ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Pps - 123doc

Định nghĩa: Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng một trờng K.. Biểu thức dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính Định lý: Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng tr-ờn

Chơng 5

5.1 ánh xạ tuyến tính

A Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa: Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên

cùng một trờng K ánh xạ f: E → F đợc gọi là ánh xạ tuyếntính, một đồng cấu hay một toán tử tuyến tính nếu:

(i) ∀x,y∈E: f(x+y)=f(x)+f(y) (ii) ∀x∈E và ∀t∈K : f(tx)=tf(x) hoặc (iii) ∀x,y∈E, ∀t,s∈K: f(tx+sy)=tf(x)+sf(y)

• f: E→E gọi là tự đồng cấu hay phép biến đổi tuyến tính trên E

• f: E→K gọi là dạng tuyến tính, hoặc phiếm hàm tuyến tính

Ma trận của tự đồng cấu f:E →E trên cơ sở {I,I} là ma trậnvuông

Chú ý: Khi thay đổi cơ sở {I,W} ma trận của f sẽ thay đổi.

4 Biểu thức dạng ma trận của ánh xạ tuyến tính

Định lý: Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng

tr-ờng K và dim(E)=n, dim(F)=m, khi đó trên mỗi cặp cơ sở {I,W]mọi ánh xạ f(x) đều có dạng: f(x)=A.x

trong đó A là ma trận của f trong cơ sở {I,W}

Ngợc lại mỗi ma trận A=(aij)m ì n trên cơ sở {I,W} xác định duynhất một ánh xạ f(x)=Ax mà A là ma trận của f

Hệ quả : Nếu A và B tơng ứng là ma trận của các ánh xạ f và

a f(x,y)= x b f(x,y)= xy c f(x,y)= x+y

d f(x,y)= x-y e f(x,y)= a a là một hằng số

f f(x,y)= ax g f(x,y)= ax+by h f(x,y)= (2x,2y)

i f(x,y)= (2x,3y) j f(x,y)= (y,x) k f(x,y)=(x+1,y+1)

l f(x,y)= (x,y,x+y) m f(x,y)= (x,y,a)

2 Cho ánh xạ tuyến tính f: R3→R2 có biểu thức:

b Trªn P3(t)}={x(t)= a0+a1t+a2t2+a3t3} t×m ma trËn cña phiÕm

6 Chøng tá c¸c ¸nh x¹ sau lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, t×m ma trËn cña

z y x A

b a b a

22

z y x A

b a b a

22

Chøng tá f lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, t×m ma trËn cña f, biÓu diÔn fdíi d¹ng ma trËn

z y x

z y x

f =x+y+z+(z+u)t+(u+v+w)t2

X Tìm ma trận của f trêncơ sở chính tắc

z y x

b a

z y x

++

w v u z

u z y x

z y x

++

w v y z

y x v u

Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính, tìm ma trận của f

12 Trong R2 chứng tỏ phép quay một góc ϕ là một tự đồngcấu, tìm ma trận của nó

3 l Có m Có nếu a=0, không nếu a≠0

2 a Dễ dàng kiểm tra f là ánh xạ tuyến tính Trên cơ sở chính

tắc của R3 và R2 ta có:

f(e1)=(2,1) f(e2)=(1,0) f(e3)=(1,-1)

Vậy ma trận của f là:

z y

z y x

y x

53

12

21

011

412

121

011

112

121

∫ =αf(x)+βf(y)

41

Vậy phiếm hàm có ma trận: A=(1

2

1 3

1 4

1 )

5 a Dễ dàng kiểm tra f là tự đồng cấu.

