50 Bài Tập Về Giới Hạn Của Dãy Số (có đáp án 2022) – Toán 11

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Dãy số có giới hạn 0

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi, |un| nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu: limn→∞un=0 hay lim un = 0 hay un→0 khi n→+∞.

b) Dãy số có giới hạn hữu hạn

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim (un – L) = 0

Kí hiệu: limn→∞un=L hay lim un = L hay un→L khi n→+∞.

c) Dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n→+∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu: limun=+∞ hoặc un→+∞  khi n→+∞ 

Dãy số (un) có giới hạn là -∞ khi n→+∞, nếu lim−un=+∞

Ký hiệu: limun=−∞ hoặc un→−∞  khi n→+∞ 

d) Một vài giới hạn đặc biệt

limun=0⇔limun=0

lim1n=0;  lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*

limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*

limqn=0 khi   q<1+∞ khi   q>1

e) Định lý về giới hạn hữu hạn

* Nếu lim un = a và lim vn = b và c là hằng số. Khi đó ta có :

lim(un + vn) = a + b

lim(un - vn) = a - b

lim(un vn) = a.b

limunvn=ab,b≠0

lim(cun ) = c.a

lim|un | = |a|

limun3=a3

Nếu un≥0 với mọi n thì a≥0 và limun=a.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn):

Nếu vn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a.

Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn):

Nếu un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0 thì lim un = 0.

f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

* Quy tắc tìm giới hạn tích lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)

lim un = L	lim vn	lim (unvn)
+	+∞	+∞
+	-∞	-∞
-	+∞	-∞
-	-∞	+∞

* Quy tắc tìm giới hạn thương

lim un = L	lim vn	Dấu của vn	limunvn
L	±∞	Tùy ý	0
L > 0	0	+	+∞
	0	-	-∞
L < 0	0	+	-∞
	0	-	+∞

g) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Xét cấp số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … có công bội |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: S=u1+u1q+u1q2+....=u11−q   q<1

2. Các dạng toán

Dạng 1: Tính giới hạn sử dụng một vài giới hạn đặc biệt

Phương pháp giải:

Sử dụng các giới hạn đặc biệt:

limun=0⇔limun=0

lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*

limqn=0khi   q<1+∞khi   q>1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim1n2

b) lim1n2+n+3

c) lim1nn

Lời giải

Áp dụng công thức tính giới hạn đặc biệt, ta có:

a) lim1n2=0

b) lim1n2+n+3=0

c) lim1nn=0

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a) lim12n

b) lim54n+1

c) lim (-0,999)n

Lời giải

a) lim12n=0 vì 12<1

b) lim54n+1=+∞ vì 54>1

c) lim (-0,999)n = 0 vì |-0,999| < 1.

Dạng 2: Tính giới hạn hữu hạn của phân thức

Phương pháp giải:

Trường hợp lũy thừa của n: Chia cả tử và và mẫu cho nk (với nk là lũy thừa với số mũ lớn nhất).

Trường hợp lũy thừa mũ n: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất.

Sử dụng một vài giới hạn đặc biệt:

limun=0⇔limun=0lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k∈ℕ*limnk=+∞,k>0,k∈ℕ*limqn=0 khi   q<1+∞ khi   q>1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

a) lim−2n3+3n2+4n4+4n3+n

b) lim−5n+4n−7n+1+4n+1

c) lim2nn+1n2+2n−3

Lời giải

a) lim−2n3+3n2+4n4+4n3+n=lim−2n3+3n2+4n4n4+4n3+nn4

=lim−2n+3n2+4n41+4n+1n3=−0+0+41+0+0=0

Vì lim2n=0, lim3n2=0, lim4n4=0, lim4n=0 và lim1n3=0.

b) lim−5n+4n−7n+1+4n+1=lim−5n−7n+1+4n−7n+1−7n+1−7n+1+4n+1−7n+1

=lim1−7.−5−7n+1−7.4−7n1+4−7n+1=1−7.0+1−7.01+0=0

Vì lim−5−7n=lim4−7n=0

c) lim2nn+1n2+2n−3=lim2nn+1n2n2+2n−3n2

=lim2n+1n21+2nn−3n2=0+01+0−0=0

Vì lim2n=0,lim1n2=0, lim2nn=0,lim3n2=0

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp

Phương pháp giải: Sử dụng các công thức liên hợp (thường sử dụng trong các bài toán chứa căn)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: limn3+3n23−n

Lời giải

Dạng 4: Tính giới hạn ra vô cực dạng chứa đa thức hoặc căn thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)

lim un = L	lim vn	lim (unvn)
+	+∞	+∞
+	-∞	-∞
-	+∞	-∞
-	-∞	+∞

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau

a) lim2n−n3+2n−2

b) limn2−n4n+1

Lời giải

Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn)

Nếu limun=L≠0,   limvn=+∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)

lim un = L	lim vn	lim (unvn)
+	+∞	+∞
+	-∞	-∞
-	+∞	-∞
-	-∞	+∞

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim2n4−3n3+2n3+2

b) lim2n−13n2+23−2n5+4n3−1

Lời giải

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau lim3n2−2n4+3n−24n−3n2+2.

Lời giải

Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý kẹp và hệ quả của định lý kẹp

Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu vn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0 thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim−1nn+4

b) lim−1n2n+1−13n+1

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau :

a) limsin2nn+2

b) lim1+cosn32n+3

Lời giải

Dạng 7: Giới hạn dãy số có công thức truy hồi

Phương pháp giải:

Cho dãy số (un) ở dạng công thức truy hồi, biết (un) có giới hạn hữu hạn

Giả sử lim un = a (a là số thực) thì lim un+1 = a.

Thay a vào công thức truy hồi. Giải phương trình tìm a.

