Bài 1: Kiểm định Giả Thuyết Về Giá Trị Trung Bình

Toggle navigation

• Giới thiệu
• Hướng dẫn
• Menu 1
  • A
  • B
• Menu 2
  • A
  • B

Bài 1: Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình 1 nhận xét Giả sử biến ngẫu nhiên $X$ có phân bố chuẩn nhưng ta chưa biết kỳ vọng $\Bbb E(X)=\mu$ của $X.$ Nếu có cơ sở để giả thiết rằng giá trị của nó bằng $\mu_0,$ ta đưa ra giả thuyết thống kê $H_0: \mu=\mu_0.$ Trường hợp $1$: Biết phương sai $\sigma^2$ hay biết độ lệch tiêu chuẩn $\sigma.$ Với mức ý nghĩa $\alpha$ cho trước, ta xây dựng miền bác bỏ phụ thuộc vào giả thuyết đối $H_1$ như sau: Bài toán $1$: $H_0: \mu=\mu_0;\;H_1: \mu\neq\mu_0.$ Miền bác bỏ $$W_\alpha=(-\infty; -u_{\frac{\alpha}{2}}]\cup [u_{\frac{\alpha}{2}}, +\infty).$$ Bài toán $2$: $H_0: \mu=\mu_0;\;H_1: \mu > \mu_0.$ Miền bác bỏ $$W_\alpha=[u_{\alpha}; +\infty).$$ Bài toán $2$: $H_0: \mu=\mu_0;\;H_1: \mu < \mu_0.$ Miền bác bỏ $$W_\alpha=(-\infty; -u_{\alpha}].$$ Giá trị quan sát $$u_{\text{qs}}=\displaystyle\frac{(\overline{x}-\mu_0)\sqrt{n}}{\sigma}.$$ Ta xét xem $u_{\text{qs}}$ có thuộc miền bác bỏ $W_\alpha$ không để kết luận: $\bullet$ Nếu $u_{\text{qs}}\in W_\alpha$ thì ta bác bỏ $H_0$, thừa nhận $H_1.$ $\bullet$ Nếu $u_{\text{qs}}\notin W_\alpha$ thì chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết $H_0,$ tức là chưa có cơ sở để thừa nhận giả thuyết $H_1.$ Ví dụ 1: Trọng lượng sản phẩm do nhà máy sản xuất ra là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với độ lệch chuẩn $2$ kg, trọng lượng trung bình theo quy định là $50$ kg. Nghi ngờ máy hoạt động không bình thường làm thay đổi trọng lượng trung bình của sản phẩm, người ta cân thử $100$ sản phẩm và thu được kết quả sau: \begin{array}{| c| c| c| c| c| c| }\hline \text{Trọng lượng sản phẩm}\; & 49 & 50 & 51 & 52 & 53\\ \hline \text{Số sản phẩm tương ứng}\; & 10 & 60 & 20 & 5 & 5\\ \hline \end{array} Với mức ý nghĩa $\alpha=0,05$, hãy kết luận về điều nghi ngờ nói trên. Lời giải: Ta lập bảng \begin{array}{| c| c| c| }\hline x_i & r_i & r_ix_i\\ \hline \hline 49 & 10 & 490\\ \hline 50 & 60 & 3000\\ \hline 51 & 20 & 1020\\ \hline 52 & 5 & 260\\ \hline 53 & 5 & 265\\ \hline \sum & 100 & 5035\\ \hline \end{array} Do đó $\overline{x}=\displaystyle\frac{5035}{100}=50,35.$ Ta kiểm định giả thuyết $H_0: \mu=50;\;H_1: \mu\neq 50.$ Ta có $\displaystyle\frac{\alpha}{2}=\displaystyle\frac{0,05}{2}=0,025.$ Tra bảng ta được $u_{\frac{\alpha}{2}}=1,96.$ Miền bác bỏ \begin{equation}\notag \begin{aligned} W_\alpha&=(-\infty; -u_{\frac{\alpha}{2}}]\cup [u_{\frac{\alpha}{2}}, +\infty)\\ &=(-\infty; -1,96]\cup [1,96; +\infty). \end{aligned} \end{equation} Giá trị quan sát \begin{equation}\notag \begin{aligned} u_{\text{qs}}&=\displaystyle\frac{(\overline{x}-\mu_0)\sqrt{n}}{\sigma}\\ &=\displaystyle\frac{(50,35-50)\sqrt{100}}{2}\\ &=1,75. \end{aligned} \end{equation} Ta thấy $u_{\text{qs}}\notin W_\alpha,$ vậy chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết $H_0,$ tức là chưa có cơ sở thừa nhận giả thuyết $H_1: \mu\neq 50.$ Vậy điều nghi ngờ là sai. Trường hợp $2$: $n\geq 30,$ phương sai chưa biết Trong trường hợp này thì miền bác bỏ $W_\alpha$ và quy tắc kiểm định y hệt như trường hợp $1$, chỉ khác ở chổ giá trị quan sát được tính theo công thức $$u_{\text{qs}}=\displaystyle\frac{(\overline{x}-\mu_0)\sqrt{n}}{s}.$$ Ví dụ 2: Lượng nước sạch (tính theo $m^3$) một gia đình $4$ người ở Hà Nội sử dụng trong $6$ tháng năm ngoái là $17m^3$. Theo dõi lượng nước sạch sử dụng trong $6$ tháng năm nay của $60$ gia đình $4$ người thu được số liệu sau:

