \(z\) là một đường tròn có bán kính bằng

  • A \(1\)
  • B \(\dfrac{5}{4}\)    
  • C \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)
  • D \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\overline z  + 2 - i} \right| = 4\) là đường tròn có tâm \(I\) và bán kính \(R\) lần lượt là

  • A \(I\left( {2; - 1} \right);R = 2\)  
  • B \(I\left( { - 2; - 1} \right);R = 4\)
  • C \(I\left( { - 2; - 1} \right);R = 2\)
  • D \(I\left( {2; - 1} \right);R = 4\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Xét các số phức \(z\)thoả mãn \(\left| z \right| = \sqrt 2 \). Trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(w = \dfrac{{5 + iz}}{{1 + z}}\) là một đường tròn có bán kính bằng

  • A \(52\)
  • B \(2\sqrt {13} \)
  • C \(2\sqrt {11} \)
  • D \(44\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Cô lập \(z\), thay vào điều kiện \(\left| z \right| = \sqrt 2 \).

+) Đặt \(w = x + yi\), tìm mối liên hệ giữa \(x;\,\,y\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(w = \dfrac{{5 + iz}}{{1 + z}} \Leftrightarrow w\left( {1 + z} \right) = 5 + iz \Leftrightarrow w + wz = 5 + iz \Leftrightarrow z\left( {w - i} \right) = 5 - w\).

Nếu \(w = i \Leftrightarrow 0.z = 5 - i \Leftrightarrow 0 = 5 - i\) (vô lý) \( \Rightarrow w \ne i\)\( \Rightarrow z = \dfrac{{5 - w}}{{w - i}}\).

Theo bài ra ta có:

\(\left| z \right| = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{5 - w}}{{w - i}}} \right| = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left| {5 - w} \right| = \sqrt 2 \left| {w - i} \right|\).

Đặt \(w = x + yi\) ta có: \(\left| {5 - x - yi} \right| = \sqrt 2 \left| {x + yi - i} \right|\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {5 - x} \right)^2} + {y^2} = 2\left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 25 + {y^2} = 2{x^2} + 2{y^2} - 4y + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 10x - 4y - 23 = 0\end{array}\)  

Ta có \({a^2} + {b^2} - c = {5^2} + {2^2} + 23 = 52 > 0 \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là một đường tròn có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  = \sqrt {52}  = 2\sqrt {13} \).

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = \sqrt 2 \). Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w = \dfrac{{2 + iz}}{{1 + z}}\) là một đường tròn có bán kính bằng

  • A \(10\)
  • B \(\sqrt 2 \)
  • C \(2\)
  • D \(\sqrt {10} \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Rút \(z\) theo \(w\) rồi lấy mô đun hai vế, từ đó suy ra tập hợp điểm biểu diễn \(w\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(w = \dfrac{{2 + iz}}{{1 + z}} \Leftrightarrow 2 + iz = w\left( {1 + z} \right) \Leftrightarrow 2 - w = \left( {w - i} \right)z \Leftrightarrow z = \dfrac{{2 - w}}{{w - i}}\)

Mà \(\left| z \right| = \sqrt 2  \Rightarrow \left| {\dfrac{{2 - w}}{{w - i}}} \right| = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left| {2 - w} \right| = \sqrt 2 \left| {w - i} \right|\).

Đặt \(w = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thì \(\left| {2 - w} \right| = \sqrt 2 \left| {w - i} \right| \Leftrightarrow \left| {2 - \left( {a + bi} \right)} \right| = \sqrt 2 \left| {a + bi - i} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| {2 - a - bi} \right| = \sqrt 2 \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right|\) \( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2 - a} \right)}^2} + {b^2}}  = \sqrt 2 .\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + {b^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2} - 2b + 1} \right)\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 4a - 4b - 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 10\).

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn \(w\) là đường tròn tâm \(\left( { - 2;2} \right)\) bán kính \(\sqrt {10} \).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {2z - i} \right| = 2\left| {\overline z  + 1 + i} \right|\) là đường thẳng

  • A \(8x + 12y + 7 = 0\)
  • B \(8x - 12y + 7 = 0\)
  • C \(8x - 4y + 7 = 0\)
  • D \(8x + 4y + 7 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi \(z = x + yi\left( {x;y \in R} \right)\). Khi đó \(\overline z  = x - yi;\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(z = x + yi\left( {x;y \in R} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {2z - i} \right| = 2\left| {\overline z  + 1 + i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2\left( {x + yi} \right) - i} \right| = 2\left| {x - yi + 1 + i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2x + \left( {2y - 1} \right)i} \right| = 2\left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {1 - y} \right)i} \right|\\ \Rightarrow 4{x^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} = 4{\left( {x + 1} \right)^2} + 4{\left( {1 - y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - 4y + 1 = 8x + 4 - 8y + 4\\ \Leftrightarrow 8x - 4y + 7 = 0\end{array}\)