Trên cơ sở {1,t,t2} ta có:

f(1)=1+t=(1,1,0), f(t)=1+t2=(1,0,1), f(t2)=-t+2t2=(0,-1,2)Vậy ma trận của f là:

101

011

521

320

11

11

0110

1001

011

100

11

11

0111

7 Với x= a+bt+ct2+dt3 , y= a’+b’t+c’t2+d’t3 , khi đó:

+

++++

+

)'(2''

'

)'(2''

'

d d c c d d c c

b b a a b b a a

b a b a

2

2+

'2'''

d c d c

b a b a

=f(x)+f(y) f(λx)=  − 

+

d c d c

b a b a

λλλλ

λλλλ

b a b a

2

2

=λf(x)hay f là ánh xạ tuyến tính Ta có

210

000

000

Vậy trên cơ sở {1,t,t2,t3} và cơ sở chính tắc của các ma trậncấp 2x3 ánh xạ f có ma trận

0000

0100

0021

001

0

0001

100

021

010

001

000111

21







00

01

01

=e1+3e3=(1,0,3,0)f(e2)=

21







00

10

10

=e2+3e4=(0,1,0,3) f(e3)=

21







01

00

02

=2e1=(2,0,0,0) f(e4)=







03

21







10

00

20

=2e2=(0,2,0,0)Vậy ma trận của f là:

30

00

03

20

10

02

01

0

00110

0

00110

0

00001

000110

000011

011000

12 Với a=(x,y) ∈R2 có toạ độ cực là:

x=rcosθy=rsinθsau phép quay một góc ϕ ta đợc: ϕ(a)=a’=(x’,y’) với x’=rcos(θ+ϕ)=rcosθ cosϕ -rsinθ sinϕ =xcosϕ-y sinϕ

y’=r sin(θ+ϕ )=rsinθcosϕ+rcosθ sinϕ =xsinϕ +ycosϕDới dạng ma trận ta có:

x y

''

0

0111

1011

102Vậy ma trận của gof là

3132

5.2 ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính

A Tóm tắt lý thuyết

1 ảnh của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa: ảnh của ánh xạ tuyến tính f: E→F :

Im(f)={ y∈F | ∃x∈ E: y=f(x) }

Từ định nghĩa ta có:

a Im(f)=f(E)

b. Nếu f có ma trận A thì y∈Im(f) ⇔ phơng trình A.x=y cónghiệm Vì phơng trình Ax=y có thể có nhiều hơn mộtnghiệm, nên có thể có nhiều phần tử của E cùng chungmột ảnh

Hệ quả :

1 Im(f) là một không gian con của F

2 Nếu I={e1,e2, ,en} là cơ sở của E và f có ma trận A thì:

Im(f)=L{ f(e1),f(e2), ,f(en )}

và dim(Im(f))=dim(L{f(e1),f(e2), ,f(en)}=r(A)

3 Cơ sở của Im(f) là một hệ con độc lập tuyến tính cực đạicủa {f(e1),f(e2), ,f(en )} hay hệ ứng với các cột cơ sở của A

4 Hạng r(f)=dim(Im(f))=r(A)

2 Nhân của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 5.5: Nhân của ánh xạ tuyến tính f: E→F:

Ker f={ x∈E| f(x)= θ ∈F}

Hệ quả :

1 Nếu f có ma trận A thì: Ker f={ x∈E | Ax= θ ∈F}

đó là tập các nghiệm của hệ phơng trình thuần nhất

2 Ker f là một không gian con của E

3 Nếu r(A)=r và r hàng và r cột đầu là các cột và hàng cơ sởcủa A khi đó dim(Kerf)=n-r và một cơ sở của Kerf là hệ n-rnghiệm cơ sở của hệ thuần nhất

x

x x

x

r

r r

rr

+

+ +

+

0

10

2

2 2

2 1

2 rr

r r

x x

x x

x

n

n n

001

++

=+

++

=+

++

rk r rr r

r

k r r

k r r

a x a x

a x

a

a x a x

a x

a

a x a x

a x

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

Hệ quả : dim(Imf)+dim (Ker f)=n

5.3 Đẳng cấu của hai không gian tuyến tính

A Tóm tắt lý thuyết

Cho E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng trờng K

1 Toàn cấu

Định nghĩa: Một đồng cấu f: E→F đợc gọi là một toàn cấunếu f là một toàn ánh hay Im(f)=F.

