50 Bài Toán Về Công Thức Lũy Thừa, Logarit (có đáp án 2022)

Các dạng bài tập về công thức lũy thừa, logarit và cách giải bài tập - Toán lớp 12

I. LÝ THUYẾT

a. Lũy thừa

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

an=a.a....a,(n thừa số)

Ở đây n∈ℤ+, n>1. Quy ước a1=a

a≠0:a0=1,a−n=1an với n∈ℤ+

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và b∈ℝ: Có một căn bậc n của b là bn.

Với n chẵn

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là ±bn.

+ Tính chất căn bậc n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

+ Lũy thừa số mũ hữu tỷ:

amn=amn,a>0

+ Lũy thừa số thực

aα=limn→∞arn( α là số vô tỉ, rn là số hữu tỉ và lim rn = α)

+ Tính chất

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

b. Logarit

+ Định nghĩa:

+ Các công thức:

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biểu thức

A. Phương pháp

Cách 1. Sử dụng định nghĩa và tính chất của lũy thừa và lôgarit

* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của lũy thừa.

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

+ Số căn bậc n

Với n lẻ và b∈ℝ: Có một căn bậc n của b là bn.

Với n chẵn

b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b.

b = 0: Có một căn bậc n của b là 0.

b > 0: Có hai bậc n của b là ±bn

+ Tính chất căn bậc n

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

+ Lũy thừa số mũ hữu tỷ

amn=amn,a>0

+ Lũy thừa số thực

aα=limn→∞arn ( α là số vô tỉ, là số hữu tỉ và limrn=α).

+ Tính chất

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

* Rút gọn biểu thức và tính biểu thức của logarit.

+ Định nghĩa:

+ Các công thức:

Giả thiết rằng mỗi biểu thức sau đều có nghĩa:

Cách 2. Sử dụng máy tính cầm tay.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho là số thực dương. Giá trị của biểu thức P = a23a bằng

A. a56

B. a5

C. a23

D. a76 .

Lời giải

Chọn D

Với a >0, ta có:

P = a23a = a23 a12 = a76 .

Câu 2. Rút gọn biểu thức P=a3−13+1a4−5.a5−2.

A. P=2

B. P=a2

C. P=1

D. P=a .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

P=a3−13+1a4−5.a5−2=a3−13+1a4−5+5−2=a2a2=1

Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay

Nhập vào máy tính:

Sau đó bấm CALC thay một giá trị bất kì thỏa mãn a >0 và a≠1 và các đáp án phải khác nhau. Ta chọn A=3. Khi đó ta có kết quả.

Câu 3. Với α là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?

A. 10α=10α2

B. 10α2=100α

C. 10α=10α

D. 10α2=10α2

Lời giải

Chọn D

+) Có 10α=10α2 với mọi α, nên A đúng.

+) Có 10α2=100α với mọi α, nên B đúng.

+) Có 10α=10α với mọi α, nên C đúng.

+) Ta có 10α2=102α≠10α2. Do đó D sai.

Câu 4. Biểu thức P=x3.x23.x56  x>0 viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là

A. P=x83

B. P=x56

C. P=x13

D. P=x3

Lời giải

Chọn A

Ta có:

P=x3x2312.x56=x32.x13.x56=x83.

Câu 5. Tính giá trị biểu thức A=1625−14+1634−2−2.6413.

A. 14.

B. 12.

C. 11.

D. 10.

Lời giải

Chọn B

Ta có

A=5(−4).−14+24.34−2−2.26.13=5+23−20=12

Câu 6. Cho a là số thực dương và a≠1. Giá trị của biểu thức M=a1+21−2 bằng

A. a2.

B. a22.

C. a

D. 1a.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

M=a1+21−2=a1−2=a−1=1a

Vậy M=1a.

Câu 7. Cho a>0, a≠1, biểu thức D=loga3a có giá trị bằng bao nhiêu?

A. -3

B. 3

C. 13

D. -13 .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

D=loga3a=13logaa=13

Câu 8. Với a và b là hai số thực dương, a≠1. Giá trị của alogab3 bằng

A. b13

B. 13b

C. 3b

D. b3 .

Lời giải

Chọn D

Áp dụng công thức: alogab=b

Ta có: alogab3=b3.

Câu 9. Tính giá trị của aloga 4 với a>0, a≠1.

A. 16

B. 8

C. 4

D. 2.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

aloga 4=a2loga4=aloga42=16

Câu 10. Cho a là số thực dương khác 4. Tính aloga 4=a2loga4=aloga42=16.

A. I=−13

B. I=−3

C. I=3

D. I=13 .

Lời giải

Chọn C

I=loga4a364=loga4a43=3

Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. ln2e2=2+ln2

B. ln2e=ln2−1

C. ln4e=1+ln2

D. lne=1

Lời giải

Chọn C

ln4e=ln4+lne=ln2+12

Câu 12. Tính giá trị của biểu thức: P=loga2a10b2+logaab+logb3b−2

A. 3

B. 1.

C. 2 .

D. 2.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Dạng 2. So sánh các lũy thừa, logarit

A. Phương pháp giải.

Cách 1. Sử dụng tính chất của lũy thừa, lôgarit

a. So sánh các lũy thừa

Nếu a > 1 thì aα>aβ khi và chỉ khi α>β

Nếu a < 1 thì aα>aβ khi và chỉ khi α<β

b. So sánh các logarit

logab>logac⇔a>1b>c>00<a<10<b<c

Cách 2. Sử dụng máy tính casio

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho a>1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a23a>1

B. a−3>1a5

C. a13>a

D. 1a2016<1a2017

Lời giải

Chọn B

Vì cơ số a >1 nên ta có:

am>an⇔m>n

Xét phương án A: a23a=a23−1=a−13<a0⇒ phương án A sai.

