Áp Dụng Công Thức Moa-vrơ để Tính Căn Bậc N Của Số Phức

• Home
• Forums New posts Search forums
• Lớp 12 Vật Lí 12
• What's new Featured content New posts New profile posts Latest activity
• Members Current visitors New profile posts Search profile posts

Đăng nhập Có gì mới? Tìm kiếm

Tìm kiếm

Everywhere Threads This forum This thread Chỉ tìm trong tiêu đề Note By: Search Tìm nâng cao…

• New posts
• Search forums

Menu Đăng nhập Install the app Install How to install the app on iOS

Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen.

Note: This feature may not be available in some browsers.

• Home
• Forums
• Toán Học
• Đại Số
• Chủ đề 4. SỐ PHỨC
• Bài 1. Các dạng toán liên quan đến số phức

You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. Áp dụng công thức Moa-vrơ để tính căn bậc n của số phức

• Thread starter Thread starter Tăng Giáp
• Ngày gửi Ngày gửi 6/12/18

Tăng Giáp

Administrator

Thành viên BQT Phương pháp 1. Tính căn bậc hai của số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^2} = z$. + Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ + Với $z \ne 0$ và $z = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )$ với $r > 0.$ Đặt $w = R(c{\rm{os}}\theta + i \sin \theta )$ với $R > 0$ thì: ${{\rm{w}}^2} = z$ ⇔ ${R^2}(c{\rm{os}}2\theta + i \sin 2\theta ) = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^2} = r\\ 2\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt r \\ \theta = \frac{\varphi }{2} + k\pi , k \in Z \end{array} \right.$ Từ đó suy ra: Số phức $z = r(c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi )$ có $2$ căn bậc hai là: ${{\rm{w}}_1} = \sqrt r \left( {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right)$ và ${{\rm{w}}_2} = \sqrt r \left( {c{\rm{os}}\left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right) + i \sin \left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right)} \right)$ $ = – \sqrt r \left( {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right).$ 2. Tính căn bậc $n$ của số phức Căn bậc $n$ của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^n} = z$. Với $z \ne 0$ và $z = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )$ với $r > 0.$ Đặt $w = R(c{\rm{os}}\theta + i \sin \theta )$ với $R > 0$ thì: ${{\rm{w}}^n} = z \Leftrightarrow {R^n}(c{\rm{osn}}\theta + i {\mathop{\rm sinn}\nolimits} \theta )$ $ = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^n} = r\\ n\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt[n]{r}\\ \theta = \frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n}, k \in Z \end{array} \right.$ Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$ ta được $n$ căn bậc $n$ của $z$ là: ${w_1} = \sqrt[n]{r}\left( {\cos \frac{\varphi }{n} + i\sin \frac{\varphi }{n}} \right).$ ${w_2}$ = $\sqrt[n]{r}\left( {\cos \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right) + i\sin \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right)} \right).$ ….. ${w_n}$ = $\sqrt[n]{r}(\cos \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi (n – 1)}}{n}} \right)$ $ + i\sin \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi (n – 1)}}{n}} \right)).$ Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác ${\rm{w}} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$ Ta có $w = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}.$ Đặt $z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$ với $r > 0$ là một căn bậc hai của $w$, ta có: ${z^2} = w$ ⇔ ${r^2}\left( {\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi } \right)$ $ = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ 2\varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ \varphi = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z \end{array} \right.$ Vậy $w$ có hai căn bậc hai là: ${z_1} = \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}$ và ${z_2} = \cos \frac{{7\pi }}{6} + i\sin \frac{{7\pi }}{6}.$ Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác: $w = – 1 + i\sqrt 3 .$ Ta có: $w = – 1 + i\sqrt 3 = 2\left( { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right).$ Suy ra $w$ có môđun $R = 2$ và một acgumen $\theta = \frac{{2\pi }}{3}.$ Do đó, căn bậc ba của $w$ là số phức $z$ có: môđun $r = \sqrt[3]{2}$ và một acgumen $\phi = \frac{\theta }{3} + \frac{{k2\pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in Z.$ Lấy $k = 0,1,2$ thì $\varphi $ có ba giá trị: ${\varphi _1} = \frac{{2\pi }}{9}$, ${\varphi _2} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{8\pi }}{9}$, ${\varphi _3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{14\pi }}{9}.$ Vậy $w = – 1 + i\sqrt 3 $ có $3$ căn bậc ba là: ${z_1} = \sqrt[3]{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{9} + i\sin \frac{{2\pi }}{9}} \right)$, ${z_2} = \sqrt[3]{2}\left( {\cos \frac{{8\pi }}{9} + i\sin \frac{{8\pi }}{9}} \right)$, ${z_3} = \sqrt[3]{2}\left( {\cos \frac{{14\pi }}{9} + i\sin \frac{{14\pi }}{9}} \right).$ Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác: $w = i.$ Ta có: $w = i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ có môđun $R = 1$ và một acgumen $\theta = \frac{\pi }{2}.$ Suy ra căn bậc bốn của $w$ là số phức $z$ có: môđun $r = 1$ và một acgumen $\varphi = \frac{\theta }{4} + \frac{{k2\pi }}{4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z.$ Lấy $k = 0,1,2,3$ ta có $4$ giá trị của $\varphi$: ${\varphi _1} = \frac{\pi }{8}$, ${\varphi _2} = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{8}$, ${\varphi _3} = \frac{\pi }{8} + \pi = \frac{{9\pi }}{8}$, ${\varphi _4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{13\pi }}{8}.$ You must log in or register to reply here. Share: Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

Trending content

• Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.'
  • Tăng Giáp
  • 8/12/18
  Trả lời: 0
• H Thread 'Cực đại và cực tiểu của hàm số'
  • Huy Hoàng
  • 22/2/16
  Trả lời: 179
• Thread 'Công thức giải nhanh vật lý phần dao động cơ'
  • Tăng Giáp
  • 10/4/15
  Trả lời: 6
• Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp'
  • Minh Toán
  • 10/11/17
  Trả lời: 148
• Thread 'Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát'
  • Tăng Giáp
  • 7/12/18
  Trả lời: 1
• Thread 'SỰ ĐỒNG BIẾN ,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ'
  • Doremon
  • 4/12/14
  Trả lời: 165
• V Thread 'Bài 3. Chuyển động thẳng biến đổi đều'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 172
• Thread 'Các bước khảo sát hàm bậc nhất trên bậc nhất'
  • Doremon
  • 3/12/14
  Trả lời: 6
• Thread 'Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân'
  • Tăng Giáp
  • 5/10/17
  Trả lời: 18
• Thread 'Dạng 1: Mối liên hệ giữa λ, v, f, T'
  • Doremon
  • 29/9/14
  Trả lời: 0

Latest posts

• Sóng dừng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Giao Thoa Sóng Cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Sóng điện từ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Bài 22: Sóng điện từ
• Sóng ngang. Sóng dọc. Sự truyền năng lượng của sóng cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Mô tả sóng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Dao động tắt dần - dao động cưỡng bức
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Động năng. Thế năng. Sự chuyển hoá năng lượng trong dao động điều hoà
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Bài 5. Điện thế
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Bài 6. Tụ Điện
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường

Members online

No members online now. Total: 22 (members: 0, guests: 22)

Share this page

Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

• Home
• Forums
• Toán Học
• Đại Số
• Chủ đề 4. SỐ PHỨC
• Bài 1. Các dạng toán liên quan đến số phức

Back Top