Định lý: f là toàn cấu ⇔ r(f)=dim(F)

Hệ quả : Nếu f có ma trận A, f là toàn cấu ⇔ r(A)=dim(F)

Nếu F=E thì f đợc gọi là một tự đẳng cấu trên E

Định nghĩa: Hai không gian tuyến tính E và F đợc gọi là đẳng

cấu nếu tồn tại một đẳng cấu f từ không gian này lên không giankia

Định lý: E và F đẳng ⇔ dim(E)=dim(F)

Hệ quả

1 f: E →F đẳng cấu ⇔ f biến cơ sở của E thành cơ sở của F

2 Nếu đẳng cấu f: E→F có ma trận A thì det(A)≠0 và nghịch

đảo f -1 cũng là một đẳng cấu và có ma trận A-1

4 Không gian véc tơ đối ngẫu

a Không gian các ánh xạ tuyến tính L(E,F)

Với E và F là hai không gian tuyến tính trên cùng một trờng

K, gọi tập các ánh xạ tuyến tính từ E vào F là:L(E,F)

Hệ quả

1 Với các phép toán (f+g) và (λf), L(E,F) là một không giantuyến tính trên trờng K với phần tử không là ánh xạ đồng nhấtkhông: θ(x)=θ,∀x∈E, phần tử đối của f(x) là -f(x)

2 Nếu dim(E)=n, dim(F)=m thì dim(L(E,F))=n.m hay L(E,F)

và không gian các ma trận cấp mxn đẳng cấu

3 Một cơ sở của L(E,F) là {fijfij(x1,x2, ,xn)=(0, ,yj, 0) với

yj=xi và ma trận tơng ứng của fij là Aij=(aij)mxn trong đó phần tử

aij=1, các phần tử còn lại bằng không

b Không gian véc tơ đối ngẫu

Nếu F=K thì L(E,K) đợc gọi là không gian véc tơ đối ngẫucủa của E và ký hiệu: E*=L(E,K)

Giả sử dim(E)=n và U={u1,u2, ,un} là một cơ sở của E, kýhiệu: W={αi(x1,x2, ,xn)=xi} (i=1,2, ,n)

Định lý: Tập W gồm n ánh xạ tuyến tính αi: E→K là cơ sởcủa không gian đối ngẫu E*, hay dim(E*)=n Khi đó ta gọi W làcơ sở đối ngẫu của U

Trờng hợp E= Rn đối ngẫu của Rn là L(Rn,R) gồm mọi phiếmhàm tuyến tính từ Rn vào R

Xét cơ sở chính tắc I={ e1,e2, ,en} của Rn và gọi P là tập các

ánh xạ:

P={pi (x1,x2, ,xn)=xi ,i=1,2,…,n}

là phép chiếu thứ i trong Rn

Theo định nghĩa cơ sở đối ngẫu ta có: p i= αi (i=1,2, ,n)

