8 Cách Chứng Minh 2 đường Thẳng Vuông Góc Với Nhau

Có thể bạn quan tâm

Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học›Toán 9›Phần Hình học 9 8 Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau

I. MỘT SỐ CÁCH THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG:

• Cách 1: (Theo Định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc):

Hai đường thẳng cắt nhau hoặc 2 tia thẳng tạo ra góc đo 900; Thí dụ:

- 1.a/ Trường hợp ÐA, ÐB , ÐC là 3 góc của TG vuông mà

ÐB + ÐC = 900  ÐA = 1800 – 900 = 900

- 1.b/Trường hợp góc nội tiếp chắn 1/2 đường tròn (1800:2 = 900)

- 1.c/Trường hợp 2 đường thẳng giao nhau chia đường tròn thành

4 phần bằng nhau (3600:4 = 900 )

7 trang

phammen30

2953

1 Download Bạn đang xem tài liệu "8 Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên8 Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau I. MỘT SỐ CÁCH THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG: Cách 1: (Theo Định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc): Hai đường thẳng cắt nhau hoặc 2 tia thẳng tạo ra góc đo 900; Thí dụ: - 1.a/ Trường hợp ÐA, ÐB , ÐC là 3 góc của TG vuông mà ÐB + ÐC = 900 Þ ÐA = 1800 – 900 = 900 - 1.b/Trường hợp góc nội tiếp chắn 1/2 đường tròn (1800:2 = 900) - 1.c/Trường hợp 2 đường thẳng giao nhau chia đường tròn thành 4 phần bằng nhau (3600:4 = 900 ) - 1.d/ Trường hợp góc tạo bởi 2 phân giác của 2 góc kề bù Cách 2: Theo Hệ quả của 2 đường thẳng song song 2.1 Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. Có c//a; Nếu b a Þ b c 2,2 – Hai đường song song với hai đường vuông góc đã biết. Có a b; d//a; c//b Þ cd Cách 3: Dùng tính chất của ba đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác. Trong ∆ABC có AH BC; CI AB Þ BO AC tại K Cách 4: Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung. AB là dây cung trong đường tròn O Néu AM = MB Þ OM AB Cách 5: Phân giác của hai góc kề bù nhau. Có ÐxOz kề bù ÐzOy Nếu O1 = O2 và O3 = O 4 Þ O2 + O3 = 90O hay OmOn Cách 6: Sử dụng góc nội tiếp nửa đường tròn. Trên đường tròn tâm O, đường kính AB Þ Mọi đỉểm M trên đường tròn đều có AM ^BM Cách 7: Sử dụng tính chất đường trung trực. Có H là trung điểm của AB; Điểm M cách đều A và B Þ MH ^AB Cách 8: Tính chất tiếp tuyến và đường kính của đường tròn. Nếu đường tròn O tiếp xúc với MA hoặc MB tại A hoặc B thì OA^ MA và OB ^MB Có một số bài toán chỉ cần áp dụng 1 trong số các cách trên, nhưng nhiều bài toán phải vận dụng cùng lúc nhiều cách. Khi làm bài nên chọn những cách gọn và sáng sủa; nếu có điều kiện thì trình bày nhiều cách. BÀI TOÁN MINH HOẠ µ Bài toán 1 Cho hình bình hành ABCD, BH là đường cao từ B tới AD. Từ A kẻ AF//và = BH; Từ F kẻ FE// và = AD. CMR tứ giác ADEF là hình chữ nhât. Giải (Áp dụng cách 1 & 2) Dễ dàng CM được 4 góc của ADEF đều = 900 (các cặp cạnh kề đều vuông góc nhau). vì: AF//BH; FE//AD mà AD ^ BH AF ^ FE và AF^ AD FE// và = AD nên DE// và = AF tương tự ta có FE ^ED; ED ^DA. è Vậy ADFE là hình chữ nhật µ Bài toán 2 Chứng minh rằng đường trung bình của tam giác luôn vuông góc