Bài 1. Định Nghĩa Và ý Nghĩa Của đạo Hàm - Củng Cố Kiến Thức

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

* Vận tốc tức thời

Giới hạn hữu hạn (nếu có)

$\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s\left( t \right) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$

Được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm ${t_0}$.

* Cường độ tức thời

Giới hạn hữu hạn (nếu có)

$\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$

Được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm ${t_0}$.

2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$.

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ và kí hiệu là $f'\left( {{x_0}} \right)$ (hoặc $y'\left( {{x_0}} \right)$), tức là:

$f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc:

- Bước 1: Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại${x_0}$, tính:

$\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$.

- Bước 2: Lập tỉ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

- Bước 3: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

* Định lí 1

Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại ${x_0}$ thì nó liên tục tại điểm đó.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

* Định lí 2

Đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến ${M_0}T$ của (C) tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$.

* Định lí 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là:

$y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)$

Trong đó ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$.

6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a) Vận tốc tức thời

$v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right)$

b) Cường độ tức thời

$I\left( {{t_0}} \right) = Q'\left( {{t_0}} \right)$

II. Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là đạo hàm trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó, ta gọi hàm số

$\begin{array}{l} f':\left( {a;b} \right) \to R\\ x \mapsto f'\left( x \right) \end{array}$