Nh vậy n phép chiếu trong R*n tạo thành cơ sở đối ngẫu của cơ

sở chính tắc trong Rn do đó mọi phiếm hàm tuyến tính trên E

đều biểu diễn duy nhất qua hệ P các phép chiếu

Phân loại toàn cấu, đơn cấu và đẳng cấu của các ánh xạ đó

2 Cho : f(x1,x2, ,xm)=(y1,y2, ,yk)

Tìm ma trận của f, cơ sở và chiều của Im(f), Ker(f) trong các

ánh xạ xác định bởi các công thức biến đổi sau

−

=

+

−+

=

4 3 2 1 3

3 2 1 2

4 3 2 1 1

32

22

22

x x x x y

x x x y

x x x x y

=

4 2 1 3

3 2 1 2

4 3 2 1 1

33

2

x x x y

x x x y

x x x x y

−

=

++

−+

=

4 3 2 1 2

5 4 3 2 1 1

22

352

x x x x y

x x x x x y

=

−+

=

3 2 1 4

3 2 1 3

3 2 1 2

3 2 1 1

2

2

222

x x x y

x x x

y

x x x y

x x x

3 2 1 4

3 2 1 3

2 1 2

3 2 1 1

63

22

523

x x x y

x x x y

x x x y

x x y

x x x y

6 Phân loại toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu của các ánh xạ đó

3 Ký hiệu Mnxm là không gian các ma trận cấp nxm trên R.Xét các ánh xạ xác định nh sau:

a f:M3x2→M2x2: f(X)=0 1 −1

202

12

X

8 c f:M2x2→M2x2: f(X)= 4 −2

12

X Tìm ma trận của f, chiều và một cơ sở của Im(f) và Ker(f).Phân loại toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu của các ánh xạ đó

4 Cho ánh xạ f: P3(t)→P1(t) xác định bởi:

f(a0+a1t+a2t2+a3t3)={(a0-a1+a2)+(a 0 +a 1 -a 2 +a 3 )t}

a Tìm Im(f), dim(Imf), cơ sở của Im(f)

b Tìm Ker(f), dim(Ker(f)), cơ sở của Ker(f)

z y x A

b a b a

22

Tìm cơ sở của Im(f) và cơ sở của Ker(f)

7 Cho các ánh xạ

a f: P2(t) →M2x2 : f(a+bt+ct2)=a a+b+c

b c

b f: P2(t) →D2x2 : f(a+bt+ct2)= + 

+

a b a

b a c

c f: P2(t) →P2x2 : f(a+bt+ct2)= − 

−0

0

a b

b a

d f: P2(t) →U2x2 : f(a+bt+ct2)= + + 

+

c b a

b a c

0

e f: M2x2 → P2(t): fc d

b a

=c+(a+b)t+(d-c)t2

f f: M2x2 → P2(t): fc d

b a

= + 

+

c d a

d a b

b f: M2x2→U2x2: fc d

b a

= +c 

d a b

0

c f: D2x2→M2x2: fb c

b a

= + 

+

c c a

b a b

d f: U2x2→L2x2: f c

b a

0 =a+c b+c

ánh xạ nào là toàn cấu, đơn cấu, đẳng cấu?

9 Cho f: E→ E

a Chứng tỏ rằng nếu {ξ1, ,ξp} là cơ sở của Ker(f) và{ξ1, ,ξp,ξp+1, ,ξn} là cơ sở của E thì {f(ξp+1), , f(ξn)} là cơ sởcủa Im(f).

b Cho f: R4 → R4 xác định bởi:

f(x,y,u,v)=(x+y+u+2v,x-y+2u-v,2x+3u+v,2y-u+3v)Tìm cơ sở của R4 thoả mãn a

10 Cho f:E→W, g: W→V, với E,W,V là các không gian hữuhạn chiều.Chứng minh rằng

a dim(Ker(gof))= dim( Ker(f)) + dim(Im(f)∩Ker(g))

b dim(Ker(gof))≤dim(Ker(f)+dim(Ker(g))

c r(gof)=r(f) - dim(Ker(g)∩Im(f))

11 Với Pn(t)={x(t)=a0+a1t+a2t2+ +antn} cho f: Pn(t)→Pn-1(t)

là phép lấy đạo hàm:

x(t)=a0+a1t+a2t2+ +antn → x’(t)=a1+2a2t+ +nantn-1

Tìm ma trận của f, f là toàn cấu hay đơn cấu?

