Bài 2.3: Biến Ngẫu Nhiên Liên Tục - Diễn đàn Toán Học

Trang chủ » Cho Bnn Liên Tục X Với Hàm Mật độ Xác Suất » Bài 2.3: Biến Ngẫu Nhiên Liên Tục - Diễn đàn Toán Học

Có thể bạn quan tâm

1) Khái niệm biến ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa 

Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu hàm phân bố xác suất của nó có đạo hàm, trong trường hợp này ta gọi f(x)=F'(x),\;x\in\Bbb R là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X.

2) Tính chất của hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục

Hàm mật độ xác suất f(x) của biến ngẫu nhiên liên tục X có các tính chất sau đây:

a) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) thì

\begin{cases} f(x)\geqslant 0,\;x\in\Bbb R\\ \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=1.\end{cases}

b) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân bố xác suất F(x), hàm mật độ xác suất f(x) thì

F(t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{t} f(x)dx,\;t\in\Bbb R.

c) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân bố xác suất F(x) và hàm mật độ xác suất f(x) thì với mọi a<b ta có

     \Bbb P(a< X<b)=\Bbb P(a\leqslant X\leqslant b)

=\Bbb P(a< X\leqslant b)

=\Bbb P(a\leqslant X<b)

=\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x)dx.

Ví dụ 1

Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất

f(x)=\begin{cases} kx^2(2-x)\text{ khi } 0\leqslant x\leqslant 2,\\ 0\text{ khi } x\notin [0; 2].\end{cases}

a) Tìm hằng số k.

b) Tính xác suất \Bbb P(1<X<3).

Lời giải

a) Ta có

         \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{2}^{+\infty}f(x)dx

=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}0dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{2}kx^2(2-x)dx+\displaystyle\int\limits_{2}^{+\infty}0dx

=0+k\displaystyle\int\limits_{0}^{2}x^2(2-x) dx+0

=\displaystyle\frac{4k}{3}.

Theo tính chất của hàm mật độ xác suất

\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1.

Do đó \displaystyle\frac{4k}{3}=1 hay k=\displaystyle\frac{3}{4}.

b) Ta có

    \Bbb P(1<X<3)=\displaystyle\int\limits_{1}^{3}f(x)dx

=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{2}^{3}f(x)dx

=k\displaystyle\int\limits_{1}^{2}x^2(2-x)dx+\displaystyle\int\limits_{2}^{3}0dx

=\displaystyle\frac{11k}{12}+0

=\displaystyle\frac{3}{4}\times \displaystyle\frac{11}{12}

=\displaystyle\frac{11}{16}.

Vậy \Bbb P(1<X<3)=\displaystyle\frac{11}{16}

Ví dụ 2

Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất

f(x)=\begin{cases} 0\text{ khi } x<0,\\ \displaystyle\frac{6x}{5}\text{ khi } 0\leqslant x\leqslant 1,\\ \displaystyle\frac{6}{5x^4}\text{ khi } x>1.\end{cases}

Tìm hàm phân bố xác suất của X.

Lời giải

Khi t< 0 thì

F(t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{t} f(x)dx=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{t}0dx=0.

Khi 0\leqslant t\leqslant 1 thì

F(t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{t}f(x)dx

=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}f(x)dx

=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0}0dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\displaystyle\frac{6x}{5}dx

=0+\Big(\displaystyle\frac{3x^2}{5}\Big)\Bigg|_{0}^{t}

=\displaystyle\frac{3t^2}{5}.

Khi 1< t thì

       F(t)=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{t} f(x)dx

=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0} f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{1} f(x)dx+\displaystyle\int\limits_{1}^{t} f(x)dx

=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{0} 0dx+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{6x}{5}dx+\displaystyle\int\limits_{1}^{t}\displaystyle\frac{6}{5x^4}dx

=0+\Big(\displaystyle\frac{3x^2}{5}\Big)\Bigg|_{0}^{1}+\Big(\displaystyle\frac{-2}{5x^3}\Big)\Bigg|_{1}^{t}

=1- \displaystyle\frac{2}{5t^3}.

Vậy

F(t)=\begin{cases} 0\text{ khi } t<0,\\ \displaystyle\frac{3t^2}{5}\text{ khi } 0\leqslant t\leqslant 1,\\ 1-\displaystyle\frac{2}{5t^3}\text{ khi } t>1.\end{cases}

Hay viết theo biến x

F(x)=\begin{cases} 0\text{ khi } x<0,\\ \displaystyle\frac{3x^2}{5}\text{ khi } 0\leqslant x\leqslant 1,\\ 1-\displaystyle\frac{2}{5x^3}\text{ khi } x>1.\end{cases}

Chia sẻ:

  • X
  • Facebook
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Cho Bnn Liên Tục X Với Hàm Mật độ Xác Suất