Ai Là Người Phát Minh Ra Toán Học - Hỏi Đáp

Toán học (từ tiếng Hy Lạp : μάθημα , máthēma , 'kiến thức, nghiên cứu, học tập') bao gồm việc nghiên cứu các chủ đề như số lượng ( lý thuyết số ), cấu trúc ( đại số ), không gian ( hình học ), và thay đổi ( phân tích toán học ).Toán học không có định nghĩa được chấp nhận chung. Các trường phái tư tưởng khác nhau, đặc biệt là trong triết học, đã đưa ra các định nghĩa hoàn toàn khác nhau. Tất cả đều gây tranh cãi.

Aristotle định nghĩa toán học là "khoa học về lượng" và định nghĩa này phổ biến cho đến thế kỷ 18. Tuy nhiên, Aristotle cũng lưu ý rằng chỉ tập trung vào số lượng có thể không phân biệt toán học với các khoa học như vật lý; theo quan điểm của ông, trừu tượng hóa và nghiên cứu số lượng như một thuộc tính "tách biệt trong suy nghĩ" khỏi các trường hợp thực tế đã đặt toán học ra ngoài. 

Vào thế kỷ 19, khi việc nghiên cứu toán học ngày càng nghiêm ngặt và bắt đầu đề cập đến các chủ đề trừu tượng như lý thuyết nhóm và hình học xạ ảnh , không có mối liên hệ rõ ràng với đại lượng và phép đo, các nhà toán học và triết học bắt đầu đề xuất nhiều định nghĩa mới.

Rất nhiều nhà toán học chuyên nghiệp không quan tâm đến định nghĩa của toán học, hoặc coi nó là không thể xác định được. Thậm chí không có sự đồng thuận về việc liệu toán học là nghệ thuật hay khoa học. Một số người chỉ nói, "Toán học là những gì các nhà toán học làm".

Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học, và tài chính. từ những gì ban đầu được xem là toán học thuần túy.

Ngành toán học hiện nay bao gồm - ngoài các lĩnh vực tiêu chuẩn ít nhiều như lý thuyết số, đại số, hình học, giải tích (giải tích), logic toán học và lý thuyết tập hợp, và nhiều toán học ứng dụng hơn như lý thuyết xác suất và thống kê - một loạt các các lĩnh vực và lĩnh vực nghiên cứu chuyên biệt, bao gồm lý thuyết nhóm, lý thuyết trật tự, lý thuyết nút, lý thuyết bó, cấu trúc liên kết, hình học vi phân, hình học fractal, lý thuyết đồ thị, phân tích hàm, phân tích phức, lý thuyết điểm kỳ dị, lý thuyết tai biến, lý thuyết hỗn loạn, lý thuyết đo lường, mô hình lý thuyết, lý thuyết phạm trù, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, lý thuyết độ phức tạp và nhiều hơn nữa.

Lịch sử toán học cũng lâu đời như chính loài người. Kể từ thời cổ đại, toán học đã trở thành nền tảng cho những tiến bộ trong khoa học, kỹ thuật và triết học. Nó đã phát triển từ việc đếm, đo lường và tính toán đơn giản, và nghiên cứu một cách có hệ thống về hình dạng và chuyển động của các đối tượng vật chất, thông qua việc áp dụng trừu tượng, trí tưởng tượng và logic, thành một lĩnh vực rộng lớn, phức tạp và thường là trừu tượng mà chúng ta biết ngày nay.

Từ xương có dấu của con người sơ khai đến những tiến bộ toán học do nền nông nghiệp định cư ở Lưỡng Hà và Ai Cập mang lại và những phát triển mang tính cách mạng của Hy Lạp cổ đại và đế chế Hy Lạp hóa của nó,câu chuyện về toán học là một câu chuyện dài và ấn tượng.

Phương Đông tiếp tục dẫn đầu, đặc biệt là Trung Quốc , Ấn Độ và đế chế Hồi giáo thời Trung cổ , trước khi trọng tâm của sự đổi mới toán học chuyển trở lại châu Âu vào cuối thời Trung cổ và Phục hưng . Sau đó, một loạt các phát triển cách mạng hoàn toàn mới xảy ra ở Châu Âu thế kỷ 17 và thế kỷ 18 , tạo tiền đề cho sự phức tạp và trừu tượng ngày càng tăng của toán học thế kỷ 19 , và cuối cùng là những khám phá táo bạo và đôi khi tàn khốc của thế kỷ 20.

2. Toán học Sumer/Babylon

11. Toán học Châu âu thời trung cổ

Xương Ishango, một cây gậy kiểm đếm từ Trung Phi, có niên đại khoảng 20.000 năm trước 

Rất lâu trước những văn tự cổ nhất, đã có những bức vẽ cho thấy một kiến thức về toán học và đo thời gian dựa trên sao trời. Ví dụ các nhà cổ sinh vật học đã khám phá ra các mảnh đất thổ hoàng trong một hang động ở Nam Phi được trang trí bởi các hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN.Cũng các di khảo tiền sử được tìm thấy ở châu Phi và Pháp, thời gian khoảng giữa 35000 TCN và 20000 TCN,cho thấy các cố gắng sơ khai nhằm định lượng thời gian.Các bằng chứng còn tồn tại cho thấy việc đếm thời sơ khai chủ yếu là do phụ nữ, những người giữ các vật đánh dấu chu kì sinh học hàng tháng; ví dụ hai mươi tám, hai mươi chín, hoặc ba mươi vạch trên xương hoặc hòn đá, theo sau là một vạch cách biệt khác. 

Tổ tiên tiền sử của chúng ta có một khả năng nhạy cảm chung về số lượng, và theo bản năng sẽ biết được sự khác biệt giữa "một" và "hai" linh dương. Nhưng bước nhảy vọt về trí tuệ từ ý tưởng cụ thể về hai thứ đến việc phát minh ra một biểu tượng hoặc từ ngữ cho ý tưởng trừu tượng về “hai” phải mất nhiều thời đại mới ra đời.

Thậm chí ngày nay, có những bộ lạc săn bắn hái lượm biệt lập ở Amazonia chỉ có những từ chỉ “một”, “hai” và “nhiều”, và những bộ lạc khác chỉ có những từ chỉ số lượng lên đến "năm". Trong trường hợp không có nông nghiệp định cư và thương mại, thì rất ít cần đến một hệ thống số chính thức.

Người Ai Cập và người Sumer tiền triều đại đã thể hiện các thiết kế hình học trên các đồ tạo tác của họ ngay từ thiên niên kỷ thứ 5 trước Công nguyên , cũng như một số xã hội cự thạch ở Bắc Âu vào thiên niên kỷ thứ 3 trước Công nguyên hoặc trước đó. Nhưng đây là nghệ thuật và trang trí nhiều hơn là việc xử lý một cách có hệ thống các hình, mẫu, dạng và số lượng đã được coi là toán học.

Toán học ban đầu được phát triển phần lớn như là một phản ứng với nhu cầu quan liêu khi các nền văn minh định cư và phát triển nông nghiệp – để đo đạc các mảnh đất, đánh thuế cá nhân, v.v. – và điều này lần đầu tiên xảy ra ở các nền văn minh Sumer và Babylon ở Lưỡng Hà (gần đây là Iraq ) và ở Ai Cập cổ đại .

Theo một số nhà chức trách, có bằng chứng về các ký hiệu số học và hình học cơ bản trên các bức tranh khắc đá tại gò chôn cất Knowth và Newgrange ở Ireland (có niên đại lần lượt vào khoảng 3500 TCN và 3200 TCN). Hệ thống này sử dụng ký tự zig-zag lặp đi lặp lại để đếm, một hệ thống tiếp tục được sử dụng ở Anh và Ireland vào thiên niên kỷ 1 trước Công nguyên.

Stonehenge , một di tích thiên văn và nghi lễ thời đồ đá mới ở Anh, có niên đại từ khoảng năm 2300 trước Công nguyên, cũng được cho là trưng bày các ví dụ về việc sử dụng 60 và 360 trong các phép đo vòng tròn, một phương pháp có lẽ đã phát triển khá độc lập với hệ thống đếm thập phân của người Sumer cổ và người Babylon 

Nón đất sét của người Sumer

Sumer (một vùng của Lưỡng Hà, Iraq ngày nay) là nơi sản sinh ra chữ viết, bánh xe, nông nghiệp, vòm, máy cày, thủy lợi và nhiều phát kiến khác, và thường được gọi là Cái nôi của Văn minh. Người Sumer đã phát triển hệ thống chữ viết sớm nhất được biết đến – một hệ thống chữ viết tượng hình được gọi là chữ hình nêm, sử dụng các ký tự hình nêm được khắc trên các viên đất sét nung – và điều này có nghĩa là chúng ta thực sự có nhiều kiến thức về toán học Sumer và Babylon cổ đại hơn so với toán học Ai Cập thời kỳ đầu.

Cũng như ở Ai Cập , toán học của người Sumer ban đầu phần lớn phát triển để đáp ứng nhu cầu quan liêu khi nền văn minh của họ định cư và phát triển nông nghiệp (có thể sớm nhất là vào thiên niên kỷ thứ 6 trước Công nguyên) để đo đạc các thửa đất, đánh thuế cá nhân, v.v. Ngoài ra, người Sumer và người Babylon cần phải mô tả những con số khá lớn khi họ cố gắng lập biểu đồ của bầu trời đêm và phát triển lịch âm tinh vi của họ.

Họ có lẽ là những người đầu tiên gán ký hiệu cho các nhóm đối tượng nhằm cố gắng làm cho việc mô tả các số lớn hơn dễ dàng hơn. Họ đã chuyển từ việc sử dụng các mã thông báo hoặc biểu tượng riêng biệt để đại diện cho các bó lúa mì, lọ dầu, v.v., sang việc sử dụng một biểu tượng trừu tượng hơn cho các con số cụ thể của bất kỳ thứ gì.

Bắt đầu từ thiên niên kỷ thứ 4 trước Công nguyên , họ bắt đầu sử dụng một hình nón đất sét nhỏ để tượng trưng cho "một", một quả cầu đất sét cho "mười", và một hình nón lớn cho "sáu mươi". Trong suốt thiên niên kỷ thứ ba, những đồ vật này đã được thay thế bằng các vật tương đương bằng chữ hình nêm để các con số có thể được viết bằng cùng một loại bút được sử dụng cho các từ trong văn bản. Một mẫu bàn tính thô sơ có lẽ đã được sử dụng ở Sumeria từ những năm 2700 – 2300 TCN.

Hệ thống số Sumer & Babylon: Cơ số 60

Chữ số Babylon

Toán học Sumer và Babylon dựa trên hệ thống số thập phân giới tính , hoặc cơ số 60 , có thể được đếm vật lý bằng cách sử dụng mười hai đốt ngón tay trên một bàn tay và năm ngón tay khác. Không giống như của người Ai Cập , Hy Lạp và La Mã , số Babylon sử dụng hệ giá trị vị trí thực, trong đó các chữ số được viết ở cột bên trái đại diện cho các giá trị lớn hơn, giống như trong hệ thập phân hiện đại, mặc dù tất nhiên là sử dụng cơ số 60 không phải cơ số 10. 

Người ta phỏng đoán rằng những tiến bộ của người Babylon trong toán học có lẽ được tạo điều kiện thuận lợi bởi thực tế là 60 có nhiều ước (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 và 60 – trên thực tế, 60 là số nguyên nhỏ nhất chia hết cho tất cả các số nguyên từ 1 đến 6) và tiếp tục sử dụng trong thời đại ngày nay là 60 giây trong một phút, 60 phút trong một giờ và 360 (60 x 6) độ trong một vòng tròn. Chính vì những lý do tương tự mà 12 (có các hệ số 1, 2, 3, 4 và 6) là một bội số phổ biến trong lịch sử (ví dụ: 12 tháng, 12 inch, 12 pence, 2 x 12 giờ, v.v.).

Người Babylon cũng phát triển một khái niệm toán học mang tính cách mạng khác , một thứ khác mà người Ai Cập , Hy Lạp và La Mã không có, một ký tự hình tròn cho số 0, mặc dù biểu tượng của nó thực sự vẫn mang tính chất giữ chỗ hơn là một con số theo đúng nghĩa của nó.

Có bằng chứng về sự phát triển của một hệ thống đo lường phức tạp trong Sumer từ khoảng 3000 TCN , các bảng nhân và nghịch đảo (chia), bảng bình phương, căn bậc hai và căn bậc hai, các bài tập hình học và các bài toán chia từ khoảng năm 2600 TCN trở đi. Một viên đất sét của người Babylon sau này có niên đại từ khoảng năm 1800 đến năm 1600 trước Công nguyên bao gồm các chủ đề đa dạng như phân số, đại số, phương pháp giải phương trình tuyến tính, bậc hai và thậm chí một số phương trình bậc ba, và phép tính các cặp nghịch đảo thông thường (các cặp số nhân với nhau để cho 60). Một viên đất sét ở Babylon cho giá trị xấp xỉ √2 chính xác đến năm chữ số thập phân đáng kinh ngạc. Những người khác liệt kê các bình phương của các số lên đến 59, các lập phương của các số lên đến 32 cũng như các bảng lãi kép. Tuy nhiên, một người khác đưa ra ước tính cho π là 3,125, một giá trị gần đúng hợp lý của giá trị thực là 3,1416.

Viền đất sét Babylon từ c.2100 TCN cho thấy một vấn đề liên quan đến diện tích của một hình dạng bất thường

Ý tưởng về các số bình phương và phương trình bậc hai (trong đó đại lượng chưa biết được nhân với chính nó, ví dụ: x^2) nảy sinh trong bối cảnh đất đai ít ỏi, và các viên đất sét toán học Babylon cung cấp cho chúng ta bằng chứng đầu tiên về nghiệm của phương trình bậc hai. Cách tiếp cận của người Babylon để giải chúng thường xoay quanh một loại trò chơi hình học cắt và sắp xếp lại các hình, mặc dù việc sử dụng các phương trình đại số và bậc hai cũng xuất hiện. Ít nhất một số ví dụ dường như chỉ ra việc giải quyết vấn đề vì lợi ích của riêng nó hơn là để giải quyết một vấn đề thực tế cụ thể.

Người Babylon đã sử dụng các hình dạng hình học trong các tòa nhà và thiết kế của họ và xúc xắc cho các trò chơi giải trí vốn rất phổ biến trong xã hội của họ, chẳng hạn như trò chơi backgammon cổ đại.Hình học của họ mở rộng đến phép tính diện tích hình chữ nhật, hình tam giác và hình thang, cũng như thể tích của các hình đơn giản như hình gạch và hình trụ (mặc dù không phải hình chóp).

Viên đất sét Plimpton 322

Viên đất sét Plimpton 322 nổi tiếng và gây tranh cãi , được cho là có niên đại khoảng năm 1800 trước Công nguyên, cho thấy rằng người Babylon có thể đã biết rõ bí mật của các tam giác vuông (rằng hình vuông của cạnh huyền bằng tổng hình vuông của hai cạnh còn lại ) nhiều thế kỷ trước Pythagoras của Hy Lạp . Viên đất sét dường như liệt kê 15 tam giác Pythagore hoàn hảo với các cạnh là số nguyên, mặc dù một số người cho rằng chúng chỉ là bài tập học thuật chứ không phải biểu hiện có chủ ý của bộ ba Pitago.

Chữ số tượng hình Ai Cập cổ đại

Những người Ai Cập đầu tiên đã định cư dọc theo thung lũng sông Nile màu mỡ vào khoảng năm 6000 trước Công nguyên, và họ bắt đầu ghi lại các mô hình của các giai đoạn Mặt Trăng và các mùa, vì lý do nông nghiệp và tôn giáo.

Các nhà khảo sát của Pharaoh đã sử dụng phép đo dựa trên các bộ phận cơ thể (lòng bàn tay là chiều rộng của bàn tay, một cubit là số đo từ khuỷu tay đến đầu ngón tay) để đo đất đai và các tòa nhà từ rất sớm trong lịch sử Ai Cập, và một hệ thống số thập phân được phát triển dựa trên mười ngón tay. Tuy nhiên, văn bản toán học cổ nhất của Ai Cập cổ đại được phát hiện cho đến nay là Giấy cói Moscow, có từ thời Trung Vương quốc Ai Cập khoảng 2000 – 1800 trước Công nguyên.

Hệ thống số Ai Cập cổ đại

Người ta cho rằng người Ai Cập đã đưa ra hệ thống số 10 cơ bản phát triển hoàn chỉnh sớm nhất, ít nhất là vào năm 2700 trước Công nguyên (và có thể sớm hơn nữa). Các con số được viết sử dụng một nét cho đơn vị, một biểu tượng xương gót cho hàng chục, một cuộn dây cho hàng trăm và một cây sen cho hàng nghìn, cũng như các biểu tượng chữ tượng hình khác từ mười đến một triệu.

Phương pháp nhân giống Ai Cập cổ đạiRhind Papyrus, có niên đại khoảng năm 1650 trước Công nguyên, là một loại sổ tay hướng dẫn về số học và hình học, và nó cung cấp cho chúng ta những minh chứng rõ ràng về cách nhân và chia được thực hiện vào thời điểm đó. Nó cũng chứa bằng chứng về các kiến thức toán học khác, bao gồm phân số đơn vị, hợp số và số nguyên tố, phương tiện số học, hình học và hàm điều hòa, và cách giải phương trình tuyến tính bậc nhất cũng như chuỗi số học và hình học. Berlin Papyrus, có niên đại khoảng năm 1300 trước Công nguyên, cho thấy người Ai Cập cổ đại có thể giải các phương trình đại số bậc hai (bậc hai).Ví dụ, phép nhân đạt được bằng một quá trình lặp đi lặp lại nhân đôi số được nhân ở bên này và của bên kia, về cơ bản là một kiểu nhân các thừa số nhị phân tương tự như được sử dụng bởi máy tính hiện đại (xem ví dụ bên phải ). Sau đó, các khối bộ đếm tương ứng này có thể được sử dụng như một loại bảng tham chiếu phép nhân: đầu tiên, kết hợp lũy thừa của hai cộng lại với số cần nhân được tách biệt, và sau đó các khối bộ đếm tương ứng ở phía bên kia cho kết quả câu trả lời. Điều này đã sử dụng hiệu quả khái niệm số nhị phân, hơn 3.000 năm trước khi Leibniz giới thiệu nó vào phương Tây, và nhiều năm nữa trước khi sự phát triển của máy tính nhằm khám phá hết tiềm năng của nó.

Các vấn đề thực tế của thương mại và thị trường đã dẫn đến sự phát triển của ký hiệu phân số. Giấy papyri chứng minh việc sử dụng các phân số đơn vị dựa trên biểu tượng của Eye of Horus, trong đó mỗi phần của mắt đại diện cho một phần khác nhau, mỗi phần của phần trước đó (tức là nửa, phần tư, phần tám, mười sáu. , ba mươi hai, sáu mươi tư), sao cho tổng số ngắn hơn một trong sáu mươi tư của tổng thể, ví dụ đầu tiên được biết đến về một chuỗi hình học.

Phương pháp phân chia của người Ai Cập cổ đại

Phân số đơn vị cũng có thể được sử dụng cho các phép chia đơn giản. Ví dụ, nếu họ cần chia 3 ổ bánh cho 5 người, trước tiên họ chia hai trong số ổ bánh thành phần ba và ổ bánh thứ ba thành phần năm, sau đó họ sẽ chia phần ba còn lại từ ổ bánh thứ hai thành năm phần. Do đó, mỗi người sẽ nhận được một phần ba cộng với một phần năm cộng với một phần mười lăm (tổng là ba phần năm, như chúng ta mong đợi).

Người Ai Cập đã tính gần đúng diện tích của một hình tròn bằng cách sử dụng các hình có diện tích mà họ biết. Họ quan sát thấy rằng diện tích của hình tròn có đường kính 9 đơn vị chẳng hạn, rất gần với diện tích của hình vuông có các cạnh là 8 đơn vị, do đó có thể thu được diện tích của các hình tròn có đường kính khác bằng cách nhân đường kính với 8 ⁄ 9 và sau đó bình phương nó. Điều này cho phép giá trị xấp xỉ hiệu dụng của π chính xác trong khoảng dưới một phần trăm.

Bản thân các kim tự tháp là một dấu hiệu khác cho thấy sự tinh vi của toán học Ai Cập. Bỏ qua những tuyên bố rằng kim tự tháp là cấu trúc đầu tiên được biết đến theo tỷ lệ vàng 1: 1.618 (có thể xảy ra vì lý do thẩm mỹ hoàn toàn chứ không phải toán học), chắc chắn có bằng chứng cho thấy họ biết công thức về thể tích của kim tự tháp -1/3 lần chiều cao nhân với chiều dài nhân với chiều rộng – cũng như của một kim tự tháp bị cắt hoặc cắt bớt.

Họ cũng đã biết, từ rất lâu trước Pythagoras , về quy tắc rằng một tam giác với các cạnh 3, 4 và 5 đơn vị tạo ra một góc vuông hoàn hảo và các nhà xây dựng Ai Cập đã sử dụng dây thừng thắt nút theo khoảng cách 3, 4 và 5 đơn vị để đảm bảo chính xác. Góc cho đồ đá của họ (trên thực tế, tam giác vuông 3-4-5 thường được gọi là “Ai Cập”).

Chữ số Anh Hùng Hy Lạp cổ đại

Khi đế chế Hy Lạp bắt đầu lan rộng phạm vi ảnh hưởng của mình sang Tiểu Á, Lưỡng Hà và xa hơn nữa, người Hy Lạp đủ thông minh để tiếp nhận và điều chỉnh các yếu tố hữu ích từ các xã hội mà họ chinh phục. Điều này cũng đúng với toán học của họ như bất cứ điều gì khác, và họ đã áp dụng các yếu tố toán học của cả người Babylon và người Ai Cập . Nhưng họ đã sớm bắt đầu có những đóng góp quan trọng theo ý mình và lần đầu tiên chúng ta có thể ghi nhận những đóng góp của các cá nhân. Vào thời kỳ Hy Lạp hóa , người Hy Lạp đã chủ trì một trong những cuộc cách mạng quan trọng và ấn tượng nhất trong tư tưởng toán học mọi thời đại.

Các chữ số Attic hoặc Herodianic

Các hệ thống chữ số Hy Lạp cổ đại , được gọi là Attic hoặc chữ số Herodianic , được phát triển đầy đủ khoảng 450 TCN , và được sử dụng thường xuyên có thể sớm nhất là vào thứ 7 thế kỷ trước Công Nguyên. Đó là hệ thống cơ số 10 tương tự như hệ thống của người Ai Cập trước đó (và thậm chí còn giống với hệ thống La Mã sau này ), với các ký hiệu cho 1, 5, 10, 50, 100, 500 và 1.000 được lặp lại nhiều lần để thể hiện số mong muốn . Phép cộng được thực hiện bằng cách cộng riêng các ký hiệu (1s, 10s, 100s, v.v.) trong các số được thêm vào, và phép nhân là một quá trình tốn nhiều công sức dựa trên các phép nhân đôi liên tiếp (phép chia dựa trên nghịch đảo của quá trình này).

Định lý đánh chặn của Thales

Định lý đánh chặn của Thales

Nhưng hầu hết toán học Hy Lạp dựa trên hình học. Thales , một trong bảy nhà hiền triết của Hy Lạp cổ đại , sống trên bờ biển Ionian thuộc Tiểu Á vào nửa đầu thế kỷ 6 trước Công nguyên, thường được coi là người đầu tiên đưa ra các hướng dẫn cho sự phát triển trừu tượng của hình học, mặc dù những gì chúng ta biết về công việc của anh ấy (chẳng hạn như về các tam giác đồng dạng và vuông) bây giờ có vẻ khá sơ đẳng.

Thales đã thiết lập cái được gọi là Định lý Thales , theo đó nếu một tam giác được vẽ trong một đường tròn với cạnh dài là đường kính của đường tròn, thì góc đối diện sẽ luôn là góc vuông (cũng như một số tính chất liên quan khác được suy ra từ đây). Ông cũng được ghi nhận với một định lý khác, còn được gọi là Định lý Thales hoặc Định lý đánh chặn , về tỷ lệ của các đoạn thẳng được tạo ra nếu hai đường giao nhau bị chặn bởi một cặp song song (và, mở rộng, tỷ lệ của các cạnh của tam giác đồng dạng).

Tuy nhiên, ở một mức độ nào đó, huyền thoại về nhà toán học Pythagoras của Samos vào thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên đã trở thành đồng nghĩa với sự ra đời của toán học Hy Lạp. Thật vậy, ông được cho là đã đặt ra cả hai từ “triết học” (“ tình yêu của sự khôn ngoan ”) và “ toán học ” (“ cái được học ”). Pythagoras có lẽ là người đầu tiên nhận ra rằng có thể xây dựng một hệ thống toán học hoàn chỉnh, trong đó các yếu tố hình học tương ứng với các con số. Định lý Pythagoras (hay Định lý Pitago) là một trong những định lý toán học được biết đến nhiều nhất. Nhưng ông vẫn là một nhân vật gây tranh cãi, như chúng ta sẽ thấy , và toán học Hy Lạp hoàn toàn không giới hạn ở một người.

Bà vấn đề cổ điểnBài toán hình học nói riêng, thường được gọi là Ba bài toán cổ điển, và tất cả đều được giải bằng các phương tiện hình học thuần túy chỉ sử dụng một cạnh thẳng và compa, có từ những ngày đầu của hình học Hy Lạp: “ bình phương (hay vuông góc) của hình tròn ”,“ sự nhân đôi (hoặc nhân đôi) của hình lập phương ”và“ phần ba của một góc ”. Những vấn đề khó hiểu này có ảnh hưởng sâu sắc đến hình học trong tương lai và dẫn đến nhiều khám phá hiệu quả, mặc dù các giải pháp thực tế của chúng (hoặc hóa ra là các bằng chứng về sự bất khả thi của chúng) phải đợi đến Thế kỷ 19 .

Hippocrates of Chios (đừng nhầm với bác sĩ Hy Lạp vĩ đại Hippocrates of Ko). Là một trong những nhà toán học Hy Lạp như vậy, người đã tự áp dụng các bài toán này vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên (đóng góp của ông cho bài toán “bình phương vòng tròn” được gọi là Lune of Hippocrates). Cuốn sách có ảnh hưởng của ông “ Các yếu tố ”, ra đời vào khoảng năm 440 trước Công nguyên, là bộ sưu tập đầu tiên về các yếu tố của hình học, và công trình của ông là nguồn quan trọng cho công trình nghiên cứu sau này của Euclid .

Nghịch lý của Zeno về Achilles và Rùa

Nghịch lý của Zeno về Achilles và Rùa

Chính người Hy Lạp là những người đầu tiên vật lộn với ý tưởng về sự vô hạn, như được mô tả trong các nghịch lý nổi tiếng được quy cho nhà triết học Zeno xứ Elea vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên . Nghịch lý nổi tiếng nhất của ông là Achilles và Rùa, mô tả một cuộc chạy đua trên lý thuyết giữa Achilles và một con rùa. Achilles cho con rùa khởi đầu chậm hơn nhiều, nhưng khi Achilles đến điểm xuất phát của con rùa, con rùa đã tiến lên phía trước. Vào thời điểm Achilles đạt đến điểm đó, con rùa lại tiếp tục di chuyển, v.v., v.v., vì vậy về nguyên tắc, Achilles nhanh nhẹn không bao giờ có thể đuổi kịp con rùa chậm chạp.

Nghịch lý chẳng hạn như nghịch lý này và cái gọi là Nghịch lý lưỡng phân của Zeno dựa trên khả năng phân chia vô hạn của không gian và thời gian, và dựa trên ý tưởng rằng một nửa cộng một phần tư cộng với một phần tám cộng với một phần mười sáu, v.v., đến vô cùng sẽ không bao giờ đúng bằng một tổng thể. Tuy nhiên, nghịch lý bắt nguồn từ giả định sai lầm rằng không thể hoàn thành vô số dấu gạch ngang rời rạc trong một thời gian hữu hạn, mặc dù rất khó để chứng minh một cách dứt khoát sai lầm. Aristotle người Hy Lạp cổ đại là người đầu tiên trong số nhiều người cố gắng bác bỏ những nghịch lý, đặc biệt vì ông tin chắc rằng vô cực chỉ có thể là tiềm năng chứ không phải là thực.

Democritus , nổi tiếng với những ý tưởng tiên tri về mọi vật chất được cấu tạo từ các nguyên tử nhỏ bé, cũng là nhà tiên phong của toán học và hình học trong thế kỷ thứ 5 – thứ 4 trước Công nguyên, và ông đã tạo ra các tác phẩm với tiêu đề như “ On Numbers “, “ On Geometrics “, “ On Tangencies ”, “ On Mapping ” và “ On Irrationals ”, mặc dù những tác phẩm này đã không tồn tại. Chúng ta biết rằng ông là một trong những người đầu tiên quan sát thấy một hình nón (hoặc hình chóp) có thể tích bằng một phần ba hình trụ (hoặc lăng trụ) có cùng đáy và chiều cao, và ông có lẽ là người đầu tiên nghiêm túc xem xét phép chia của các đối tượng thành vô số mặt cắt ngang.

Tuy nhiên, điều chắc chắn đúng là Pythagoras nói riêng đã ảnh hưởng rất nhiều đến những người sau ông, bao gồm Plato , người đã thành lập Học viện nổi tiếng của mình ở Athens vào năm 387 trước Công nguyên, và người bảo trợ của ông là Aristotle, người có công trình nghiên cứu logic được coi là dứt khoát trong hơn hai nghìn năm. . Plato nhà toán học được biết đến nhiều nhất với mô tả của ông về năm chất rắn Platonic, nhưng giá trị của công việc của ông với tư cách là một giáo viên và người phổ biến toán học không thể được phóng đại.

Học trò của Plato , Eudoxus ở Cnidus, thường được ghi nhận là người đầu tiên thực hiện “phương pháp cạn kiệt” (sau này được Archimedes phát triển ), một phương pháp tích phân ban đầu bằng các phép gần đúng liên tiếp mà ông đã sử dụng để tính thể tích của hình chóp và hình nón. . Ông cũng phát triển một lý thuyết tổng quát về tỷ lệ, có thể áp dụng cho các cường độ không thể so sánh được (không hợp lý) không thể biểu thị bằng tỷ số của hai số nguyên, cũng như các cường độ có thể so sánh được (hợp lý), do đó mở rộng những ý tưởng chưa hoàn thiện của Pythagoras .

Tuy nhiên, có lẽ đóng góp quan trọng nhất của người Hy Lạp – và Pythagoras , Plato và Aristotle đều có ảnh hưởng về mặt này – là ý tưởng về chứng minh, và phương pháp suy diễn sử dụng các bước logic để chứng minh hoặc bác bỏ các định lý từ các tiên đề giả định ban đầu. Các nền văn hóa lâu đời hơn, như người Ai Cập và người Babylon , đã dựa vào suy luận quy nạp, tức là sử dụng các quan sát lặp đi lặp lại để thiết lập các quy tắc chung. Chính khái niệm chứng minh này đã cung cấp cho toán học sức mạnh của nó và đảm bảo rằng các lý thuyết đã được chứng minh là đúng ngày nay như chúng cách đây hai nghìn năm, và đặt nền móng cho phương pháp tiếp cận toán học có hệ thống của Euclid và những người sau ông.

Rây của Eratosthenes

Đến thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên , sau các cuộc chinh phục của Alexander Đại đế, các đột phá toán học cũng bắt đầu được thực hiện ở các rìa của đế chế Hy Lạp hóa Hy Lạp .

Đặc biệt, Alexandria ở Ai Cập đã trở thành một trung tâm học tập tuyệt vời dưới sự cai trị tốt đẹp của Ptolemies, và Thư viện nổi tiếng của nó sớm nổi tiếng sánh ngang với Học viện Athen. Những người bảo trợ của Thư viện được cho là những nhà khoa học chuyên nghiệp đầu tiên, được trả tiền cho sự cống hiến của họ cho nghiên cứu. Trong số những nhà toán học nổi tiếng nhất và có ảnh hưởng nhất đã học và giảng dạy tại Alexandria là Euclid , Archimedes , Eratosthenes, Heron, Menelaus và Diophantus .

Trong cuối thế kỷ thứ 4 và đầu thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên , Euclid là nhà biên niên sử vĩ đại của toán học thời đó, và là một trong những giáo viên có ảnh hưởng nhất trong lịch sử. Ông ấy hầu như đã phát minh ra hình học cổ điển (Euclid) như chúng ta biết. Archimedes đã dành phần lớn cuộc đời của mình ở Syracuse, Sicily, nhưng cũng học một thời gian ở Alexandria. Ông có lẽ được biết đến nhiều nhất với tư cách là một kỹ sư và nhà phát minh, nhưng dưới ánh sáng của những khám phá gần đây, ông được coi là một trong những nhà toán học thuần túy vĩ đại nhất mọi thời đại. Eratosthenes của Alexandria gần cùng thời với Archimedes vào thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên. Là một nhà toán học, thiên văn học và địa lý học, ông đã nghĩ ra hệ thống vĩ độ và kinh độ đầu tiên, và tính toán chu vi của trái đất với độ chính xác đáng kinh ngạc. Là một nhà toán học, di sản lớn nhất của ông là thuật toán “ Sieve of Eratosthenes ” để xác định các số nguyên tố.

Menelaus ở Alexandria đưa ra khái niệm về tam giác cầu

Người ta không biết chính xác Thư viện lớn của Alexandria bị thiêu rụi khi nào , nhưng Alexandria vẫn là một trung tâm tri thức quan trọng trong vài thế kỷ. Vào thế kỷ 1 trước Công nguyên, Heron (hay Anh hùng) là một nhà phát minh vĩ đại khác của Alexandria, được biết đến nhiều nhất trong giới toán học về hình tam giác Heronian (hình tam giác có các cạnh là số nguyên và diện tích là số nguyên), Công thức của Heron để tìm diện tích của một tam giác từ độ dài các cạnh của nó, và Phương pháp Heron để tính toán căn bậc hai lặp đi lặp lại. Ông cũng là nhà toán học đầu tiên đối đầu với ít nhất ý tưởng về √-1 (mặc dù ông không biết làm thế nào để xử lý nó, điều phải đợi đến Tartaglia và Cardano vào thế kỷ 16 ).

Menelaus ở Alexandria , sống vào thế kỷ 1 – 2 sau CN, là người đầu tiên công nhận các đường trắc địa trên một bề mặt cong là tương tự tự nhiên của các đường thẳng trên một mặt phẳng. Cuốn sách của ông “Sphaerica” xử lý hình học của mặt cầu và ứng dụng của nó trong các phép đo thiên văn và tính toán, và giới thiệu các khái niệm về tam giác hình cầu (một nhân vật hình thành của ba vòng cung vòng tròn lớn, mà ông đặt tên là “ trilaterals “).

Vào thế kỷ thứ 3 sau CN, Diophantus của Alexandria là người đầu tiên công nhận phân số là số, và được coi là nhà phát kiến sớm trong lĩnh vực mà sau này được gọi là đại số. Anh ấy đã tự áp dụng mình vào một số bài toán đại số khá phức tạp, bao gồm cái mà ngày nay được gọi là Phân tích Diophantine, đề cập đến việc tìm ra các nghiệm nguyên cho các loại bài toán dẫn đến phương trình ở một số ẩn số (phương trình Diophantine). “Arithmetica” của Diophantus , một tập hợp các bài toán đưa ra các giải pháp số của cả phương trình xác định và vô định, là công trình nổi bật nhất về đại số trong tất cả toán học Hy Lạp, và các bài toán của ông đã rèn luyện trí óc của nhiều nhà toán học giỏi nhất thế giới trong phần lớn thời gian tiếp theo. Hai thiên niên kỷ.

Phần Conic của Apollonius

Các phần Conic của Apollonius

Nhưng Alexandria không phải là trung tâm học tập duy nhất của đế chế Hy Lạp Hy Lạp hóa. Cũng nên đề cập đến Apollonius của Perga (một thành phố ở miền nam Thổ Nhĩ Kỳ ngày nay), người có công trình cuối thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên về hình học (và đặc biệt là về hình học và phần hình nón ) đã có ảnh hưởng rất lớn đối với các nhà toán học châu Âu sau này. Chính Apollonius là người đã đặt tên cho elip, parabol và hyperbol mà chúng ta biết chúng, và chỉ ra cách chúng có thể được lấy từ các phần khác nhau thông qua một hình nón.

Hipparchus, cũng đến từ Hellenistic Anatolia và sống ở Thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên, có lẽ là người vĩ đại nhất trong số các nhà thiên văn học cổ đại. Ông đã làm sống lại việc sử dụng các kỹ thuật số học do người Chaldea và Babylon phát triển lần đầu tiên , và thường được ghi nhận là người có công đầu với lượng giác. Ông đã tính toán (với độ chính xác đáng kể về thời gian) khoảng cách của mặt trăng với trái đất bằng cách đo các phần khác nhau của mặt trăng có thể nhìn thấy ở các vị trí khác nhau và tính toán khoảng cách bằng cách sử dụng các tính chất của hình tam giác. Ông tiếp tục tạo ra bảng hợp âm đầu tiên (độ dài các cạnh tương ứng với các góc khác nhau của tam giác). Vào thời nhà thiên văn học Alexandria vĩ đại Ptolemy.Tuy nhiên, vào thế kỷ thứ 2 CN, sự thành thạo của người Hy Lạp đối với các thủ tục số đã tiến triển đến mức Ptolemy có thể đưa vào cuốn “Almagest” của mình một bảng các hợp âm lượng giác trong một vòng tròn cho các bước ¼ ° (mặc dù được biểu thị theo giới tính trong tiếng Babylon style) chính xác đến khoảng năm chữ số thập phân.

Tuy nhiên, đến giữa thế kỷ thứ nhất trước Công nguyên và sau đó, người La Mã đã siết chặt hơn đế chế Hy Lạp cũ. Người La Mã không sử dụng toán học thuần túy, chỉ sử dụng cho các ứng dụng thực tế của nó, và chế độ Cơ đốc theo sau nó thậm chí còn ít hơn. Cú đánh cuối cùng đối với di sản toán học Hy Lạp tại Alexandria có thể được nhìn thấy trong hình bóng của Hypatia, nhà toán học nữ đầu tiên được ghi nhận, và một giáo viên nổi tiếng, người đã viết một số bình luận đáng kính về Diophantus và Apollonius. Cô bị kéo đến chết bởi một đám đông Cơ đốc giáo vào năm 415 CN.