Vậy tập hợp điểm cần tìm là đường thẳng: \(8x - 4y + 7 = 0\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\dfrac{z}{{z - 1}}\) là số thuần ảo là:

  • A Đường tròn tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\,\,0} \right)\) bán kính \(\dfrac{1}{4}.\)
  • B Đường tròn tâm \(I\left( { - \dfrac{1}{2};\,\,0} \right)\) bán kính \(\dfrac{1}{2}\) trừ điểm \(A\left( {1;\,\,0} \right).\)
  • C Đường tròn tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\,\,0} \right)\) bán kính \(\dfrac{1}{2}.\)
  • D Đường tròn tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\,\,0} \right)\) bán kính \(\dfrac{1}{2}\) trừ điểm \(A\left( {1;\,\,0} \right).\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Cho số phức \(z = x + yi\;\;\left( {x,\;y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow M\left( {x;\;y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi số phức \(z = x + yi\,\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{z}{{z - 1}} = \dfrac{{x + yi}}{{x + yi - 1}} = \dfrac{{x + yi}}{{\left( {x - 1} \right) + yi}}\\ = \dfrac{{\left( {x + yi} \right)\left[ {\left( {x - 1} \right) - yi} \right]}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {yi} \right)}^2}}} = \dfrac{{x\left( {x - 1} \right) + {y^2} + \left( { - xy + xy - y} \right)i}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} - x + {y^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}}} - \dfrac{{yi}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}}}.\end{array}\)

Theo đề bài ta có: \(\dfrac{z}{{z - 1}}\) là số thuần ảo

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + {y^2} = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + {y^2} - \dfrac{1}{4} = 0\\x - 1 \ne 0\\y \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} = \dfrac{1}{4}\\x \ne 1\\y \ne 0\end{array} \right.\)     

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầy bài toán là đường tròn tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\,\,0} \right)\) bán kính \(\dfrac{1}{2}\) trừ điểm \(A\left( {1;\,\,0} \right).\)                   

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Với số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 + i} \right| = \left| {{z_1} + 3 - i} \right|\) và \(\left| {{z_2} - 1 + 2i} \right| = 1\) thì giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) là:

  • A \(\dfrac{6}{{\sqrt 5 }} - 1\)
  • B \(\dfrac{2}{{\sqrt 5 }} + 1\)
  • C \(1 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)
  • D \(\dfrac{6}{{\sqrt 5 }} + 1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xác định quỹ tích các điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) sau đó tìm GTNN của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \({z_1} = {a_1} + {b_1}i\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {{a_1} + {b_1}i - 1 + i} \right| = \left| {{a_1} + {b_1}i + 3 - i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {{a_1} - 1} \right)^2} + {\left( {{b_1} + 1} \right)^2} = {\left( {{a_1} + 3} \right)^2} + {\left( {{b_1} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow a_1^2 - 2{a_1} + 1 + b_1^2 + 2{b_1} + 1 = a_1^2 + 6{a_1} + 9 + b_1^2 - 2{b_1} + 1\\ \Leftrightarrow 8{a_1} - 4{b_1} + 8 = 0\\ \Leftrightarrow 2{a_1} - {b_1} + 2 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \({z_1}\) là đường thẳng \(2x - y + 2 = 0\) \(\left( d \right)\).

\({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_2} - 1 + 2i} \right| = 1\) nên tập hợp các điểm \({z_2}\) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\), bán kính \(R = 1\).

Gọi \(A,\,\,B\) lần lượt các các điểm biểu diễn \({z_1},\,\,{z_2}\), khi đó \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} } \right| = AB\) với \(A \in \left( d \right)\), \(B \in \left( C \right)\).

Ta có \(d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 - \left( { - 2} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{6}{{\sqrt 5 }} > R\), do đó đường thẳng \(d\) không cắt \(\left( C \right)\).

