Bài 1. Hệ Tọa độ Trong Không Gian - Củng Cố Kiến Thức

I. Tọa độ của điểm và của vectơ

1. Hệ tọa độ

Trong không gian, ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi $\overrightarrow {i,} \overrightarrow {j,} \overrightarrow k $ với $\overrightarrow {i}(1;0;0),$ $\overrightarrow {j}(0;1;0),$ $\overrightarrow {k}(0;0;1)$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. Hệ ba trục này được gọi là hệ tọa độ Oxyz.

Trong đó:

- O là gốc tọa độ.

- Các mặt phẳng (Oxy, Oyz, Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

- Không gian với hệ tọa độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz.

Vì $\overrightarrow {i,} \overrightarrow {j,} \overrightarrow k $ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:

$\overrightarrow {{i^2},} \overrightarrow {{j^2},} \overrightarrow {{k^2}} = 1$

Và $\overrightarrow i .\overrightarrow j = \overrightarrow j .\overrightarrow k = \overrightarrow k .\overrightarrow i = 0$.

2. Tọa độ của một điểm

$\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow {i} + y\overrightarrow {j} + z\overrightarrow k $

Gọi bộ ba số (x ; y ; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz, được viết: $M = \left( {x;y;z} \right)$ hoặc $M\left( {x;y;z} \right)$.

3. Tọa độ của vectơ

Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OM} $. Ta có:

$M = \left( {x;y;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {x;y;z} \right)$

II. Biểu thức tọa độ của phép toán vectơ

Định lí

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)$. Ta có:

a) $\vec a + \overrightarrow b = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2};{a_3} + {b_3}} \right)$.

b) $\vec a - \overrightarrow b = \left( {{a_1} - {b_1};{a_2} - {b_2};{a_3} - {b_3}} \right)$.

c) $k\vec a = k\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right) = \left( {k{a_1};k{a_2};k{a_3}} \right)$ với k là một số thực.

Hệ quả

a) Cho vectơ $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)$.

Ta có:

$\vec a = \overrightarrow b = \left\{ \begin{array}{l} {a_1} = {b_1}\\ {a_2} = {b_2}\\ {a_3} = {b_3} \end{array} \right.$

b) Vectơ $\overrightarrow 0 $ có tọa độ là $\left( {0;0;0} \right)$.

c) Với $\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 $ thì hai vectơ ${\vec a}$ và $\overrightarrow b $ cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho: ${a_1} = k{b_1},{a_2} = k{b_2},{a_3} = k{b_3}$.

d) Trong không gian Oxyz, nếu cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$ thì:

* $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \left( {{x_A} - {x_B};{y_A} - {y_B};{z_A} - {z_B}} \right)$

* Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

$M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$.

III. Tích vô hướng

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định lí

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)$ được xác định bởi công thức:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} + {a_3}.{b_3}$

2. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} $

b) Khoảng cách giữa hai điểm: $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} $

c) Góc giữa hai vectơ: $\cos \varphi = \cos \left( {\vec a,\overrightarrow b } \right) = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2} }}$.

IV. Phương trình mặt cầu

Định lí

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ bán kính r có phương trình là:

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {r^2}$