\begin{array}{| c| c| c| c| c| c| }\hline \text{Lượng nước sạch}\; & 15-16 & 16-17 & 17-18 & 18-19 & 19-20\\ \hline \text{Số gia đình}\; & 7 & 15 & 21 & 12 & 5\\ \hline \end{array}

Giả sử lượng nước sạch tiêu thụ của các hộ gia đình là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn. a) Hãy ước lượng bằng khoảng tin cậy lượng nước sạch trung bình của các hộ sử dụng trong $6$ tháng năm nay với độ tin cậy $95\%.$ b) Có ý kiến cho rằng lượng nước tiêu thụ năm nay tăng lên. Sử dụng bảng số liệu trên hãy kiểm định ý kiến đó với mức ý nghĩa $2,5\%.$ Lời giải: Thực hiện phép đổi biến $u_i=\displaystyle\frac{x_i^0-17,5}{1}$ với $x_0=17,5$ và $h=1.$ Ta có bảng tính sau: \begin{array}{| c| c| c| c| c| c| }\hline x_i-x_{i+1} & x_i^0 & r_i & u_i & r_iu_i & r_iu_i^2\\ \hline \hline 15-16 & 15,5 & 7 & -2 & -14 & 28\\ \hline 16-17 & 16,5 & 15 & -1 & -15 & 15\\ \hline 17-18 & 17,5 & 21 & 0 & 0 & 0\\ \hline 18-19 & 18,5 & 12 & 1 & 12 & 12\\ \hline 19-20 & 19,5 & 5 & 2 & 10 & 20\\ \hline \hline \sum & & n=60 & & -7 & 75\\ \hline \end{array} Ta có \begin{equation}\notag \begin{aligned} \overline{u}&=\displaystyle\frac{-7}{60}=-0,12,\\ \overline{x}&=x_0+h\overline{u}=17,5+1\times (-0,12)=17,38,\\ s_u^2&=\displaystyle\frac{1}{59}\Big(75-\displaystyle\frac{(-7)^2}{60}\Big)=\displaystyle\frac{4451}{3540},\\ s^2&=h^2s_u^2=1^2\times\displaystyle\frac{4451}{3540}=\displaystyle\frac{4451}{3540},\\ s&=\sqrt{\displaystyle\frac{4451}{3540}}\approx 1,12. \end{aligned} \end{equation} Độ tin cậy $95\%,$ suy ra $1-\alpha=0,95$ hay $\alpha=0,05.$ Khi đó $\displaystyle\frac{\alpha}{2}=0,025$. Do đó $u_{\frac{\alpha}{2}}=1,96.$ Độ chính xác của ước lượng $$\varepsilon=u_{\frac{\alpha}{2}}\displaystyle\frac{s}{\sqrt{n}}=1,96\times\displaystyle\frac{1,12}{\sqrt{60}}\approx 0,28.$$ Khoảng tin cậy của lượng nước sạch trung bình của các hộ sử dụng trong $6$ tháng năm nay \begin{equation}\notag \begin{aligned} (\overline{x}-\varepsilon, \overline{x}+\varepsilon)&=(17,38-0,28; 17,38+0,28)\\ &=(17,1; 17,66). \end{aligned} \end{equation} b) Ta kiểm định giả thuyết $H_0: \mu=17;\;H_1: \mu>17.$ Ta có $\alpha=0,025$, do đó $u_\alpha=1,96.$ Miền bác bỏ \begin{equation}\notag \begin{aligned} W_\alpha&=[u_{\alpha}; +\infty)\\ &=[1,96; +\infty). \end{aligned} \end{equation} Giá trị quan sát $$u_{\text{qs}}=\displaystyle\frac{(\overline{x}-\mu_0)\sqrt{n}}{s}=\displaystyle\frac{(17,38-17)\sqrt{60}}{1,12}\approx 2,63.$$ Ta thấy $u_{\text{qs}}\in W_\alpha$, vậy ta bác bỏ $H_0,$ thừa nhận $H_1.$ Vậy lượng nước tiêu thụ năm nay tăng lên. Trường hợp $3$: $n\mu_0.$ Miền bác bỏ $$W_\alpha=[t_{\alpha}(n-1); +\infty).$$ Bài toán $3$: $H_0: \mu=\mu_0;\;H_1: \mu