50 Bài Tập Về Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác (có đáp án 2022)

Đạo hàm của hàm số lượng giác và cách giải

1. Lý thuyết

a) Giới hạn: limx→0sinxx=1

b) Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác

Đạo hàm của hàm số lượng giác cơ bản	Đạo hàm của hàm số hợp (u = u(x))
(sin x)’ = cos x (cos x)’ = – sin x tanx'=1cos2x=1+tan2x x≠π2+kπ,k∈ℤ cotx'=−1sin2x=−1+cot2x x≠kπ,k∈ℤ	(sin u)’ = u'.cos u (cos u)’ = – u'.sin u tanu'=u'cos2u=u'.1+tan2u u≠π2+kπ,k∈ℤcotu'=−u'sin2u=−u'.1+cot2u u≠kπ,k∈ℤ

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tính đạo hàm của các hàm chứa hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

- Áp dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác.

- Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 5sin x – 3cos x

b) y = sin(x2 – 3x + 2)

c) y=1+2tanx

d) y = tan 3x – cot 3x

e) y=tan2x−13cot4x+sinx

Lời giải

a) Ta có: y' = 5cos x + 3sin x

b) Ta có: y' = (x2 – 3x + 2)’.cos(x2 – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x2 – 3x + 2).

c) Ta có: y'=1+2tanx'21+2tanx=2cos2x21+2tanx=1cos2x1+2tanx.

d) Ta có các cách thực hiện sau:

Cách 1: Ta có ngay:

y'=3cos23x+3sin23x=3sin23x.cos23x=314sin26x=12sin26x.

Cách 2: Ta biến đổi:

y=sin3xcos3x−cos3xsin3x=sin23x−cos23xcos3x.sin3x=−2cos6xsin6x =−2cot6x

⇒y'=12sin26x.

e) y'=(tan2x)'−13(cot4x)'+sinx'=2cos22x+43sin24x+cosx2sinx

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=sin23x+1cos2x

b) y=1+sinx1+cosx

c) y=tanx2+2x+1

d) y=(sinx+cosx)3cosx−13sinx

Lời giải

a) y'=2sin3x.sin3x'−cos2x'cos4x=2sin3x.3cos3x−2cosx.cosx'cos4x=6sin3xcos3x+2cosx.sinxcos4x=3sin6x+2sinxcos3x

b) y'=(1+sinx)'(1+cosx)−(1+cosx)'(1+sinx)(1+cosx)2

=cosx(1+cosx)+sinx(1+sinx)(1+cosx)2=cosx+sinx+1(1+cosx)2

c) y'=tanx2+2x+1'=x2+2x+1'cos2x2+2x+1

=2x+1xcos2x2+2x+1=2xx+1xcos2x2+2x+1

d) y'=(sinx+cosx)'3cosx−13sinx+(sinx+cosx)3cosx−13sinx'

=(cosx−sinx)3cosx−13sinx+(sinx+cosx)−3sinx−13cosx

=3cos2x−103sinxcosx+13sin2x−3sin2x−103sinxcosx−13cos2x

=83cos2x−83sin2x−203sinxcosx

=83cos2x−103sin2x

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y2 – 1 = 0.

b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y2 + 2 = 0.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: y'=1cos2x.

Khi đó, ta có:

y'−y2−1 =1cos2x−tan2x−1=1cos2x−1cos2x=0 (đpcm)

b) Trước tiên, ta có: y'=−2sin22x.

Khi đó, ta có:

y'+2y2+2=−2sin22x+2cot22x+2 =−2sin22x+2sin22x=0 (đpcm)

Ví dụ 2: Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau:

a) y = sin 2x – 2cos x.

b) y = 3sin 2x + 4cos 2x + 10x.

Lời giải

a) Trước tiên, ta có: y' = 2cos 2x + 2sin x.

