Áp Dụng Cung Chứa Góc Giải Các Bài Toán Về Quỹ Tích Và Dựng Hình

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Quỹ tích những điểm nhìn AB cố định dưới một góc không đổi $\alpha $ (0 < $\alpha $ < 180$^{\circ}$) là hai cung chứa góc $\alpha $ vẽ trên đoạn AB (quỹ tích cơ bản)

Trường hợp đặc biệt: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

Khái niệm cung chứa góc giúp chúng ta hiểu được nhiều bài toán quỹ tích, dựng hình, chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn.

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp)các điểm M thoả mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

– Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.

– Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.

– Kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.

Ví dụ : Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC của đường tròn (O) (A khác B, A khác C). Tia phân giác của $\widehat{ACB}$ cắt đường tròn (O) tại điểm D khác điểm C. Lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại điểm K khác điểm B.

a) Chứng minh $\Delta $AKC cân.

b) Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua một điểm J cố định.

c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AC. Tìm quỹ tích các điểm M khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O).

Hướng dẫn:

a) Ta có $\widehat{DBK}=\frac{1}{2}$(số đo cung DA + số đo cung AK )

$\widehat{DIB}=\frac{1}{2}$(số đo cung BD + số đo cung KC)

Vì số đo cung BD = số đo cung DA và $\Delta $DBI cân tại D nên số đo cung KC = số đo cung AK

$\Rightarrow $ AK = CK

Hay $\Delta $KAC cân tại K (đpcm)

b) Từ kết quả câu a, ta thấy I là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta $ABC nên đường thẳng AI luôn đi qua điểm J (điểm chính giữa của cung BC không chứa A). Rõ ràng là điểm J cố định.

c) Phần thuận:

$\Delta $AMC cân tại A, nên $\widehat{BMC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$. Giả sử số đo $\widehat{BAC}$ là 2a (không đổi) thì A di động trên cung lớn BC thì M thuộc cung chứa góc a dựng trên đoạn BC về phía điểm O.

Phần đảo:

Tiếp tuyến Bx với đường tròn (O) cắt cung chứa góc a vẽ trên đoạn BC tại điểm X. Lấy điểm M bất kì trên cung CX (một phần cung chứa góc a và vẽ trên đoạn BC, M khác X và M khác C)

Nếu MB cắt đường tròn (O) tại A thì rõ ràng A thuộc cung lớn BC của đường tròn (O).

Vì $\widehat{BAC}$ = 2a, $\widehat{AMC}$ = a suy ra $\Delta $AMC cân tại A hay AC = AM.

Kết luận: Quỹ tích các điểm M là cung CX,một phần của cung chứa góc a vẽ trên đoạn BC về phía O trừ hai điểm C và X