6.3. Xác Suất đầy đủ Và Công Thức Bayes | Môn Học: Toán Chuyên đề

Skip navigation

• Hướng dẫn tự học
• Phần I: Giải tích phức
  • Bài 1: Khái niệm hàm biến phức
    • 1.1. Bổ túc về số phức
    • 1.2. Khái niệm hàm phức
    • 1.3. Tách phần thực, phần ảo hàm phức
    • 1.4. Giới hạn, tính liên tục của hàm phức
    • Test nhanh
    • Mô phỏng
      • Tập số phức mở rộng
      • Các phép toán cơ bản của số phức
      • Hàm phức
    • Tài liệu tham khảo
  • Bài 2: Phép tính vi phân hàm phức
    • 2.1. Đạo hàm
    • 2.2. Điều kiện Cauchy-Riemann
    • 2.3. Hàm giải tích, hàm điều hòa
    • Test nhanh
    • Tài liệu tham khảo
  • Bài 3: Phép tính tích phân hàm phức
    • 3.1. Định nghĩa
    • 3.2. Tích phân không phụ thuộc đường cong
    • 3.3. Công thức Newton-Leibnitz
    • 3.4. Công thức tích phân Cauchy
    • Test nhanh
    • Tài liệu tham khảo
  • Bài 4: Toán tử Laplace và ứng dụng
    • 4.1. Khái niệm hàm gốc, hàm ảnh
    • 4.2. Các tính chất cơ bản
    • 4.3. Ứng dụng của toán tử Laplace
    • Test nhanh
    • Mô phỏng
    • Tài liệu tham khảo
• Phần II: Lý thuyết xác suất
  • Bài 5: Định nghĩa xác suất
    • 5.1. Bổ túc kiến thức phép đếm
    • 5.2. Biến cố (sự kiện), quan hệ giữa các biến cố
    • 5.3. Khái niệm xác suất
    • 5.4. Dãy phép thử Bernoulli
    • Test nhanh
    • Mô phỏng
    • Tài liệu tham khảo
  • Bài 6: Các định lí xác suất
    • 6.1. Quy tắc cộng xác suất
    • 6.2. Quy tắc nhân xác suất
    • 6.3. Xác suất đầy đủ và công thức Bayes
    • Test nhanh
    • Mô phỏng
    • Tài liệu tham khảo
  • Bài 7: Đại lượng ngẫu nhiên
    • 7.1. Khái niệm của đại lượng ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên)
    • 7.2. Phân phối xác suất của ĐLNN
    • 7.3. Các tham số đặc trưng của ĐLNN
    • 7.4. Một số phân phối thông dụng
    • Test nhanh
    • Mô phỏng
    • Tài liệu tham khảo
• Phần III: Thống kê toán học
  • Bài 8: Mẫu ngẫu nhiên
    • 8.1. Khái niệm mẫu ngẫu nhiên
    • 8.2. Phân loại và mô tả số liệu
    • 8.3. Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên
    • Test nhanh
    • Tài liệu tham khảo
  • Bài 9: Ước lượng tham số
    • 9.1. Ước lượng điểm
    • 9.2. Ước lượng khoảng
    • Test nhanh
    • Tài liệu tham khảo
  • Bài 10: Kiểm định giả thuyết thống kê
    • 10.1. Khái niệm chung
    • 10.2. Kiểm định kì vọng của ĐLNN có phân phối chuẩn
    • 10.3. Kiểm định tỉ lệ của ĐLNN có phân phối Bernoulli
    • Test nhanh
    • Tài liệu tham khảo

« Trước | Tiếp »

Định nghĩa: Nhóm các sự kiện $A_1, A_2, \cdots,A_n, (n\geq 2)$ của một phép thử được gọi là một nhóm đầy đủ nếu:

1. $A_i \cap A_j= \varnothing$  (xung khắc từng đôi),
2. $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n= \Omega$.