Khi đó, phương trình có dạng:

2cos2x+2sinx=0  ⇔cos2x=−sinx=cosx+π2

⇔2x=x+π2+2kπ2x=−x−π2+2kπ ⇔x=π2+2kπx=−π6+2kπ3,k∈ℤ.

b) Trước tiên, ta có:

y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10.

Khi đó, phương trình có dạng:

6cos2x−8sin2x+10=0⇔4sin2x−3cos2x=5

⇔45sin2x−35cos2x=1

Đặt  45=cosa và 35=sina, do đó ta được:

sin2xcosa−cos2x.sina=1⇔sin(2x−a)=1

⇔2x−a= π2+2kπ⇔x=a2+ π4+kπ, k∈ℤ.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Hàm số y = cotx có đạo hàm là:

A. y’ = - tan x

B. y'=−1cos2x

C. y'=−1sin2x

D. y’ = 1 + cot2x

Câu 2. Hàm số y=−32sin7x có đạo hàm là:

A. −212cosx

B. −212cos7x

C. 212cos7x

D. 212cosx

Câu 3. Hàm số y=sinπ6−3x có đạo hàm là:

A. 3cosπ6−3x

B. −3cosπ6−3x

C. cosπ6−3x

D. −3sinπ6−3x.

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là:

A. y’ = 3cos 2x – sin 3x

B. y’ = 3cos 2x + sin 3x

C. y’ = 6cos 2x – 3sin 3x

D. y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x

Câu 5. Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là:

A. tan2x+2xcos2x

B. 2xcos22x

C. tan2x+2xcos22x

D. tan2x+xcos22x.

Câu 6. Đạo hàm của hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức nào sau đây?

A. 30cos3x.sin5x

B. – 8cos8x + 2cos2x

C. 8cos8x – 2cos2x

D. – 30cos3x + 30sin5x

Câu 7. Hàm số y=sinxx có đạo hàm là:

A. y'=xsinx−cosxx2

B. y'=xcosx−sinxx2

C. y'=xcosx+sinxx2

D. y'=xsinx+cosxx2

Câu 8. Hàm số y=12cotx2 có đạo hàm là:

A. −x2sinx2

B. xsin2x2

C. −xsinx2

D. −xsin2x2

Câu 9. Hàm số y = tan x – cot x có đạo hàm là:

A. y'=1sin22x

B. y'=4cos22x

C. y'=4sin22x

D. y'=1cos22x

Câu 10. Đạo hàm của hàm số y=sinx+cosxsinx−cosx có biểu thức dạng a(sinx−cosx)2.

Vậy giá trị a là:

A. a = 1

B. a = – 2

C. a = 3

D. a = 2

Câu 11. Cho hàm số y=sin2+x2. Đạo hàm y' của hàm số là

A. 2x+22+x2cos2+x2

B. −x2+x2cos2+x2

C. x2+x2cos2+x2

D. (x+1)2+x2cos2+x2

Câu 12. Đạo hàm của hàm số y=sin22x.cosx+2x là

A. y'=2sin2x.cosx−sinx.sin22x−2x

B. y'=2sin2x.cosx−sinx.sin22x−2x

C. y'=2sin4x.cosx+sinx.sin22x−1xx

D. y'=2sin4x.cosx−sinx.sin22x−1xx

Câu 13. Cho hàm số y=fx=sin35x.cos2x3. Giá trị đúng của f'π2bằng

A. −36

B. −34

C. −33

D. −32

Câu 14. Cho hàm số y = cos2x + sin x. Phương trình y' = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;π)

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Câu 15. Cho hàm số y = sin 2x + x. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình y’ = 0 trong khoảng (−π;π)

A. −π6 và π6

B. −π3 và π3

C. −π6 và 7π12

D. −π3 và π6

BẢNG ĐÁP ÁN

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	B	B	C	C	B	B	D	C	B	C	D	A	C	B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết

Quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập

Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình

Các bài toán về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải