Akışkanlar Dinamiği - Vikipedi

Akışkanlar dinamiğinin kurucu aksiyomları korunum yasalarıdır. Bunlar; kütlenin korunumu, momentumun korunumu (Newton'un İkinci Hareket Kanunu) ve enerjinin korunumudur (Termodinamiğin Birinci Yasası). Bu yasalar klasik mekaniğe dayanır, kuantum mekaniğinde ve genel izafiyette modifiye edilirler. Yasaları akışkanlar mekaniğinde daha kullanışlı şekilde ifade etmek için Reynolds transport teoremi kullanılır.

Akışkanlar aslında birbiriyle çarpışan moleküllerden oluşur; ancak akışkanlar dinamiğinde akışkanların sürekli ortamda oldukları varsayılır. Buna göre akışkanların yoğunluk, basınç, sıcaklık ve hız gibi özellikleri uzayda sonsuz küçük noktalarda süreklilik içinde her zaman tanımlıdır. Böylece akışkanların ayrık moleküllerden oluştuğu ihmal edilir.

Süreklilikte olduğu varsayılabilecek kadar yoğun, ışık hızına göre düşük akış hızına sahip ve iyonize olmamış Newton tipi akışkanlar için momentum denklemleri Navier-Stokes denklemleridir. Bu denklemler, doğrusal olmayan diferansiyel denklem sistemi oluşturur ve sadeleştirilmemiş genel kapalı formda çözümü yoktur. Bu yüzden hesaplamalı akışkanlar dinamiği kullanılarak çözülürler. Denklemler, yalnızca bazı basit akışkanlar dinamiği problemlerinde sadeleştirilip kapalı formda analitik olarak çözülebilir.

Bir problemi tam olarak tanımlayabilmek için, kütle, momentum ve enerji korunum denklemlerine ek olarak, basıncı diğer termodinamik özelliklerin fonksiyonu olarak veren bir termodinamik hâl denklemi gereklidir. İdeal gaz denklemi buna örnek olarak gösterilebilir:

p basınç, ρ yoğunluk, T sıcaklık, Ru gaz sabiti ve M mol kütlesi olmak üzere

p = ρ R u T M {\displaystyle p={\frac {\rho R_{u}T}{M}}}  

Korunum yasaları

değiştir

Akışkanlar dinamiği problemlerini çözmek için üç korunum yasası kullanılır. Bunlar, integral veya diferansiyel formda yazılabilir. Korunum yasaları kontrol hacmi denilen bir akış bölgesine uygulanabilir. Kontrol hacmi, uzayda akış analizi için seçilmiş ve yüzeylerinden akışın giriş/çıkış yapabildiği ayrık hacimdir.[2] Korunum yasalarının integral formülasyonu bütün olarak kontrol hacmi içindeki kütle, momentum ve enerji değişimlerini tanımlar. Korunum yasalarının diferansiyel formülasyonunda ise akış alanı boyunca art arda ve birbiri üstüne istiflenmiş sonsuz küçük kontrol hacimleri analiz edilir. Limit durumunda bu sonsuz küçük hacimler birer nokta olacağından korunum denklemleri akış içindeki her yerde geçerli bir kısmi diferansiyel denklem sistemine dönüşür.[3]

• Kütlenin sürekliliği (kütlenin korunumu): Bir kontrol hacmi sınırları içerisindeki akışkan kütlesinin değişme hızı, kontrol hacmine giren net kütlesel debiye eşittir.[4] Bu, fiziksel olarak kontrol hacmi içinde kütlenin yokken var, varken yok edilemeyeceğini gerektirir[5] ve süreklilik denkleminin integral formuyla ifade edilebilir:

∂ ∂ t ∭ V ρ d V = − {\displaystyle {\partial \over \partial t}\iiint _{V}\rho \,dV=-\,{}}     S {\displaystyle {\scriptstyle S}}   ρ u ⋅ d S {\displaystyle {}\,\rho \mathbf {u} \cdot d\mathbf {S} }   Yukarıda ρ {\displaystyle \rho }   akışkanın yoğunluğunu, u akış hız vektörünü ve t zamanı temsil etmektedir. Denklemin sol tarafı kontrol hacmi içindeki kütle değişim hızını gösterir ve kontrol hacmi üzerinde üç katlı bir integral içerir. Denklemin sağ tarafında ise denklemin yüzeyinden net kütle geçişini temsil eden bir integral vardır. Süreklilik denkleminin diferansiyel formülasyonu diverjans teoremi kullanılarak bulunabilir:   ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 {\displaystyle \ {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}  

• Momentumun korunumu: Bu denklem, bir kontrol hacmi içindeki havanın ivme herhangi bir değişiklik hacmine hava net akışı ve hava dış kuvvetlerin etkisine bağlı olmasını gerektiren, kontrol hacmine Newton'un hareket kanunu uygular ikinci hacmi içinde. Bu denklemin integral formülasyonu olarak, burada vücut kuvvetleri, f vücut tarafından birim kütle başına vücut kuvvetini temsil edilmektedir. Böyle viskoz kuvvetler gibi yüzey kuvvetleri, nedeniyle kontrol hacmi yüzeyinde gerilimlere Fnet kuvvet ile temsil edilir.

∂ ∂ t ∭ V ρ u d V = − {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\iiint _{\scriptstyle V}\rho \mathbf {u} \,dV=-\,{}}     S {\displaystyle _{\scriptstyle S}}   ( ρ u ⋅ d S ) u − {\displaystyle (\rho \mathbf {u} \cdot d\mathbf {S} )\mathbf {u} -{}}     S {\displaystyle {\scriptstyle S}}   p d S {\displaystyle {}\,p\,d\mathbf {S} }   + ∭ V ρ f body d V + F surf {\displaystyle \displaystyle {}+\iiint _{\scriptstyle V}\rho \mathbf {f} _{\text{body}}\,dV+\mathbf {F} _{\text{surf}}}   Aşağıdaki gibi momentumun korunumu denklemi diferansiyel şeklidir. Tek toplam kuvvet, F. Örneğin, F bir iç akış üzerinde etkili sürtünme ve yerçekimi kuvvetleri için bir ifade haline genişletilebilir burada, hem yüzey ve cisim kuvvetleri muhasebeleştirilmektedir.   D u D t = F − ∇ p ρ {\displaystyle \ {D\mathbf {u} \over Dt}=\mathbf {F} -{\nabla p \over \rho }}   Aerodinamik hava (nedeniyle iç sürtünme kuvvetlerine) kesme stresi arasındaki doğrusal bir ilişki öne süren bir Newton tipi sıvı ve sıvı gerinme oranı olarak kabul edilir. Yukarıdaki denkleme göre bir vektör denklemi: üç boyutlu akışta, üç skaler denklem şu şekilde ifade edilebilir. Sıkıştırılabilir, viskoz akış durumu için momentum denklemlerinin korunumu Navier-Stokes denklemleri denir.

• Enerji korunumu: enerjinin bir formdan dönüştürülebilir, ancak, belirli bir kapalı bir sistem içinde, toplam enerji sabit kalır.

  ρ D h D t = D p D t + ∇ ⋅ ( k ∇ T ) + Φ {\displaystyle \ \rho {Dh \over Dt}={Dp \over Dt}+\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)+\Phi }