12 Gọi P(t-1)

n(t)={y(t)=(t-1) (b0+b1t+b2t2+ +bn-1tn-1)} Cho f: Pn(t) → P(t-1)

n(t) xác định bởi: f(x(t))=(t-1) x’(t) Chứng tỏ rằng f là một toàn cấu nhng không phải là một đơncấu Tìm ma trận của f, Im(f) và Ker(f)

13 Trên Pn(t)={x(t)=a0+a1t+ +antn} với x(t)=a0+a1t+ +antn

cho: f: Pn(t)→ Pn+1(t) là phép lấy tích phân:

f(x(τ))=∫t x d

0

)(τ τ = a0t +a1

2 t2 +

a2

3 t3+ +

a n

n

+1 tn+1 Chứng tỏ rằng f là một đơn cấu từ Pn(t) → Pn+1(t) nhng khôngphải là toàn cấu Tìm ma trận của f, Im(f) và Ker(f)

14 Gọi D3x3 là tập các ma trận đối xứng cấp ba, U3x3 là tập các

ma trận các tam giác trên cấp ba

e d b

c b a

r q p Y

000Cho f:D3x3→U3x3 xác định bởi:

e d d

c b a b a a

00

0

Chứng tỏ f là một đẳng cấu từ D3x3 vào U3x3, tìm ma trận của f -1

15 Cho f,g : E→F là những đồng cấu trên các không gian hữuhạn chiều Chứng minh

a a r(f+g) ≤ r(f)+ r(g)

b r(f+g)≥ r(f)- r(g)

9 c f:E →Im(f) là một toàn cấu

10 d Nếu f là một đơn cấu thì f:E →Im(f) là một đẳng cấu

16 Cho f: E→F là một ánh xạ tuyến tính và {e1,e2, ,en}là mộtcơ sở của E Chứng minh rằng:

a Nếu hệ {f(e1),f(e2), ,f(en)} là một hệ sinh trong F thì f làtoàn cấu

b Nếu hệ {f(e1),f(e2), ,f(en)} là một hệ độc lập tuyến tínhtrong F thì f là một đơn cấu

c Nếu hệ {f(e1),f(e2), ,f(en)}là một cơ sở của F thì f là một

đẳng cấu

d Hạng {e1,e2, ,en} ≥hạng {f(e1),f(e2), ,f(en)}

17 Chứng minh rằng phép lấy chuyển vị của ma trận:

A=(aij) m ì n →A’=(aji) n ì m

là một đẳng cấu giữa không gian các ma trận cấp mìn và khônggian các ma trận cấp nxm

18 Chứng minh các không gian sau là đẳng cấu với nhau

a Không gian các ma trận vuông đối xứng cấp nxn

b Không gian các ma trận tam giác trên cấp nxn

c Không gian các ma trận tam giác dới cấp nxn

Xây dựng đẳng cấu tuyến tính giữa các không gian đó

T×m mét c¬ së cña Im(gof) vµ mét c¬ së cña Ker(gof), gof cã lµ

21

g:M2x2 →D2x2 víi  + − 

++

c b d a d c

b a g

T×m mét c¬ së cña Im(gof) vµ mét c¬ së cña Ker(gof), gof cã lµtoµn cÊu kh«ng?

c b b a d c

b a f

g:D2x2→P2(t) víi

(a b) (b c)t (a 2b c)t2

c b

b a

HÖ ph¬ng tr×nh

x x

có một nghiệm cơ sở là u=(-2,1-1), vậy Ker(f)= L{u} vàdim(Kerf)=1

b dim(Im f)=3, c.s của Im f là một cơ sở bất kỳ của R3.Kerf={θ}, f là tự đẳng cấu

c A=(2 -3 5) c.s Im(f):(2) c.s Ker(f):

12

21

1,

2 Ker(f)={θ}

412

121

1 Ker(f)={θ}

112

121

1Ker(f)={θ}

0221

2121

0111

1112

một cơ sở của Ker(f) là (-1 0 1 1)

13

52

1 c.s Ker(f):

5,33

5,02

5,01

121

221

121

1

221

52

1

013

111

02

00

10

20

01

00

00

00

00

00

00

00

200020

020002

01

01

10

10

1002

0020

2000

0210

1002

0204

1020

0102

11

01

11

r(A)=2 vậy dim(Imf)=2, dim(Kerf)=2

Im(f)=L{1+t ,-1+t}={(a-b)+(a+b)ta,b∈R}

Vì hai cột đầu là hai cột cơ sở nên để tìm các véc tơ cơ sở củaKer(f) ta đi giải các hệ:

