Bài 1. Khái Niệm Về Mặt Tròn Xoay - Củng Cố Kiến Thức

I. Sự tạo thành mặt tròn xoay

Xung quanh chúng ta có nhiều vật thể mà mặt ngoài có hình dạng là những mặt tròn xoay như bình hoa, nón lá, cái bát ăn cơm, một số chi tiết máy... Nhờ sự khéo léo của đôi bàn tay trên chiếc bàn xoay, người thợ gốm có thể tạo nên những vật dụng có dạng tròn xoay bằng đất xét. Dựa vào sự quay tròn của trục máy tiện, người thợ cơ khí có thể tạo nên những chi tiết máy bằng kim loại có dạng tròn xoay.

Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $\Delta $ và một đường C . Khi quay mặt phẳng(P) quanh $\Delta $ một góc 360o thì mỗi điểm M trên đường Cvạch ra một đường tròn có tâm O thuộc $\Delta $và nằm trên mặt phẳng vuông góc với $\Delta $. Như vậy, khi quay mặt phẳng(P) quanh $\Delta $ thì đường Csẽ tạo nên một hình được gọi là mặt tròn xoay.Đường Cđược gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó. Đường thẳng $\Delta $ được gọi là trục của mặt tròn xoay.

II. Mặt nón tròn xoay

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và $\Delta $ cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc $\beta ,{0^o} < \beta < {90^o}$. Khi quay mặtphẳng (P) xung quanh $\Delta $ thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O. Người ta gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng $\Delta $ gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh và góc $2\beta $ gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó.

2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay

- $OI$ là mặt đáy của hình nón.

- $O$ là đỉnh của hình nón.

- Độ dài đoạn $OI$ là chiều cao của hình nón.

- Độ dài đoạn $OM$ là độ dài đường sinh của hình nón.

- Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh $OM$ khi quay trục $OI$ gọi là mặt xung quanh của hình nón.

* Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó.

3. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

${S_{xq}} = \frac{1}{2}pq$

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng một nửa tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.

${S_{xq}} = \pi rl$

4. Thể tích khối nón tròn xoay

Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

$V = \frac{1}{3}Bh$

III. Mặt trụ tròn xoay

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng $\Delta $ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh $\Delta $ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay là mặt trụ. Đường thẳng $\Delta $ gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.

2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay

- Độ dài CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.

- Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay trục AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

- Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.

* Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó.

3. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

${S_{xq}} = ph$

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay bằng tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.

${S_{xq}} = 2\pi rl$

4. Thể tích khối trụ tròn xoay

Thể tích của khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

$V = Bh$