Bài 1: Bất đăng Thức Và Chứng Minh Bất đẳng Thức

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 10: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Giải Toán Lớp 10
• Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 10
• Sách Giáo Viên Đại Số Lớp 10
• Sách giáo khoa đại số 10
• Sách giáo khoa hình học 10
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 10
• Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao
• Sách Giáo Viên Đại Số Lớp 10 Nâng Cao
• Sách giáo khoa hình học 10 nâng cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 10 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Đại Số Lớp 10
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 10
• Sách Bài Tập Đại Số Lớp 10 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 10 Nâng Cao

Sách giải toán 10 Bài 1: Bất đăng thức và chứng minh bất đẳng thức (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 1 (trang 109 sgk Đại Số 10 nâng cao): Chứng minh rằng nếu a > b và ab > 0 thì 1/a < 1/b

Lời giải:

Nếu a > b và ab > 0 ta suy ra b < a và 1/(a.b) > 0

Ta có : 1 : a = 1 : ( a.b) x b < 1 : (a.b) x a = 1 : b hay 1 :a < 1 : b

Bài 2 (trang 109 sgk Đại Số 10 nâng cao): Chứng minh rằng nửa chu vi của tam giác lớn hơn mỗi cạnh của tam giác đó.

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b. Gọi p là nửa chu vi tam giác, ta có p = ( a + b + c) : 2 .Ta chỉ cần chứng minh cho p > a, các bất đẳng thức còn lại chứng minh tương tự. Thật vậy : a < p ⇔ a < (a + b + c) : 2 ⇔ (b + c – a) : 2 > 0. Vì trong tam giác tổng hai cạnh bất kì luôn lớn hơn cạnh kia nên b + c > a ⇔ b + c- a > 0 hay ( b + c – a) : 2 > 0 là bất đẳng thức đúng, suy ra p > a là đúng.

Bài 3 (trang 109 sgk Đại Số 10 nâng cao): Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca với mọi các số thực a, b, c. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c. Giải

Lời giải:

a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca ⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca ⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 > 0 bất đẳng thức này là đúng nên bất đắng thức ban đầu là đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a – b)2 = 0 và (b – c)2 = 0 và (c – a)2 = 0 ⇔ a = b = c.

Bài 4 (trang 109 sgk Đại Số 10 nâng cao): Hãy so sánh các số sau đây:

a) √(2000) + √(2005) và √(2002) + √(2003) (không dùng bảng số hoặc máy tính).

b) √(a+ 2 )+ √(a+ 4) và √a+ √(a + 6) (a > 0).

Lời giải:

Ta sẽ chứng minh √(2000) + √(2005) < √(2002) + √(2003) (*)

Thât vậy (*) ⇔

⇔ 2000 + 2005 + 2 √(2000.2005) < 2002 + 2003 + 2 √(2002.2003)

⇔ √(2000.2005) < √(2002.2003)

⇔ 2000 . 2005 < 2002 . 2003 ⇔ 4010000 < 4010006 là bất. đẳng thức đúng nên (*) đúng,

b)Ta sẽ chứng minh √(a+ 2 )+ √(a+ 4) và √a+ √(a + 6) (a > 0).

Thật vậy (**) ⇔ 2a + 6 + 2 √(a + 2)( a + 4) > 2a + 6 + 2 √[a(a + 6)]

⇔ √(a2 + 6a + 8) > √(a2 + 6a) ⇔ 8 > 0 bất đẳng thức này hiển nhiên đúng, nên (**) đúng

Bài 5 (trang 109 sgk Đại Số 10 nâng cao): Chứng minh rằng , nếu a > 0, b > 0 thì 1/a + 1/b ≥ 4/(a + b)

Lời giải:

Với a > 0, b > 0 ta có 1/a + 1/b ≥ 4/(a + b)

⇔ (a + b)/(a.b) ≥ 4/(a + b)

⇔ (a + b)2 ≥ 4ab ⇔ (a – b)2 ≥ 0

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng ⇒ Bất đẳng thức đã cho là đúng . Dấu bằng xảy ra khi a = b > 0

Bài 6 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): Chứng minh rằng nếu a > 0 và b > 0 thì a3 + b3 > ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?

Lời giải:

Ta có a3 + b3 > ab(a + b)

⇔ (a + b)(a2 -2ab + b2) > 0

⇔ (a + b)(a – b)2 > 0.

Vì (a – b)2 ≥ 0 nên nếu a ≥ 0, b ≥ 0 thì :

(a + b)(a – b)2 ≥ 0 là bất đẳng thức đúng.

Nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì (a + b)(a – b)2 = 0

⇔ a + b = 0 hoặc a – b = 0 ⇔ a = b.