với đường cao hạ tới cạnh tương ứng của đường trung bình: Giải (theo cách 2) Giả sử có ∆ ABC với DE là đường TB tương ứng với cạnh BC thì DE//BC. Đường cao AH (hạ từ A tới đáy BC) Þ AH ^ BC Þ AH ^ DE (ĐPCM) Điều KL này đúng với cả khi AH không ở trong ∆ ABC. µ Bài toán 3 Từ tính chất của hình thoi: có 4 cạnh bằng nhau và các cặp cạnh đối diện song nhau từng đôi một, hãy chứng minh 2 đương chéo hình thoi vuông góc với nhau. Giải (Áp dụng cách 7) Do hình thoi có 4 cạnh bằng nhau và các cặp cạnh đối diện song nhau từng đôi một nên 2 đường chéo chia hình thoi thành 4 tam giác bằng nhau (g.c.g) Þ 2 đường chéo cắt nhau ở trung điểm. (AO = OC; BO = OD) Dễ dàng thấy trong TG cân ABC thì BO vừa là trung tuyến vừa là trung trực của cạnh AC Þ BO ^ AC Þ BD ^ AC (ĐPCM) µ Bài toán 4 Cho DABC, các đường cao BD và CE. Gọi I là trung điểm của DE, K là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: KI ED? Giải ; ( Bài này chỉ cần CM 1 trong 2 cách sau:) a/ / CM theo cách thứ 4 Theo GT có: ÐBEC = 900 và ÐBDC = 900 Hai góc vuông cùng chắn BC nên chúng nội tiếp trong đường tròn đường kinh BC. Vì K là trung điểm của BC nên K chính là tâm của đường tròn mà ED là 1 dây cung. Vì I là trung điểm của dây cung ED nên è Có KI AD (ĐPCM) b/ CM theo cách thứ 7 * Nối DK, trong DBDC có: [1 ] DK là đường trung tuyến Þ * Nối EH; Trong DBEC có: [2 ] EK là đường trung tuyến Þ Từ [ 1 ] và [ 2 ], suy ra: DK = EK. Þ DEKD cân tại K. * Do I là trung điểm của DE (gt) è KI là trung tuyến đồng thời là đường cao và dường trung trực tại cạnh ED của DEKD Þ KI ED (đpcm) Nhận xét: CM theo cách thứ 4 gọn hơn và không cần thiết phải kẻ thêm đường phụ * * * µ Bài toán 5 Cho hình thang vuông ABCD, có CD = 2AB; Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng đường thẳng qua DM vuông góc với đường thẳng qua BM. Giải (Áp dụng cách 2 và 6) Kẻ BE CD (E CD). Vì CD = 2AB nên AB = DE = EC. Hay E là trung điểm của CD. * Xét DDHC có EM là đường trung bình Þ EM // DH Þ EM AC (Vì DH AC). * Xét tứ giác MADE có và ÞTứ giác MADE nội tiếp đường trong đường kính AE. Tức là bốn điểm M, A, D, E nằm trên một đường tròn. (1) * Xét tứ giác ABED có: và AB = DE Tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Bốn điểm A, B, E, D nằm trên một đường trong đường kính AE. (2) Từ (1) và (2), suy ra: M thuộc đường tròn đường kính AE. Ta có: Tứ giác ABMD nội tiếp. Mà Þ BM DM. (ĐPCM) µ Bài toán 6 : Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC. I và N lần lượt là trung điểm của AD và HC. Chứng minh: BN IN. (Đề tương tự đề 4 trên) Giải Gọi M là trung điểm của BC Có IM là đường TB của hình chữ nhật ABCD (I là trung điểm BC, M là trung điểm AD) Þ IM // AB Þ Có N là trung điểm của HC, M là trung điểm của BC MN là đường TB của ∆HBC Þ MN // BH Þ MN HC Þ * Xét tứ giác ABMN có 2 góc đối diện: Þ ABMN là tứ giác nội tiếp (1) Xét tứ giác ABMI có 3 góc ÞABMI là hình chữ nhật hay ABMI cũng là tứ giác nội tiếp (2) Từ (1) (2 ) ta có: Năm điểm A, I, N, M, B cùng thuộc một đường tròn đường kính AM và BI. Þ Tứ giác AINB là tứ giác nội tiếp