Ví dụ: Một tiểu đoàn có 3 đại đội cùng trồng một loại bí xanh. Chọn ngẫu nhiên một quả bí xanh và gọi $A_1, A_2, A_3$ lần lượt là sự kiện quả bí xanh được chọn do đại đội 1, đại đội 2 và đại đội 3 trồng. Khi đó hệ $\{A_1, A_2, A_3\}$ là đầy đủ.

Như vậy, xác suất $P(A_i)$ của một hệ đầy đủ $\{A_1, A_2, \cdots , A_n\}$ của không gian mẫu $\Omega$, và biết các xác suất có điều kiện $P(A|A_i)$, thì ta có: $$P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(A\cap A_i)=\sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i).P(A|A_i)$$ được gọi là công thức xác suất đầy đủ, để tính xác suất của sự kiện $A$.

Ví dụ: Xét một lô giày chiến sĩ được sản xuất bởi 3 nhà máy với tỉ lệ lần lượt là 20%, 30% và 50%. Xác suất giày hỏng của các nhà máy lần lượt là 0,001; 0,005 và 0,006. Lấy ngẫu nhiên một chiếc giày từ lô hàng. Tìm xác suất để chiếc giày lấy ra bị hỏng.

Gọi $A$ là sự kiện “lấy được giày hỏng”, $A_i$ là sự kiện “lấy được giày của nhà máy $i$” ($i = 1, 2, 3$). Ta có $\{A_1, A_2, A_3\}$ là hệ đầy đủ. Theo công thức trên, ta có: \begin{align}P(A) &= P(A_1).P(A|A_1)+ P(A_2).P(A|A_2) + P(A_3).P(A|A_3)\\&= 0, 2.0, 001 + 0, 3.0, 005 + 0, 5.0, 006 = 0, 0065.\end{align}

Công thức Bayes, mang tên của linh mục và nhà toán học người Anh Thomas Bayes (1702-1761), là công thức ngược, cho phép tính xác suất có điều kiện $P(B|A)$ khi biết xác suất có điều kiện $P(A|B)$ và một số thông tin khác. Dạng đơn giản nhất của công thức này là: Nếu $A, B$ là hai sự kiện bất kì với xác suất khác 0 thì từ quy tắc nhân xác suất $$P(A|B).P(B)=P(B|A).P(A)\Rightarrow P(B|A)=\dfrac{P(A|B).P(B)}{P(A)}.$$

Định lý: Giả sử $\{A_1,A_2,\cdots,A_n\}$ là hệ đầy đủ và $B$ là một sự kiện bất kì có thể xảy ra trong phép thử. Khi đó ta có công thức Bayes: $$P(A_k|B)=\dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{P(B)}=\dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^{n}{P(A_i)P(B|A_i)}},\quad k=1,2,\cdots,n.$$

Ví dụ: Dây chuyền lắp ráp máy vô tuyến điện gồm các linh kiện là sản phẩm từ 2 nhà máy sản xuất ra. Số linh kiện nhà máy 1 sản xuất chiếm 55%, số linh kiện nhà máy 2 sản xuất chiếm 45%; tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của nhà máy 1 là 90%, nhà máy 2 là 87%. Lấy ngẫu nhiên ra 1 linh kiện từ dây chuyền lắp ráp đó ra kiểm tra thì được kết quả linh kiện đạt chuẩn. Tìm xác suất để linh kiện đó do nhà máy 1 sản xuất?

Gọi $A_i =$ “linh kiện do nhà máy thứ i sản xuất”, $i = 1, 2$.

Gọi B = “linh kiện đạt chuẩn”, ta cần tìm $P(A_1|B)$.

Ta có: $$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = 0,55.0,9 + 0,45.0,87 = 0,8865.$$ Và  $$P(A_1|B)=\dfrac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}=\dfrac{0,55.0,9}{0,8865}=0,5583.$$

« Trước | Tiếp » ×

Trao đổi, thảo luận

Comment Form is loading comments...