Ta có: \(A{B_{\min }} = d\left( {I;d} \right) - R = \dfrac{6}{{\sqrt 5 }} - 1\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + 2i} \right| = \left| {z - 4} \right|\) là đường thẳng \(d\). Đường thẳng \(d\) cắt hai trục tọa độ lần lượt tại \(A,\,\,B\). Gọi \(C\) là điểm biểu diễn số phức \(z =  - 3i\). Diện tích tam giác \(ABC\) bằng:

  • A \(\dfrac{9}{4}\)
  • B \(\dfrac{{27}}{4}\)
  • C \(\dfrac{9}{2}\)
  • D \(\dfrac{{27}}{2}\)  

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Gọi \(z = x + yi\), thay vào giả thiết \(\left| {z + 2i} \right| = \left| {z - 4} \right|\) tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\).

- Xác định tọa độ các điểm \(A,\,\,B\) và \(C\).

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {A;BC} \right).BC\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(z = x + yi\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {x + yi + 2i} \right| = \left| {x + yi - 4} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4y + 4 = {x^2} - 8x + 16 + {y^2}\\ \Leftrightarrow 8x + 4y - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\end{array}\)

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(2x + y - 3 = 0\,\,\left( d \right)\).

Đường thẳng \(d\) cắt trục \(Ox\) tại \(A\left( {\dfrac{3}{2};0} \right)\), cắt trục \(Oy\) tại điểm \(B\left( {0;3} \right)\).

Điểm \(C\) là điểm biểu diễn số phức \(z =  - 3i\) nên \(C\left( {0; - 3} \right)\).

Ta có \(BC = \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}}  = 6\).

Do \(B,\,\,C \in Oy\) nên \(d\left( {A;BC} \right) = d\left( {A;Oy} \right) = \left| {{x_A}} \right| = \dfrac{3}{2}\).

Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {A;BC} \right).BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.6 = \dfrac{9}{2}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho \(z \in \mathbb{C},\,\,\left| {z - 2 + 3i} \right| = 5\). Biết rằng tập hợp biểu diễn số phức \(w = i\overline z  + 12 - i\) là một đường tròn có bán kính \(R\). Bán kính \(R\) là:

  • A \(2\sqrt 5 \)
  • B \(3\sqrt 5 \)
  • C \(5\)
  • D \(\sqrt 5 \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Rút \(\overline z \) theo \(w\).

- Sử dụng tính chất \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\).

- Thay \(\overline z \) theo \(w\) vào biểu thức, rút ra phương trình chứa ẩn \(w\)ở dạng \(\left| {w - \left( {a + bi} \right)} \right| = R\).

- Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn có tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(w = i\overline z  + 12 - i \Leftrightarrow \overline z  = \dfrac{{w - 12 + i}}{i}\).

Theo bài ra ta có: \(\left| {z - 2 + 3i} \right| = 5 \Rightarrow \left| {\overline {z - 2 + 3i} } \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left| {\overline z  + 2 - 3i} \right| = 5\,\,\left( * \right)\).

Thay \( \Leftrightarrow \overline z  = \dfrac{{w - 12 + i}}{i}\) vào (*) ta có:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{w - 12 + i}}{i} + 2 - 3i} \right| = 5\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{w - 12 + i + 2i + 3}}{i}} \right| = 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {w - 9 + 3i} \right|}}{{\left| i \right|}} = 5\\ \Leftrightarrow \left| {w - 9 + 3i} \right| = 5\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn có tâm \(I\left( {9; - 3} \right)\), bán kính \(R = 5\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z,\) biết rằng số phức \({z^2}\) có điểm biểu diễn nằm trên trục hoành.

  • A Trục tung
  • B Trục tung
  • C Đường phân giác góc phần tư (I) và góc phần tư (III)
  • D Trục tung và trục hoành

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức:

Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;\,\,y} \right).\)

Bước 2: Thay \(z\) vào đề bài \( \Rightarrow \) phương trình:

+) Đường thẳng: \(Ax + By + C = 0.\)

+) Đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0.\)

+) Parabol: \(y = a{x^2} + bx + c.\)

+) Elip: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) ta có: \({z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi.\)

Số phức \({z^2}\) có điểm biểu diễn nằm trên trục hoành \( \Leftrightarrow 2ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right..\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Xét các số phức z thỏa mãn: \(\left| {z + 2 - i} \right| = 3\). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \({\rm{w}} = 1 + \overline z \) là:

  • A Đường tròn tâm \(I\left( { - 1; - 1} \right)\), bán kính \(R = 9\).
  • B

    Đường tròn tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\), bán kính \(R = 3\).                                   