có 2 góc đối nhau cùng chắn 1đường kính là BI Þ Þ BN IN (đpcm). µ Bài toán 7: Cho tam giác cân ABC, gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu của H trên AC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh AO vuông góc với BE. Giải “Cách 2 và 3” Lấy K là trung điểm của EC; Nối HK Þ HK là đường trung bình của DBEC nên HK // EB (1) Trong DEHC, ta có: OK cũng là đường trung bình nên OK // HC. (2) Mà AH HC (giả thiết) (3) Từ (2) và (3), suy ra: OKAH (*) Ta lại có: HE AC (vì E là hình chiếu của H trên AC) (**) Từ (*) và (**), suy ra: O là trực tâm của DAHK AO HK (4) Từ (1) và (4), suy ra: AO BE (điều phải chứng minh) Nhận xét: Không thể trực tiếp chứng minh AO BE mà phải kẻ thêm 1 số đường trung gian. Sau đó tìm các mối liên hệ, áp dụng “Cách 2 và 3” để CM µ Bài toán 8: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH AB. Giải (Áp dụng Cách 3) Theo đề ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét ∆SAB có AN, BM là hai đường cao. Mà H là giao điểm của AN và BM Þ H là trực tâm của ∆SAB SH thuộc đường cao thứ ba của DSAB. Vậy SH AB. µ Bài toán 9 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đồng thời ngoại tiếp đường tròn khác có các tiếp điểm M, N, P, Q lần lượt với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác đã cho. Chứng minh rằng MP ^ NQ Giải: Gọi (O) là đường tròn nội tiếp tứ giác và (O’) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác, ta có: (góc có đỉnh ngoài đường tròn) (góc có đỉnh ngoài đường tròn) (tứ giác ABCD nội tiếp (O’) Þ + = 1800 Þ = 1800 Þ = 1800 Mà Þ MP^ NQ µ Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O, AC BD tại H. Trên AB lấy điểm M ( ) sao cho . Gọi N là trung điểm HC. CMR: Giải (đây là bài hay nhưng khó vì MH và DN không có liên hệ trực tiếp; do đó phải kẻ thêm 1 số đường phụ, Áp dụng tổng hợp các cách giải số 3; 4; 6; 7..) * Lấy sao cho HE = HB; Nối CE và kéo dài cho cắt AC ở F * Lấy K là trung điểm HE, (EK = KH). Từ giả thiết ABCD nội tiếp Þ (1) Dễ thấy ∆BCE cân tại C vì có CH vừa là đường cao vừa là trung tuyến Þ (2) * Từ (1), (2) suy ra Þ Tứ giác CHDF nội tiếp được đường tròn Þ Þ CE ^ AD (3) Có KN là đường trung bình của ∆HEC Þ KN//CE. Từ (3) Þ KN ^AD * Xét ∆AND có DK ^AN (nằm trên 2 đường chéo NK^AD (vì NK//CE mà CE ^ AD) Þ K là trực tâm của ∆AND Þ AK^ DN (4) Từ giả thiết và cách lấy E, K ta có: Þ MH// AK (theo định lý Thalet đảo) (5) Từ (4), (5) suy ra MH ^DN (đpcm).

Tài liệu đính kèm:

8_cach_chung_minh_2_duong_thang_vuong_goc.doc

Tài liệu liên quan

Gíao án Hình học 9 - Liên hệ giữa cung và dây
1085 1
Giáo án môn Đại số 9 - Tiết 40: Giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình
1012 0
Giáo án môn Đại số lớp 9 - Tuần 13
899 0
Chuyên đề Tứ giác nội tiếp
976 0
Đề cương ôn tập học kì 1 - Toán 9
987 3
Giáo án môn Đại số lớp 9 - Tuần 25
761 0
Giáo án môn Đại số 9 - Tiết học 56: Luyện tập
701 0
Giáo án môn Hình học 9 - Tiết 20: Đường kính và dây của đường tròn
756 0
Giáo án môn Đại số 9 - Tuần học 5, 6
792 0
Gíao án Hình học 9 - Chương III: Góc với đường tròn
703 0