Ta được giới hạn của (un) là lim un = a.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và un:u1=1un+1=2un+3un+2,  n∈ℕ*

Lời giải

Giả sử lim un = a, khi đó lim un+1 = a

Suy ra a=2a+3a+2⇒a2+2a=2a+3⇔a2=3⇔a=±3

Do u1=1>0,un+1=2un+3un+2>0  ∀n∈ℕ* nên a>0⇒a=3

Vậy limun=3.

Ví dụ 2: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và un:u1=2un+1=2+un,  n∈ℕ*.

Lời giải

Vì u1=2>0; un+1=2+un>0

Giả sử lim un = a (a > 0), khi đó lim un+1 = a

Suy ra a=2+a⇔a2=a+2

⇔a2−a−2=0⇔a=−1   (Loại)a=2  

Vậy lim un = 2.

Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn

Phương pháp giải:

* Rút gọn (un) (sử dụng tổng cấp số cộng, cấp số nhân hoặc phương pháp làm trội)

* Rồi tìm lim un theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu vn≤un≤wn,  ∀n∈N*limvn=limwn=a thì lim un = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu un≤vn,  ∀n∈N*limvn=0 thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim11.3+13.5+...+12n−12n+1

b) lim1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1

Lời giải

b) L=lim1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1

Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với u1 = 1 và d = 1.

Tổng n số hạng của cấp số cộng: Sn=u1+unn2=1+nn2.

Xét mẫu số: Ta thấy 1; 3 ; 32 ; 33 ; … ; 3n là một dãy số thuộc cấp số nhân có (n+1) số hạng với u1 = 1 và q = 3.

Tổng (n + 1) số hạng của cấp số nhân: Sn+1=u1.1−qn+11−q=1−3n+11−3=3n+1−12.

Khi đó: L=lim1+nn23n+1−12.(n+1)=limn3n+1−1

Vì n3n+1−1=n3.3n−1<n3n<2n3n=23n và lim23n=0

Nên L=limn3n+1−1=0

(Bằng quy nạp ta luôn có n<2n, ∀n∈ℕ* và 3n>1, ∀n∈ℕ*⇒3n+1−3n=2.3n>2>1⇒3n+1−1>3n).

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: lim12⋅34⋅56⋅⋅⋅2n−12n

Lời giải

Dạng 9: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: S=u1+u1q+u1q2+....=u11−q   q<1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

a) S=1+12+14+18+…

b) S=1+0,9+0,92+0,93+…

Lời giải

a) S=1+12+14+18+… là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và q=12.

Nên S=1+12+14+18+…=11−12=2.

b) S=1+0,9+0,92+0,93+… là cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và q = 0,9.

Nên S=1+0,9+0,92+0,93+…=11−0,9=10.

Ví dụ 2: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:

a) a = 0,32111...

b) b = 2,151515...

Lời giải

a) Ta có a=0,32111...=32100+1103+1104+1105+...

Vì 1103+1104+1105+... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1=1103 và q=110

Nên b=32100+11031−110=289900.

b) Ta có b=2,151515...=2+15100+151002+151003+...

Vì 15100+151002+151003+... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1=15100 và q=1100

Nên b=2+151001−1100=7133.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. lim1n3=0.

B. lim−1nn2=0.

C. lim1n3=−1.

D. lim1n=0.

Câu 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. 43n.

B. −43n.

C. −53n.

D. 13n.

Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. limn2−2n5n+5n2.

B. lim1−2n5n+5.

C. lim1−2n25n+5.

D. lim1−2n5n+5n2.

Câu 4. Tính giới hạn limsinn!n2+1 bằng

A. 0.

B. 1.

C. +∞.

D. 2.

Câu 5. Cho dãy số (un) với un=1+3+5+...+2n−13n2+4. Khi đó lim un bằng

A. 13.

B. 0.

C. 23.

D. 1.

Câu 6. Cho dãy số (un) với un=11.2+12.3+....+1nn+1. Khi đó lim un bằng

A. 2.

B. 1.

C. 32.

D. Không có giới hạn.

Câu 7. Tính limn−8n3+3n+23 bằng:

A. +∞.

B. -∞.

C. -1.

D. 0.

Câu 8. Tính limn+4n2−n33 bằng:

A. -43.

B. +∞.

C. 43.

D. -4.

Câu 9. Tính lim3n−2.5n7+3.5n bằng:

A. 23.

B. -16.

C. 17.

D. -23.

Câu 10. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0?

A. lim2n+31−2n.

B. lim2n+1n−32n−2n3.

C. lim1−2n2n2+2n.

D. lim2n+13.2n−3n.

Câu 11. Cho dãy số (un) được xác định bởi u1=1, un+1=22un+1un+3 với mọi n≥1. Biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, lim un bằng:

A. -1.

B. 2.

C. 4.

D. 23.

Câu 12. Giới hạn dãy số (un) với un=3n−n44n−5 là

A. −∞.

B. +∞.

C. 34 .

D. 0.

Câu 13. Chọn kết quả đúng của limn3−2n+53+5n.

A. 5.

B. 25.

C. -∞.

D. +∞.

Câu 14. Tổng S=12+−14+18+...+ −1n+12n+... bằng:

A. 1.

B. 13.

C. 34.

D. 23.

Câu 15. Biểu diễn số thập phân 1,24545454545… như một phân số:

A. 249200.

B. 137110.

C. 2722.

D. 6955.

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	D	D	A	A	B	B	C	D	D	B	A	D	B	B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập

Hàm số liên tục và cách giải bài tập

Phép tịnh tiến và cách giải các dạng bài tập

Phép đối xứng tâm và cách giải các dạng bài tập

Phép đối xứng trục và cách giải các dạng bài tập