Bài 1. Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và đường Cao Trong Tam Giác Vuông

Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Xét tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = a, các cạnh góc vuông AC = b và AB = c. Gọi AH = h là đường cao ứng với cạnh huyền và CH = b’, BH = c’ lần lượt là hình chiếu của AC, AB trên cạnh huyền BC (h.1)

Hình 1

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h1.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.

Định lý 1.

Cụ thể, trong tam giác ABC vuông tại A (h.1), ta có: b2 = ab’; c2 = ac’ (1)

Chứng minh (h.1)

Xét hai tam giác vuông AHC và BAC. Hai tam giác vuông này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau. Do đó: , suy ra AC2 = BC.HC, tức là: b2 = a.b’. Tương tự, ta có: c2 = a.c’.

Ví dụ 1. (Định lý pitago – một hệ quả của định lý 1).

Rõ ràng, trong tam giác vuông ABC (h.1), cạnh huyền a = b’ + c’, do đó: b2 + c2 = ab’ + ac’ = a(b’ + c’) = a.a = a2.

Như vậy, từ định lý 1, ta cũng suy ra định lý Py-ta-go.

2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao

Định lý 2.

Cụ thể, với các quy ước ở hình 1, ta có:

h2 = b’.c’ (2)

?1 Xét hình 1. Chứng minh ΔAHB đồng dạng với ΔCHA. Từ đó suy ra hệ thức (2).

Ví dụ 2. Tính chiều cao của cây trong hình 2, biết rằng người đo đứng cách cây 2, 25m và khoảng cách từ mắt người đo đến mặt đất là 1, 5 .

Giải. Ta có: tam giác ADC vuông tại D, ta có:

BD2 = AB . BC

Tức là: (2,25)2 = 1,5 . BC

Suy ra: .

Vậy chiều cao của cây là: AC = AB + BC = 1,5 + 3, 375 = 4, 875 (m).

Hình 2

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h2.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Định lý 2 thiết lập mối quan hệ giữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền của một tam giác vuông. Định lý 3 dưới đây thiết lập mối quan hệ giữa đường cao này với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông.

Định lý 3.

Với các kí hiệu trong hình 1, kết luận của định lý 3 có nghĩa là:

bc = ah. (3)

Từ công thức tính diện tích tam giác, ta nhanh chóng suy ra hệ thức (3). Tuy nhiên, có thể chứng minh hệ thức (3) bằng cách khác.

?2

Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) bằng tam giác đồng dạng.

Nhờ định lý Pi-ta-go, từ hệ thức (3), ta có thể suy ra một hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông. Thật vậy, ta có

Hệ thức (4) được phát biểu thành định lý sau đây.

Định lý 4

Ví dụ 3.Cho tam giác vuông trong đó các cạnh góc vuông dài 6 cm và 8 cm. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông.

Giải. (h.3)

Gọi đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông của tam giá này là h. Theo hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông, ta có:

Hình 3

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h3.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Chú ý: Trong các ví dụ và các bài tập tính toán bằng số của chương này, các số đo độ dài ở mỗi nếu không ghi đơn vị ta quy ước là cùng đơn vị đo.

Có thể em chưa biết?

Các hệ thức b2 = ab’; c2 = ac’ (1) và h2 = b’.c’ (2) (xem hình 1) còn được phát biểu dựa vào khái niệm trung bình nhân.

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Tương tự, hệ thức (2) được phát biểu như sau:

Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền là trung bình nhân của hai đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Bài tập

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau:

1. (h4a, b)

Hình 4a

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h4a.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Hình 4b

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h4b.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

2. (h.5)

Hình 5

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h5.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

3. (h.6)

Hình 6

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h6.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

4. (h.7)

Hình 7

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h7.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Luyện tập

5. Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3, 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn mà nó định ra trên cạnh huyền.

6. Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

7. Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2 = ab) như trong hai hình sau:

Cách 1 (h.8)

Hình 8

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h8.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Cách 2 (h.9)

Hình 9

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h9.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Bài 8. Tìm x và y trong mỗi hình sau:

a. (h.10)

Hình 10

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h10.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

b. (h.11)

Hình 11

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h11.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

c. (h.12)

Hình 12

Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h12.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

9. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

a. Tam giác DIL là một tam giác cân;

b. Tổng không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Schoolnet