Số La Mã

Vào giữa thế kỷ 1 trước Công nguyên , người La Mã đã siết chặt vòng vây của họ đối với các đế chế Hy Lạp và Hy Lạp cổ đại , và cuộc cách mạng toán học của người Hy Lạp bắt đầu dừng lại. Bất chấp tất cả những tiến bộ của họ trong các khía cạnh khác, không có phát kiến toán học nào xảy ra dưới thời Đế chế La Mã và Cộng hòa , và không có nhà toán học nào được chú ý. Người La Mã không sử dụng toán học thuần túy, chỉ sử dụng cho các ứng dụng thực tế của nó, và chế độ Cơ đốc giáo theo sau nó (sau khi Cơ đốc giáo trở thành tôn giáo chính thức của đế chế La Mã) thậm chí còn ít hơn.

Số học Là Mã

Chữ số La Mã ngày nay được nhiều người biết đến và là hệ thống số thống trị cho thương mại và hành chính ở hầu hết châu Âu trong suốt một thiên niên kỷ. Đó là hệ thập phân (cơ số 10) nhưng không có vị trí trực tiếp, và không bao gồm số 0, do đó, đối với mục đích số học và toán học, nó là một hệ thống vụng về và kém hiệu quả. Nó dựa trên các chữ cái trong bảng chữ cái La Mã – I, V, X, L, C, D và M – kết hợp để biểu thị tổng giá trị của chúng (ví dụ: VII = V + I + I = 7).

Sau đó, một ký hiệu trừ cũng được thông qua, ví dụ như VIIII, được thay thế bằng IX (10 – 1 = 9), đơn giản hóa việc viết các số một chút, nhưng làm cho việc tính toán thậm chí còn khó khăn hơn, yêu cầu chuyển đổi ký hiệu trừ tại đầu của một tổng và sau đó là ứng dụng lại của nó ở cuối (xem hình ảnh bên phải). Do khó khăn khi viết số học bằng cách sử dụng ký hiệu số La Mã, các phép tính thường được thực hiện bằng bàn tính, dựa trên abaci của người Babylon và Hy Lạp trước đó .

Chữ số của người Maya

Các nền văn minh Maya đã định cư tại khu vực Trung Mỹ từ khoảng 2000 TCN, mặc dù cái gọi là thời kỳ cổ điển trải dài từ khoảng 250 CE đến 900 CE. Vào thời kỳ đỉnh cao, nó là một trong những xã hội năng động về văn hóa và dân cư đông đúc nhất trên thế giới.

Tầm quan trọng của thiên văn học và tính toán lịch trong xã hội Maya đòi hỏi phải có toán học, và người Maya đã xây dựng khá sớm một hệ thống số rất tinh vi, có thể tiên tiến hơn bất kỳ hệ thống số nào khác trên thế giới vào thời điểm đó (mặc dù việc xác định niên đại của sự phát triển là khá khó khăn).

Hệ thập phân – Hệ cơ số 20

Người Maya và các nền văn hóa Mesoamerican khác sử dụng hệ thống số thập phân dựa trên cơ số 20 , (và ở một mức độ nào đó, cơ số 5), có lẽ ban đầu được phát triển từ việc đếm ngón tay và ngón chân. Các chữ số chỉ bao gồm ba ký hiệu: số 0, được biểu diễn dưới dạng hình vỏ sò; một, một dấu chấm; và năm, một thanh. Do đó, phép cộng và phép trừ là một vấn đề tương đối đơn giản khi cộng các dấu chấm và thanh. Sau số 19, các số lớn hơn được viết theo kiểu định dạng giá trị vị trí thẳng đứng sử dụng các lũy thừa 20: 1, 20, 400, 8000, 160000, v.v. (xem hình trên), mặc dù trong phép tính lịch, họ đã cho vị trí thứ ba là giá trị 360 thay vì 400 (các vị trí cao hơn hoàn nguyên về bội số của 20).

Người Maya tiền cổ điển đã độc lập phát triển khái niệm số 0 (số 0 của người Maya ) ít nhất là sớm nhất vào năm 36 trước Công nguyên, và có bằng chứng về việc họ đã làm việc với số tiền lên đến hàng trăm triệu và với niên đại lớn đến mức đó. Mất vài dòng chỉ để đại diện cho chúng. Mặc dù không sở hữu khái niệm về phân số, họ đã tạo ra các quan sát thiên văn cực kỳ chính xác mà không sử dụng dụng cụ nào khác ngoài que và có thể đo độ dài của năm mặt trời với độ chính xác cao hơn nhiều so với độ dài được sử dụng ở châu Âu (tính toán của họ cho ra 365,242 ngày , so với giá trị hiện đại là 365,242198), cũng như độ dài của tháng âm lịch (ước tính của họ là 29,5308 ngày, so với giá trị hiện đại là 29,53059).

Tuy nhiên, do sự cách biệt về địa lý, toán học của người Maya và Mesoamerican hoàn toàn không có ảnh hưởng gì đến hệ thống đánh số và toán học của Cựu thế giới (châu Âu và châu Á).

Hệ thống số Trung Quốc

Ngay cả khi sự phát triển toán học trong thế giới Hy Lạp cổ đại bắt đầu chững lại trong những thế kỷ cuối cùng trước Công nguyên, đế chế thương mại đang phát triển của Trung Quốc đã đưa toán học Trung Quốc lên một tầm cao hơn bao giờ hết.

Hệ thống đánh số Trung Quốc cổ đại đơn giản nhưng hiệu quả , có từ ít nhất là thiên niên kỷ thứ 2 trước Công nguyên, sử dụng các thanh tre nhỏ được sắp xếp để biểu thị các số từ 1 đến 9, sau đó được đặt trong các cột đại diện cho đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn, v.v. Do đó, nó là một hệ thống giá trị chữ số thập phân , rất giống với hệ thống số mà chúng ta sử dụng ngày nay – thực sự nó là hệ thống số đầu tiên như vậy, được người Trung Quốc áp dụng hơn một nghìn năm trước khi nó được áp dụng ở phương Tây – và nó thậm chí tính toán phức tạp rất nhanh chóng và dễ dàng.

Tuy nhiên, số viết ra sử dụng hệ thống kém hiệu quả hơn một chút là sử dụng một ký hiệu khác cho hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn, v.v. Điều này phần lớn là do không có khái niệm hoặc ký hiệu số 0, và nó có tác dụng hạn chế tính hữu dụng của chữ viết số bằng tiếng Trung.

Việc sử dụng bàn tính thường được coi là ý tưởng của người Trung Quốc, mặc dù một số loại bàn tính đã được sử dụng ở Lưỡng Hà , Ai Cập và Hy Lạp , có lẽ sớm hơn nhiều so với ở Trung Quốc (bàn tính đầu tiên của Trung Quốc, hay “suanpan”, chúng ta biết về niên đại đến khoảng thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên).

Quảng trường ma thuật Lo Shu

Hình vuông ma thuật Lo Shu, với biểu diễn đồ hoạ truyền thống

Có một niềm đam mê lan rộng với các con số và các mẫu toán học ở Trung Quốc cổ đại, và các con số khác nhau được cho là có ý nghĩa vũ trụ. Đặc biệt, các ô vuông ma thuật – ô vuông gồm các số mà mỗi hàng, cột và đường chéo cộng lại với nhau thành tổng số như nhau – được coi là có ý nghĩa lớn về mặt tâm linh và tôn giáo.

Các Lo Shu vuông , một trật tự ba vuông trong đó mỗi hàng, cột và chéo cho biết thêm lên đến 15, có lẽ là sớm nhất trong số này, có niên đại từ khoảng năm 650 TCN (truyền thuyết về phát hiện của quảng trường Hoàng đế Yu trên mặt sau của một con rùa được lấy bối cảnh diễn ra vào khoảng 2800 TCN). Nhưng ngay sau đó, những hình vuông ma thuật lớn hơn đã được xây dựng, với sức mạnh phép thuật và toán học thậm chí còn lớn hơn, đỉnh điểm là những hình vuông, hình tròn và hình tam giác ma thuật phức tạp của Yang Hui vào thế kỷ 13 (Yang Hui cũng tạo ra một biểu diễn tam giác của hệ số nhị thức giống hệt như sau Pascals ‘Triangle, và có lẽ là người đầu tiên sử dụng phân số thập phân ở dạng hiện đại).

Phương pháp giải phương trình sớm của Trung Quốc

Phương pháp giải phương trình sơ khai của Trung Quốc

Nhưng lực đẩy chính của toán học Trung Quốc đã phát triển để đáp ứng nhu cầu ngày càng tăng của đế chế đối với các nhà quản trị có năng lực toán học. Một cuốn sách giáo khoa có tên “Jiuzhang Suanshu” hoặc “ Chín chương về nghệ thuật toán học “ (được viết trong một khoảng thời gian từ khoảng năm 200 trước Công nguyên trở đi, có lẽ bởi nhiều tác giả) đã trở thành một công cụ quan trọng trong việc giáo dục các nền công vụ như vậy hàng trăm vấn đề trong các lĩnh vực thực tế như thương mại, thuế, kỹ thuật và thanh toán tiền lương.

Nó đặc biệt quan trọng như một hướng dẫn cách giải các phương trình – suy ra một số chưa biết từ các thông tin đã biết khác – bằng cách sử dụng một phương pháp dựa trên ma trận phức tạp chưa từng xuất hiện ở phương Tây cho đến khi Carl Friedrich Gauss phát hiện lại nó vào đầu năm thế kỷ 19 (và bây giờ được gọi là loại bỏ Gaussian).

Trong số các nhà toán học vĩ đại nhất của Trung Quốc cổ đại có Liu Hui, người đã đưa ra một bình luận chi tiết về “Cửu chương” vào năm 263 CN, là một trong những nhà toán học đầu tiên được biết đến là không đánh giá gốc rễ, đưa ra kết quả chính xác hơn thay vì gần đúng. Bằng phép tính gần đúng sử dụng một đa giác đều có 192 cạnh, ông cũng đã xây dựng một thuật toán tính giá trị của π là 3,14159 (chính xác đến năm chữ số thập phân), cũng như phát triển một dạng rất sớm của cả phép tính tích phân và vi phân.