Với k=3 chọn x3=-1, x4=0 đợc hệ:

2 1

x x

x x

=

−2

0

2 1

2 1

x x

x x

100

010

001

101

110

011

101

110

011

1110

1001

, r(A)=3, f lµ toµn ¸nh dim(Imf)=3,mét c¬ së cña Im f lµ 3 cét ®Çu cña ma trËn A dim(Kerf)=1, métc¬ së cña Ke rf lµ: x(t)=1+t2+t3

, r(A)=2, f là toàn ánh dim(Im f)=2.dim(Kerf)=1, một cơ sở của Im f là {1+t+t2}

210

000

000

Vậy trên các cơ sở {1,t,t2,t3} và cơ sở chính tắc của các matrận cấp 2x3 ánh xạ f có ma trận:

1000

0100

0021

0010

0001

0

10

210

000

000

001

010

100

, r(A)=3, f là đơn cấu, dim(Im f)=3 một

00,







10

10,







10

01 Kerf={θ}

01

1

100

, r(A)=3, f là song ánh





 −01

10

00 vậy ma trậncủa f là A =(1 −1 0), r(A)=1, f là toàn cấu Cơ sở của Im

10

10

01, vậy ma trận của

011

100

, r(A)=2, f không đơn cấu , không toàn

cấu dim(Im f)=2, một cơ sở của Im f là







10

10

01,dim(Kerf)=1, một cơ sở của Kerf là {1-t}

10

00

00

0

0011

0100

, r(A)=3, f là toàn cấu

dim(Kerf)=1, một cơ sở của Kerf là







00

11

0

011

1

110

0

, r(A)=2, dim(Im f), một cơ sở của Im f là

{t,1+t+t2} dim(Kerf)=2, một c.s của Kerf là

11

01

0100

10

, f

0001

00

1010

00

1001

0010

, r(A)=3, vËy f lµ toµn ¸nh

0

100

1

001

0

10

1

01

1

01

0

10

1

01

1302

1211

2111

r(A)=2, dim(imf)=2, vµ mét c¬ së cña im(f) lµ

HÖ ph¬ng tr×nh

1211

2111

01

31

13

vì hai hàng bất kỳ của B đều là hàng cơ sở nên có thể bổ xunghai véc tơ bất kỳ trong hệ chính tắc của R4 vào {ξ1, ξ2} để đợc cơ

sở của R4, và mọi ảnh của cặp véc tơ bổ xung đều là cơ sở củaIm(f), đó là hai véc tơ cột bất kỳ của A

10 a Giả sử dim(Imf ∩ kerg)=k và Imf ∩ kerg có một cơ sở

y∈ker(g.f) ⇒ g.(f(y))=θ ⇒ f(y)∈Ker(g)

Do f(y) cũng thuộc Im(f) ⇒f(y)∈Im(f)∩Ker(g)

Vậy dim(Ker(g.f))=s+k =dimKerf+dim(Imf∩Kerg)

b Vì Im(f)∩Ker(g)⊆Ker(g)

c r(gof)=dim(E)-dim(Ker(gof))=

là ma trận cấp nì(n+1) Vì r(A)=dim(Pn-1(t))=n,dim(Pn(t))=n+1, f là toàn cấu nhng không là đơn cấu.

12 Ma trận của f là:

Trên cơ sở {1,t, ,tn} của Pn(t) và cơ sở {t-1,(t-1)t, ,(t-1)tn-1}của P(t-1)n(t) f có ma trận:

0

200

0

010

1+

n+1 =(0,0, 0,0, ,

1

1+

0

02

10

0

001

0

000

0

0

0110

0

0

0010

0

0

0001

1

1

0000

1

1

0000

011000

001000

000110

000011

000001

≤

++

≤

⇔

)()()(

)()()(

f r g f r g r

g r g f r f r