Xét phương án B: 5−3>0⇔a5−3>a0=1 hay a−3>1a5⇒ phương án B đúng.

Xét phương án C: 13<12⇒a13<a12 hay a13<a⇒phương án C sai.

Xét phương án D: 2016<2017⇔a2016<a2017⇔1a2017<1a2016⇒ phương án D sai.

Vậy phương án đúng là phương án B

Câu 2. Cho πα>πβ với α, β∈ℝ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. α>β

B. α<β

C. α=β

D. α≤β .

Lời giải

Chọn A

Do π>1 nên πα>πβ⇔α>β.

Câu 3. Cho số thực a thỏa mãn a3>aπ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 0<a<1

B. a<0

C. a>1

D. a=1 .

Lời giải

Chọn A

Ta có a3>aπ mà 3<π nên 0<a<1.

Câu 4. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 43−7>43−6

B. 23−6<23−5 .

C. 345>346

D. 326>327 .

Lời giải

Chọn C

Vì cơ số là 34, 0<34<1.

Do đó 5 < 6 nên 345>346 là mệnh đề đúng.

Câu 5. Nếu a33>a22 và logb34<logb45 thì

A. 0<a<1,0<b<1.

B. 0<a<1,b>1.

C. a>1,b>1.

D. a>1,0<b<1.

Lời giải

Chọn B

Câu 6. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. log x≥0⇔x≥1

B. log3 x≤0⇔0<x≤1

C. log13 a>log13 b⇔a>b>0

D. log13 a=log13 b⇔a=b>0

Lời giải

Chọn C

Ta có log x≥0⇔x≤100 nên x≤1 là khẳng định đúng.

log3 x≤0⇔0<x≤30 nên 0<x≤1 là khẳng định đúng.

log13 a>log13 b⇔b>a>0 nên khẳng định C sai.

D đúng do tính đơn điệu của hàm số y=log13x

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Tính giá trị biểu thức A=116−14+8134−2−2.6413

A. 15.

B. 28.

C. -11.

D. 10.

Câu 2. Cho biểu thức fx=x3x4x512. Khi đó giá trị của f2,7 bằng:

A. 0,027

B. 28

C. -11

D. 10

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức K=2:4−2+3−2319−35−3.252+0,70.12−3

A. 23

B. 83

C. 53

D. 3313 .

Câu 4. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa?

A. 1,3−34

B. −323

C. −2−3

D. 223 .

Câu 5. Với các số thực a,b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 5a5b=5a−b

B. 5a5b=5ab

C. 5a5b=5ab

D. 5a5b=5a+b

Câu 6. Cho số thực x và số thực y≠0 tuỳ ý. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. 3x.3y=3x+y

B. 5xy=5yx

C. 4xy=4x4y

D. 2.7x=2x.7x

Câu 7. Cho là số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt A=a7.a7a27. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. A=7

B. A=1

C. A=a

D. A=2a7 .

Câu 8. Cho a>0; b >0. Viết biểu thức a23a về dạng am và biểu thức b23:b về dạng bnTa có m−n=?

A. 13

B. 12

C. 1

D. -1.

Câu 9. Cho số thực a dương và m,n∈ℝ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. am+n=amn

B. am+n=aman

C. am+n=am.an

D. am+n=am+n

Câu 10. Cho số dương a và m,n∈ℝ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. am.an=am−n

B. am.an=amn

C. am.an=am+n

D. am.an=am.n

Câu 11. Cho a là số dương tuỳ ý,a34 bằng

A. a43

B. a−43

C. a34

D. a−34 .

Câu 12. Tính giá trị của biểu thức P=2log2a+logaab a>0,a≠1

A. P=a−b

B. P=2a+b

C. P=a+b

D. P=2a+b .

Câu 13. Cho là số thực dương khác 1. Tính P=logaa.

A. P=12

B. P=−2

C. P=2

D. P=0 .

Câu 14. Cho a,b>0. Nếu lnx=5lna+2lnb thì x bằng

A. a5+b

B. a5b

C. 10ab

D. a5b .

Câu 15. Với a là số thực dương tùy ý, log8a−log3a bằng

A. 83

B. log38

C. log83

D. log5a .

Câu 16. Cho 2−1m<2−1n. Khi đó:

A. m>n

B. m<n

C. m=n

D. m≤n .

Câu 17. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A. log35>0

B. log2+x22016<log2+x22017

C. log0,30,8<0

D. log34>log413

Câu 18. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. logx<1⇔0<x<10

B. lnx≥0⇔x≥1

C. log4x2>log2y⇔x>y>0

D. log1πx<log1πy⇔x>y>0

Đáp án:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cách giải bài tập

Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit và cách giải bài tập

Phương trình mũ và cách giải các dạng bài tập

Phương trình lôgarit và cách giải các dạng bài tập