Định lý Phần dư Trung Quốc

Định lý phần dư Trung Quốc

Tuy nhiên, người Trung Quốc tiếp tục giải các phương trình phức tạp hơn nhiều bằng cách sử dụng những con số lớn hơn nhiều so với những con số được nêu trong “Cửu chương”. Họ cũng bắt đầu theo đuổi các vấn đề toán học trừu tượng hơn (mặc dù thường được đặt trong các thuật ngữ thực tế khá giả tạo), bao gồm cả cái được gọi là Định lý Phần dư Trung Quốc. Điều này sử dụng phần dư sau khi chia một số chưa biết cho liên tiếp các số nhỏ hơn, chẳng hạn như 3, 5 và 7, để tính giá trị nhỏ nhất của số chưa biết. Một kỹ thuật để giải quyết những vấn đề như vậy, ban đầu do Tôn Tử đặt ra vào thế kỷ thứ 3 sau CN và được coi là một trong những viên ngọc quý của toán học, đã được các nhà thiên văn Trung Quốc sử dụng để đo chuyển động của các hành tinh vào thế kỷ thứ 6 sau CN, và thậm chí ngày nay nó còn có những ứng dụng thực tế. Chẳng hạn như trong mật mã Internet.

Đến thế kỷ 13, thời kỳ hoàng kim của toán học Trung Quốc, đã có hơn 30 trường toán học danh tiếng nằm rải rác khắp Trung Quốc. Có lẽ nhà toán học xuất sắc nhất của Trung Quốc thời này là Qin Jiushao, một chiến binh và quản lý triều đình khá bạo lực và tham nhũng, người đã khám phá ra các giải pháp cho phương trình bậc hai và thậm chí bậc ba bằng cách sử dụng một phương pháp xấp xỉ lặp lại rất giống với phương pháp sau này do Ngài Isaac phát minh ra ở phương Tây. Newton vào thế kỷ 17. Qin thậm chí còn mở rộng kỹ thuật của mình để giải (mặc dù gần đúng) các phương trình liên quan đến các số lên đến mười, một phép toán cực kỳ phức tạp vào thời đó.

Sự phát triển của chữ số Hindu-Ả Rập

Mặc dù phát triển khá độc lập với tiếng Trung Quốc (và có lẽ cả với toán học Babylon ), một số khám phá toán học rất tiên tiến đã được thực hiện vào thời gian rất sớm ở Ấn Độ.

Có bằng chứng về việc sử dụng các phép toán số học như cộng, trừ, nhân, phân số, bình phương, lập phương và căn.Một văn bản tiếng Phạn ở thế kỷ thứ 4 sau Công nguyên tường thuật Đức Phật liệt kê các số lên đến 10^53 . Cho rằng ước tính có khoảng 10^80 nguyên tử trong toàn thể vũ trụ, điều này gần như vô hạn như bất kỳ nguyên tử nào trong thế giới cổ đại đã từng đến. Nó cũng mô tả một loạt các lần lặp lại với kích thước giảm dần, để chứng minh kích thước của một nguyên tử, gần đáng kể với kích thước thực của một nguyên tử cacbon (khoảng 70 phần nghìn tỷ mét).

Ngay từ thế kỷ thứ 8 trước Công nguyên, rất lâu trước thời Pythagoras , một văn bản được gọi là “ Sulba Sutras ” (hoặc “ Sulva Sutras ”) đã liệt kê một số bộ ba đơn giản của Pythagore, cũng như một tuyên bố về định lý Pythagore đơn giản cho các cạnh của hình vuông. Và đối với một hình chữ nhật (thực sự, có vẻ như rất có thể Pythagoras đã học hình học cơ bản của mình từ “ Kinh điển Sulba “). Kinh cũng chứa các nghiệm hình học của phương trình tuyến tính và bậc hai trong một ẩn số duy nhất, và đưa ra một con số chính xác đáng kể cho căn bậc hai của 2, thu được bằng cách cộng 1 + 1 ⁄ 3 + 1 ⁄ (3 x 4) – 1 ⁄ (3 x 4 x 34) , mang lại giá trị là 1.4142156, chính xác đến 5 chữ số thập phân.

Ngay từ thế kỷ thứ 3 hoặc thứ 2 trước Công nguyên, các nhà toán học Jain đã công nhận năm loại vô hạn khác nhau: vô hạn theo một hướng, hai hướng, trong khu vực, vô hạn ở mọi nơi và vĩnh viễn vô hạn. Văn học Phật giáo cổ đại cũng thể hiện một nhận thức khoa học về những con số vô định và vô hạn, với những con số được coi là có ba loại: đếm được, không đếm được và vô hạn.

Giống như người Trung Quốc , người Ấn Độ sớm phát hiện ra lợi ích của hệ thống số giá trị vị trí thập phân và chắc chắn đã sử dụng nó trước khoảng thế kỷ thứ 3 sau CN. Họ đã tinh chỉnh và hoàn thiện hệ thống, đặc biệt là cách biểu diễn bằng chữ viết của các chữ số, tạo ra tổ tiên của chín chữ số mà chúng ta sử dụng trên toàn thế giới ngày nay (nhờ sự phổ biến của nó bởi các nhà toán học Ả Rập thời trung cổ ), đôi khi được coi là một trong những phát kiến trí tuệ vĩ đại nhất thời gian.

Số lần sử dụng ký tự vòng tròn được ghi nhận sớm nhất là Số 0

Việc sử dụng ký tự vòng tròn cho số 0 sớm nhất là ở Ấn Độ

Người da đỏ cũng chịu trách nhiệm về một sự phát triển cực kỳ quan trọng khác trong toán học. Việc sử dụng ký tự vòng tròn cho số 0 được ghi nhận sớm nhất thường là do một bản khắc vào thế kỷ thứ 9 trong một ngôi đền ở Gwalior, miền trung Ấn Độ. Nhưng bước nhảy vọt về khái niệm tuyệt vời để bao gồm số 0 như một số theo đúng nghĩa của nó (thay vì chỉ đơn thuần là một trình giữ chỗ, một khoảng trống hoặc trống trong một số, như nó đã được coi là cho đến thời điểm đó) thường được ghi công cho các nhà toán học Ấn Độ ở thế kỷ thứ 7 Brahmagupta- hoặc có thể là một người Ấn Độ khác, Bhaskara I – mặc dù nó có thể đã được sử dụng thực tế trong nhiều thế kỷ trước đó. Việc sử dụng số 0 như một số có thể được sử dụng trong các phép tính và điều tra toán học, sẽ cách mạng hóa toán học.

Brahmagupta đã thiết lập các quy tắc toán học cơ bản để xử lý số không: 1 + 0 = 1; 1 – 0 = 1; và 1 x 0 = 0 (bước đột phá có ý nghĩa về phép toán có vẻ không hợp lý 1 ÷ 0 cũng sẽ rơi vào tay nhà toán học Ấn Độ, thế kỷ 12 Bhaskara II). Brahmagupta cũng thiết lập các quy tắc để xử lý các số âm, và chỉ ra rằng về mặt lý thuyết, phương trình bậc hai có thể có hai nghiệm khả thi, một trong số đó có thể là số âm. Ông thậm chí còn cố gắng viết ra những khái niệm khá trừu tượng này, sử dụng tên viết tắt của tên màu sắc để biểu thị những ẩn số trong phương trình của mình, một trong những khái niệm ban đầu của cái mà chúng ta ngày nay gọi là đại số.

Có thể nói cái gọi là Kỷ nguyên vàng của toán học Ấn Độ kéo dài từ Thế kỷ 5 đến Thế kỷ 12, và nhiều khám phá toán học của nó đã có trước những khám phá tương tự ở phương Tây vài thế kỷ, dẫn đến một số tuyên bố về đạo văn của các nhà toán học châu Âu sau này ít nhất một số người trong số họ có lẽ đã biết về công việc của người Ấn Độ sớm hơn. Chắc chắn, có vẻ như những đóng góp của Ấn Độ cho toán học đã không được công nhận thích đáng cho đến rất gần đây trong lịch sử hiện đại.

Các nhà thiên văn học Ấn Độ đã sử dụng bảng lượng giác

Các nhà thiên văn học Ấn Độ đã sử dụng bảng lượng giác để ước tính khoảng cách tương đối của Trái đất với Mặt trời và Mặt trăng

Các nhà toán học Ấn Độ thời kỳ hoàng kim đã đạt được những tiến bộ cơ bản trong lý thuyết lượng giác, một phương pháp liên kết giữa hình học và số được người Hy Lạp phát triển lần đầu tiên . Họ sử dụng các ý tưởng như hàm sin, côsin và tiếp tuyến (liên hệ các góc của tam giác với độ dài tương đối của các cạnh của nó) để khảo sát vùng đất xung quanh chúng, điều hướng các vùng biển và thậm chí lập biểu đồ bầu trời.

Ví dụ, các nhà thiên văn học Ấn Độ đã sử dụng lượng giác để tính toán khoảng cách tương đối giữa Trái đất và Mặt trăng và Trái đất và Mặt trời. Họ nhận ra rằng, khi Mặt trăng tròn một nửa và đối diện trực tiếp với Mặt trời, thì Mặt trời, Mặt trăng và Trái đất tạo thành một tam giác vuông và có thể đo chính xác góc là 1 ⁄ 7 °. Bảng sin của họ đưa ra tỷ lệ cho các cạnh của một tam giác là 400: 1, cho thấy rằng Mặt trời ở xa Trái đất hơn 400 lần so với Mặt trăng.