  • C Đường tròn tâm \(I\left( { - 2;1} \right)\), bán kính \(R = 3\).
  • D

    Đường tròn tâm \(I\left( { - 1; - 1} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn: \(\left| {z - \left( {a + bi} \right)} \right| = R,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) là đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R\). Thật vậy, giả sử số phức \(z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\), khi đó, ta có:

\(\left| {x + yi - \left( {a + bi} \right)} \right| = R \Leftrightarrow \left| {\left( {x - a} \right) + \left( {y - b} \right)i} \right| = R \Leftrightarrow {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left| {z + 2 - i} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {\overline {z + 2 - i} } \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {\overline z  + \overline {2 - i} } \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {\overline z  + 2 + i} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {\left( {\overline z  + 1} \right) + 1 + i} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {{\rm{w}} + 1 + i} \right| = 3\)

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \({\rm{w}} = 1 + \overline z \) là:Đường tròn tâm \(I\left( { - 1; - 1} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Tập điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \({\left| z \right|^2} = {z^2}\) là:

  • A Cả mặt phẳng 
  • B Đường thẳng
  • C Một điểm
  • D Hai đường thẳng

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\,\,\,\,\left( {x,y \in R} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;y} \right)\).

Bước 2: Thay \(z = x + yi\) vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa \(x,y\).

Bước 3: Kết luận:

- Phương trình đường thẳng: \(Ax + By + C = 0\)

- Phương trình đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\)

- Phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\) hoặc \(x = a{y^2} + by + c\)

- Phương trình elip: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in R} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left| z \right|^2} = {z^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {x^2} + 2xyi - {y^2}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\{x^2} + {y^2} = {x^2} - {y^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó tập điểm biểu diễn \(z\) là đường thẳng \(y = 0\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Xét các số phức z thỏa mãn \(\left( {z + 2i} \right)\left( {\bar z{\rm{\;}} + 2} \right)\) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là:

  • A \(\left( {1; - 1} \right)\) 
  • B \(\left( {1;1} \right)\)      
  • C \(\left( { - 1;1} \right)\)     
  • D \(\left( { - 1; - 1} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Số phức \(z = a + bi\,\,\,{\mkern 1mu} \left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) là số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\,\,\,{\mkern 1mu} \left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \left( {z + 2i} \right)\left( {\bar z{\rm{\;}} + 2} \right) = \left[ {a + \left( {b + 2} \right)i} \right]\left( {a + 2 - bi} \right)}\\{ = a\left( {a + 2} \right) + b\left( {b + 2} \right) + \left[ {\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right) - ab} \right]i}\end{array}\)

Số \(\left( {z + 2i} \right)\left( {\bar z{\rm{\;}} + 2} \right)\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow \) Phần thực bằng 0.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a\left( {a + 2} \right) + b\left( {b + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2a + {b^2} + 2b = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 2\end{array}\)

Vậy đường tròn biểu diễn số phức đã cho có tâm là \(I\left( { - 1; - 1} \right)\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\). Tính \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right|\)?

  • A \(2\sqrt 3 \).      
  • B \(2\)
  • C \(\sqrt 3 \).
  • D \(3\sqrt 3 \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hình học.

Lời giải chi tiết:

Giả sử A, B lần lượt là điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2}\). Khi đó từ giả thiết \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\) ta suy ra \(OA = OB = AB = 2\)

\( \Leftrightarrow \Delta OAB\) đều, cạnh 2.

\( \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = OC = 2.OH = 2.\frac{{2\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \).

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục

  • 20 bài tập quỹ tích số phức mức độ vận dụng cao
  • 40 bài tập quỹ tích số phức mức độ vận dụng
  • 40 bài tập quỹ tích số phức mức độ nhận biết, thông hiểu
  • 30 bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực mức độ vận dụng, vận dụng cao
  • 40 bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực mức độ thông hiểu
Bài giải mới nhất
  • 20 bài tập quỹ tích số phức mức độ vận dụng cao
  • 40 bài tập quỹ tích số phức mức độ vận dụng
  • 40 bài tập quỹ tích số phức mức độ nhận biết, thông hiểu
  • 30 bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực mức độ vận dụng, vận dụng cao
  • 40 bài tập phương trình bậc hai với hệ số thực mức độ thông hiểu

Báo lỗi góp ý

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Sai chính tả

Giải khó hiểu

Giải sai

Lỗi khác

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Gửi góp ý Hủy bỏ Liên hệ Chính sách

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Từ khóa » Các Loại Quỹ Tích Số Phức