Bài 7 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): Chứng minh rằng a2 + ab + b2 ≥ 0 với mọi số thực a, b.

Lời giải:

Sử dụng đẳng thức a2 + ab + b2 = (a + 1/2.b)2 + 3/4.b2 hoặc a2 + ab + b2 = (b + 1/2.a)2 + 3/4.a2 ta có được điều phải chứng minh

Bài 8 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): Chứng minh rằng nếu a, b và c là độ dài ba cạnh một tam giác thì a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

Lời giải:

Không mất tính tổng quát ta giả sử c < b < a. Khi đó

0 < a -b < c nên (a – b)2 < c2, suy ra a2 + b2 < c2 + 2ab

0 < b – c < a nên (b – c)2 < a2, suy ra b2 + c2 < a2 + 2bc

0 < a – c < b nên (a – c)2 < b2, suy ra a2 + c2 < b2 + 2ac

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta đi đến bất đẳng thức cần chứng minh

Bài 9 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): Chứng minh rằng nếu a ≥ 0, b ≥ 0 thì

Lời giải:

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

a3 + ab2 + a2b + b3 ≤ 2a3 + 2b3 ⇔ a3 – ab2 – a2b + b3 > 0

⇔ (a – b)(a2 – b2) > 0 ⇔ (a – b)2(a + b) > 0.

Vì a > 0, b > 0 và (a – b)2 > 0 nên bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng.

Vì vậy bất đẳng thức ban đầu là đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bài 10 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): Chứng minh rằng với hai số a, b, tùy ý, ta có:

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải:

(1) | a – b|(1 + |a| + |b| + |ab|) ≤ (|a| + |ab|)(1 + |a – b| + (|b| + |ab|)(1 + |a – b|)

⇔ |a – b| + |a(a – b)| + |b(a – b)| + |ab||a – b| ≤ |b(a – b)| + 2|ab| + 2|ab||a – b| + |a(a – b)| + |b(a – b)|

⇔ |a – b| ≤ |a| + |b| + 2|ab| + |ab(a – b)| (2)

Ta có : |a – b| = |a + (-b)| ≤ |a| + |-b| = |a| + |b|

Do vậy (2) hiển nhiên đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra ở (1) ⇔ dấu đẳng thức xảy ra ở (2)

⇔ |a – b| = |a| + |b| và 2|ab| + |ab( a – b)| = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0

Bài 11 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): Chứng minh rằng :

a)Nếu a, b là hai số cùng dấu thì a/b + b/a ≥ 2

b)Nếu a, b là hai số trái dấu thì a/b + b/a ≤ -2

Lời giải:

a) Vì a, b cùng dấu nên a/b > 0, b/a > 0. Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng của hai số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng ta có :

Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a/b = b/a ⇔ a2 = b2 ⇔ a = b (vì a, b cùng dấu).

b)a, b trái dấu nên –a, b cùng dấu. Áp dụng câu a) ta có :

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = -b ( vì a, b trái dấu)

Bài 12 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) với -3 ≤ x ≤ 5

Lời giải:

Vì x ∈ [-3; 5] nên x + 3 > 0 và 5 – x > 0. Khi đó ta có:

4 = ( x + 3 + 5 – x) : 2 ≥ √[(x + 3)( 5 – x)]

⇔ 16 ≥ (x + 3)(5 –x) = f(x)

Từ bất đẳng thức trên suy ra f(x) lớn nhất bằng 16 khi và chỉ khi x + 3 = -x + 5 và x ∈ [-3; 5] ⇔ x = 1.

Ta có f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [-3; 5].

Mặt khác f(-3) = f(5) = 0 nên giá trị bé nhất của f(x) là 0 khi và chỉ khi x = -3 hoặc x = 5.

Bài 13 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + 2/(x – 1) với x > 1.

Lời giải:

Ta viết f(x) = (x – 1) + 2/(x – 1) + 1

Vì x > 0 nên x – 1 > 0, do đó 2/(x – 1) > 0 nên

(x – 1) + 2/(x – 1) ≥ 2 √[(x – 1).2/(x – 1)] = 2 √2

⇒f(x) ≥ 2 √2 + 1 ⇒ giá trị bé nhất của f(x) là 2 √2 + 1 khi và chỉ khi x – 1 = 2/(x – 1) và x > 1 ⇔ x = 1 + √2

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Action: Post ID: Post Nonce: ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ Processing your rating... Đánh giá trung bình {{avgRating}} / 5. Số lượt đánh giá: {{voteCount}} {{successMsg}} {{#errorMsg}} {{.}} {{/errorMsg}} There was an error rating this post!

Đánh giá trung bình 5 / 5. Số lượt đánh giá: 1071

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.