Mặc dù người Hy Lạp đã có thể tính toán hàm sin của một số góc, nhưng các nhà thiên văn học Ấn Độ muốn có thể tính toán hàm sin của một góc bất kỳ. Một văn bản được gọi là “Surya Siddhanta”, của các tác giả không rõ và có niên đại từ khoảng năm 400 CN, chứa đựng gốc rễ của lượng giác hiện đại, bao gồm việc sử dụng thực sự đầu tiên của sin, cosin, sin nghịch đảo, tiếp tuyến và mặt cắt.

Ngay từ thế kỷ thứ 6 CN, nhà toán học và thiên văn học vĩ đại người Ấn Độ Aryabhata đã đưa ra các định nghĩa phân loại về sin, cosine, versine và nghịch đảo, đồng thời chỉ định các bảng sin và versine hoàn chỉnh, trong các khoảng thời gian 3,75 ° từ 0 ° đến 90 °, với độ chính xác 4 chữ số thập phân. Aryabhata cũng chứng minh các giải pháp cho các phương trình bậc hai đồng thời và đưa ra giá trị gần đúng cho giá trị của π tương đương với 3,1416, chính xác đến bốn chữ số thập phân. Ông đã sử dụng này để ước tính chu vi của Trái đất, đến một con số 24.835 dặm, chỉ 70 dặm ngoài khơi giá trị thật sự của nó. Nhưng, có lẽ còn đáng kinh ngạc hơn, dường như ông đã nhận thức được rằng π là một số vô tỉ, và bất kỳ phép tính nào cũng chỉ có thể là một phép tính gần đúng, một điều chưa được chứng minh ở châu Âu cho đến năm 1761.

Vô cực là nghịch đảo của 0

Minh họa về vô cực là nghịch đảo của 0

Bhaskara II , sống vào thế kỷ 12, là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của Ấn Độ. Ông được cho là đã giải thích được phép toán chia cho số 0 bị hiểu lầm. Ông nhận thấy rằng chia một thành hai phần sẽ thu được một nửa, do đó 1 ÷ 1 ⁄ 2 = 2. Tương tự, 1 ÷ 1 ⁄ 3 = 3. Vì vậy, chia 1 cho các phe nhỏ hơn và nhỏ hơn sẽ thu được số phần lớn hơn và lớn hơn. Do đó, cuối cùng, chia một phần thành các phần có kích thước bằng không sẽ thu được vô số phần, cho thấy rằng 1 ÷ 0 = ∞ (biểu tượng cho vô cùng).

Tuy nhiên, Bhaskara II cũng có những đóng góp quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau từ nghiệm của phương trình bậc hai, bậc ba và bậc bốn (bao gồm cả nghiệm âm và nghiệm vô tỷ) đến nghiệm của phương trình Diophantine bậc hai đến các khái niệm sơ bộ về phép tính thập phân và giải tích toán học cho hình cầu lượng giác và các khía cạnh khác của lượng giác. Một số phát hiện của ông có trước những khám phá tương tự ở Châu Âu vài thế kỷ, và ông đã có những đóng góp quan trọng trong việc hệ thống hóa (lúc đó) kiến thức hiện tại và cải tiến các phương pháp cho các giải pháp đã biết.

Trường Thiên văn và Toán học Kerala được thành lập vào cuối thế kỷ 14 bởi Madhava của Sangamagrama , đôi khi được gọi là nhà toán học-thiên văn học vĩ đại nhất của Ấn Độ thời Trung cổ. Ông đã phát triển các phép xấp xỉ chuỗi vô hạn cho một loạt các hàm lượng giác, bao gồm cả π , sin, v.v. Một số đóng góp của ông cho hình học và đại số cũng như các dạng phân biệt và tích phân ban đầu của ông cho các hàm đơn giản có thể đã được truyền đến châu Âu thông qua các nhà truyền giáo Dòng Tên, và nó có thể là sự phát triển sau này của giải tích châu Âu đã bị ảnh hưởng bởi công việc của ông ở một mức độ nào đó.

Một số ví dụ về sự đối xứng phức tạp được sử dụng trong trang trí đền thờ Hồi giáo

Đế chế Hồi giáo được thành lập trên khắp Ba Tư, Trung Đông, Trung Á, Bắc Phi, Iberia và một phần của Ấn Độ từ thế kỷ thứ 8 trở đi đã có những đóng góp đáng kể cho toán học. Họ có thể rút ra và kết hợp với nhau những phát triển toán học của cả Hy Lạp và Ấn Độ .

Một hệ quả của việc Hồi giáo cấm mô tả hình dạng con người là việc sử dụng rộng rãi các mẫu hình học phức tạp để trang trí các tòa nhà của họ, nâng toán học lên thành một hình thức nghệ thuật. Trên thực tế, theo thời gian, các nghệ sĩ Hồi giáo đã khám phá ra tất cả các dạng đối xứng khác nhau có thể được mô tả trên bề mặt 2 chiều.

Bản thân Kinh Qur’an đã khuyến khích việc tích lũy kiến thức, và một thời kỳ vàng son của khoa học Hồi giáo và toán học đã phát triển mạnh mẽ trong suốt thời kỳ trung cổ từ thế kỷ 9 đến thế kỷ 15. House of Wisdom được thành lập ở Baghdad vào khoảng năm 810, và công việc bắt đầu gần như ngay lập tức để dịch các tác phẩm toán học và thiên văn học lớn của Hy Lạp và Ấn Độ sang tiếng Ả Rập.

Nhà toán học Ba Tư xuất sắc Muhammad Al-Khwarizmi là Giám đốc đầu tiên của Ngôi nhà Trí tuệ vào Thế kỷ thứ 9, và là một trong những nhà toán học Hồi giáo vĩ đại nhất thời kỳ đầu. Có lẽ đóng góp quan trọng nhất của Al-Khwarizmi cho toán học là sự ủng hộ mạnh mẽ của ông đối với hệ thống số Hindu (1 – 9 và 0), mà ông công nhận là có sức mạnh và hiệu quả cần thiết để cách mạng hóa toán học Hồi giáo (và sau này là phương Tây), và đã sớm được áp dụng bởi toàn bộ thế giới Hồi giáo, và sau đó là Châu Âu.

Đóng góp quan trọng khác của Al-Khwarizmi là đại số, và ông đã giới thiệu các phương pháp đại số cơ bản của “rút gọn” và “cân bằng” và cung cấp một tài khoản đầy đủ về việc giải các phương trình đa thức lên đến cấp độ thứ hai. Bằng cách này, ông đã giúp tạo ra ngôn ngữ toán học trừu tượng mạnh mẽ vẫn được sử dụng trên khắp thế giới ngày nay, và cho phép một cách phân tích các vấn đề tổng quát hơn nhiều ngoài những vấn đề cụ thể mà người Ấn Độ và Trung Quốc đã xem xét trước đây .

Định lý nhị thức

Nhà toán học người Ba Tư ở thế kỷ thứ 10 Muhammad Al-Karaji đã làm việc để mở rộng đại số hơn nữa, giải phóng nó khỏi di sản hình học của nó, và đưa ra lý thuyết về phép tính đại số. Al-Karaji là người đầu tiên sử dụng phương pháp chứng minh bằng quy nạp toán học để chứng minh kết quả của mình, bằng cách chứng minh rằng phát biểu đầu tiên trong một chuỗi vô hạn các phát biểu là đúng, và sau đó chứng minh rằng, nếu bất kỳ một phát biểu nào trong dãy là đúng, thì cái tiếp theo cũng vậy.

Trong số những thứ khác, Al-Karaji đã sử dụng quy nạp toán học để chứng minh định lý nhị thức. Nhị thức là một loại biểu thức đại số đơn giản chỉ có hai số hạng chỉ được thực hiện bằng phép cộng, trừ, nhân và số mũ nguyên dương, chẳng hạn như ( x + y ) ^2 . Đồng hiệu quả cần thiết khi một nhị thức được khai triển thành một tam giác cân, thường được gọi là Tam giác Pascal theo tên nhà toán học Pháp thế kỷ 17 Blaise Pascal , mặc dù nhiều nhà toán học khác đã nghiên cứu nó nhiều thế kỷ trước ông ở Ấn Độ , Ba Tư, Trung Quốc và Ý , bao gồm Al-Karaji.

Khoảng một trăm năm sau Al-Karaji, Omar Khayyam (có lẽ được biết đến nhiều hơn với tư cách là nhà thơ và nhà văn của “Rubaiyat”, nhưng là một nhà toán học và thiên văn học quan trọng theo đúng nghĩa của ông) đã khái quát về Ấn Độ phương pháp chiết xuất các rễ hình vuông và hình lập phương để bao gồm các rễ thứ tư, thứ năm và cao hơn vào đầu thế kỷ 12. Ông đã thực hiện một phân tích có hệ thống các bài toán lập phương, cho thấy thực tế có một số loại phương trình lập phương khác nhau. Mặc dù trên thực tế, ông đã thành công trong việc giải các phương trình bậc ba, và mặc dù ông thường được ghi nhận là người xác định các cơ sở của hình học đại số, nhưng ông đã bị cản trở bởi những tiến bộ hơn nữa do không thể tách đại số khỏi hình học và một phương pháp đại số thuần túy cho Giải pháp của phương trình bậc ba đã phải đợi thêm 500 năm nữa và các nhà toán học người Ý del Ferro và Tartaglia .

Al-Tusi là nhà tiên phong trong lĩnh vực lượng giác cầu

Nhà thiên văn học, nhà khoa học và toán học người Ba Tư ở thế kỷ 13 Nasir Al-Din Al-Tusi có lẽ là người đầu tiên coi lượng giác như một ngành toán học riêng biệt, khác hẳn với thiên văn học. Dựa trên công trình trước đó của các nhà toán học Hy Lạp như Menelaus ở Alexandria và công trình nghiên cứu của người Ấn Độ về hàm sin, ông đã đưa ra giải trình đầu tiên về lượng giác cầu, bao gồm liệt kê sáu trường hợp riêng biệt của tam giác vuông trong lượng giác cầu. Một trong những đóng góp lớn về toán học của ông là công thức của định luật sin nổi tiếng cho tam giác phẳng, a ⁄ (sin^A) = b ⁄ (sin^B ) = c ⁄ (sin^C) , mặc dù định luật sin cho tam giác cầu đã được người Ba Tư Abul Wafa Buzjani và Abu Nasr Mansur ở thế kỷ thứ 10 phát hiện trước đó.

Các nhà toán học Hồi giáo thời Trung cổ khác đáng được lưu ý bao gồm:

Người Ả Rập Thabit ibn Qurra ở thế kỷ thứ 9, người đã phát triển một công thức tổng quát mà theo đó các số thân thiện có thể được tạo ra, được cả Fermat và Descartes phát hiện lại nhiều lần sau đó (các số thân thiện là các cặp số mà tổng các ước số của một số bằng số khác, ví dụ các ước số thích hợp của 220 là 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 và 110, trong đó tổng là 284; và các ước số thích hợp của 284 là 1, 2, 4, 71, và 142, trong đó tổng là 220);

Nhà toán học Ả Rập ở thế kỷ thứ 10 Abul Hasan al-Uqlidisi, người đã viết văn bản còn sót lại sớm nhất cho thấy cách sử dụng vị trí của các chữ số Ả Rập, và đặc biệt là việc sử dụng số thập phân thay vì phân số (ví dụ: 7,375 thay cho 7 3 ⁄ 8 );

Nhà đo địa lý Ả Rập thế kỷ thứ 10, Ibrahim ibn Sinan, người đã tiếp tục các cuộc điều tra của Archimedes về các diện tích và thể tích, cũng như về các tiếp tuyến của một vòng tròn;

Ibn al-Haytham, người Ba Tư ở thế kỷ 11 (còn được gọi là Alhazen), người, ngoài công trình đột phá của mình về quang học và vật lý, đã thiết lập sự khởi đầu của mối liên hệ giữa đại số và hình học, và phát minh ra cái mà ngày nay được gọi là “Bài toán của Alhazen” (ông là nhà toán học đầu tiên tìm ra công thức tính tổng của lũy thừa thứ tư, sử dụng một phương pháp có thể tổng quát hóa dễ dàng); và

Kamal al-Din al-Farisi, người Ba Tư ở thế kỷ 13, người đã áp dụng lý thuyết về mặt cắt hình nón để giải quyết các vấn đề quang học, cũng như theo đuổi công việc trong lý thuyết số như về các số hữu ích, phân tích nhân tử và các phương pháp tổ hợp;

Ibn al-Banna al-Marrakushi, người Maroc ở thế kỷ 13, người có các công trình bao gồm các chủ đề như tính toán căn bậc hai và lý thuyết về phân số liên tục, cũng như việc phát hiện ra cặp số thân thiện mới đầu tiên kể từ thời cổ đại (17,296 và 18,416, sau này được Fermat phát hiện lại ) và việc sử dụng ký hiệu đại số đầu tiên kể từ Brahmagupta .

Với ảnh hưởng ngột ngạt của Đế chế Ottoman Thổ Nhĩ Kỳ từ thế kỷ 14 hoặc 15 trở đi, toán học Hồi giáo bị đình trệ, và những bước phát triển tiếp theo chuyển sang châu Âu.

TOÁN HỌC CHÂU ÂU THỜI TRUNG CỔ

Bàn tính thời Trung cổ, dựa trên mô hình La Mã / Hy Lạp

Trong suốt nhiều thế kỷ mà các nhà toán học Trung Quốc , Ấn Độ và Hồi giáo đã lên ngôi, châu Âu đã rơi vào Thời kỳ Đen tối, trong đó khoa học, toán học và hầu hết mọi nỗ lực trí tuệ đều bị đình trệ.

Các học giả uyên bác chỉ coi trọng các nghiên cứu trong lĩnh vực nhân văn, chẳng hạn như triết học và văn học, và dành phần lớn năng lượng của họ để tranh cãi về các chủ đề tế nhị trong siêu hình học và thần học, chẳng hạn như “ Có bao nhiêu thiên thần có thể đứng trên mũi kim?"

Từ thế kỷ 4 đến thế kỷ 12, kiến thức và nghiên cứu về số học, hình học, thiên văn học và âm nhạc của châu Âu chỉ giới hạn chủ yếu trong các bản dịch của Boethius đối với một số tác phẩm của các bậc thầy Hy Lạp cổ đại như Nic gastus và Euclid . Tất cả các giao dịch và tính toán được thực hiện bằng cách sử dụng hệ thống chữ số La Mã vụng về và kém hiệu quả , và bằng bàn tính dựa trên các mô hình Hy Lạp và La Mã

Vào thế kỷ thứ 12 , tuy nhiên, châu Âu , và đặc biệt là Ý, đã bắt đầu buôn bán với phương Đông, và kiến thức Đông dần dần bắt đầu lan sang phương Tây. Robert của Chester đã dịch cuốn sách quan trọng của Al-Khwarizmi về đại số sang tiếng Latinh vào thế kỷ 12, và toàn bộ văn bản hoàn chỉnh của “Elements” của Euclid đã được Adelard của Bath, Herman của Carinthia và Gerard ở Cremona dịch trong nhiều phiên bản khác nhau. Sự mở rộng lớn của thương mại và thương mại nói chung đã tạo ra một nhu cầu thực tế ngày càng tăng về toán học, và số học đã đi vào cuộc sống của người dân nhiều hơn và không còn giới hạn trong lĩnh vực học thuật.

Sự ra đời của báo in vào giữa thế kỷ 15 cũng có tác động rất lớn. Nhiều cuốn sách về số học được xuất bản với mục đích dạy những người kinh doanh phương pháp tính toán phục vụ nhu cầu thương mại của họ và toán học dần dần bắt đầu chiếm được vị trí quan trọng hơn trong giáo dục.

Nhà toán học thời trung cổ vĩ đại đầu tiên của châu Âu là Leonardo người Pisa người Ý , được biết đến nhiều hơn với biệt danh Fibonacci . Mặc dù được biết đến nhiều nhất với cái gọi là Dãy số Fibonacci, nhưng có lẽ đóng góp quan trọng nhất của ông cho nền toán học châu Âu là vai trò của ông trong việc truyền bá việc sử dụng hệ thống chữ số Hindu-Ả Rập khắp châu Âu vào đầu thế kỷ 13, vốn đã sớm tạo ra hệ thống chữ số La Mã. Lỗi thời, và mở đường cho những tiến bộ vượt bậc của toán học Châu Âu.

Oresme là một trong những người đầu tiên sử dụng phân tích đồ họa

Một nhà toán học và học giả quan trọng (nhưng phần lớn không được biết đến và bị đánh giá thấp) của thế kỷ 14 là Nicole Oresme, người Pháp. Ông đã sử dụng một hệ thống tọa độ hình chữ nhật hàng thế kỷ trước khi người đồng hương René Descartes phổ biến ý tưởng này, cũng như có lẽ là đồ thị thời gian-tốc độ-khoảng cách đầu tiên. Ngoài ra, dẫn đầu từ nghiên cứu về âm nhạc học, ông là người đầu tiên sử dụng số mũ phân số, và cũng nghiên cứu về chuỗi vô hạn, là người đầu tiên chứng minh rằng chuỗi điều hòa 1 ⁄ 1 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 3 + 1 ⁄ 4 + 1 ⁄ 5… Là một chuỗi vô hạn phân kỳ (tức là không có xu hướng đến một giới hạn, khác với vô hạn).

Học giả người Đức Regiomontatus có lẽ là nhà toán học có năng lực nhất của thế kỷ 15 , đóng góp chính của ông cho toán học là trong lĩnh vực lượng giác. Ông đã giúp tách lượng giác ra khỏi thiên văn học, và phần lớn nhờ nỗ lực của ông mà lượng giác được coi là một nhánh độc lập của toán học. Cuốn sách “ De Triangulis ” của ông, trong đó ông mô tả phần lớn kiến thức lượng giác cơ bản hiện được dạy ở trường trung học và đại học, là cuốn sách hay đầu tiên về lượng giác xuất hiện trên bản in.

Cũng nên nhắc đến Nicholas of Cusa (hay Nicolaus Cusanus), một nhà triết học, toán học và thiên văn học người Đức ở thế kỷ 15, người có những ý tưởng tiên tri về cái vô hạn và phần vô cực đã ảnh hưởng trực tiếp đến các nhà toán học sau này như Gottfried Leibniz và Georg Cantor . Ông cũng có một số ý tưởng trực quan phi tiêu chuẩn rõ ràng về vũ trụ và vị trí của Trái đất trong đó, về quỹ đạo hình elip của các hành tinh và chuyển động tương đối, điều này báo trước những khám phá sau này của Copernicus và Kepler.

........................................................................

Toán Học rất quan trọng và gắn liền với cuộc sống loài người từ thời tiền sử. Vì vậy, nó là một trong những môn học bắt buộc từ Tiểu Học đến THPT và Đại Học. Mình cũng rất yêu thích Toán và mình cũng tham gia các cuộc thi HSG Toán từ THCS đến THPT nữa. Nên mình cũng muốn cho mọi người hiểu hơn về lịch sử của nó. Nếu ai cảm thấy Toán là ác mộng thì qua bài này mọi người sẽ hiểu hơn và yêu thích về Toán hơn đó. "TOÁN HỌC RẤT THÚ VỊ" Vì lịch sử của nó khá dài, mà viết tất cả trong một bài mọi người đọc sẽ ngán. Nên mình sẽ chia thành hai phần nhé 🥰

THANK YOU FOR READING !!!