Bài 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Chủ đề 4. SỐ PHỨC > Bài 1. Các dạng toán liên quan đến số phức > Bài 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Thảo luận trong 'Bài 1. Các dạng toán liên quan đến số phức' bắt đầu bởi Doremon, 6/12/14.

1. 

   Doremon Moderator Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 29/9/14 Bài viết: 1,299 Đã được thích: 210 Điểm thành tích: 63 Giới tính: Nam

   I. LÝ THUYẾT 1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w, mỗi số phức z = a + bi thoả ${z^2}$= w được gọi là căn bậc hai của w.

   • w là số thực: w = $a \in R$
   • a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
   • a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt a $ và - $\sqrt a $
   • a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt {\left| a \right|} .i$ và – $\sqrt {\left| a \right|} .i$
   • w là số phức: w = a + bi (a, b $ \in R$, b ¹ 0) và z = x + y.i là 1 căn bậc hai của w khi ${z^2} = w \Leftrightarrow {(x + yi)^2} = a + bi \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.$
   • Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
   • VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4i.

   ĐS: có 2 căn bậc hai của w là ${z_1}$= 1 + 2i, ${z_2}$= –1 – 2i. 2. Phương trình bậc hai: a) Phương trình bậc hai với hệ số a, b, c là số thực: $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0),\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta = {b^2} - 4ac$.

   • D ³ 0: Phương trình có 2 nghiệm thực ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$
   • D < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {|\Delta |} .i}}{{2a}}$

   VD: Giải phương trình ${x^3} + 8 = 0$ ĐS: Phương trình có 3 nghiệm ${x_1} = 1 + \sqrt 3 .i,\,\,\,\,{x_2} = 1 - \sqrt 3 .i,\,\,\,{x_3} = - 2$ b) Phương trình bậc hai với hệ số phức: $A{x^2} + Bx + C = 0\,\,(A \ne 0),\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta = {B^2} - 4AC,\,\,\Delta = a + bi$

   • Δ= 0: Phương trình có nghiệm kép $x = \frac{{ - B}}{{2A}}$
   • Δ¹ 0: Phương trình có 2 nghiệm ${x_{1,2}} = \frac{{ - B \pm \delta }}{{2A}}$ với $\delta $ là 1 căn bậc hai của D.

   VD: Giải phương trình: a) ${\rm{2}}{z^2} - iz + 1 = 0$; b) ${z^2} + (3 - 2i)z + 5 - 5i = 0$; Giải​a) ${\rm{2}}{z^2} - iz + 1 = 0$ có D = –1 – 8 = – 9 = ${(3i)^2}$. Phương trình có 2 nghiệm phức ${z_1} = \frac{{i + 3i}}{4} = i;\,{z_2} = \frac{{i - 3i}}{4} = - \frac{1}{2}i$ b) ${z^2} + (3 - 2i)z + 5 - 5i = 0$ có D = ${(3 - 2i)^2} - 4(5 - 5i) = 9 - 12i + 4{i^2} - 20 + 20i = - 15 + 8i$= ${(1 + 4i)^2}$ Phương trình có 2 nghiệm phức ${z_1} = \frac{{ - 3 + 2i + 1 + 4i}}{2} = - 1 + 3i$; ${z_2} = \frac{{ - 3 + 2i - 1 - 4i}}{2} = - 2 – i$ B. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Giải các phương trình sau trên tập phức: a) $ - 3{z^2} + 2z - 1 = 0$ b) $7{z^2} + 3z + 2 = 0$; c) $5{z^2} - 7z + 11 = 0$ Hướng dẫn​a) $\frac{{1 \pm i\sqrt 2 }}{3}$ b) $\frac{{ - 3 \pm i\sqrt {47} }}{{14}}$ c) $\frac{{7 \pm i\sqrt {171} }}{{10}}$ 2) Giải các phương trình sau trên tập phức: a) ${z^4} + {z^2} - 6 = 0$ b) b) ${z^4} + 7{z^2} + 10 = 0$ Hướng dẫn​a) $ \pm \sqrt 2 ;\, \pm i\sqrt 3 $ b) $ \pm i\sqrt 2 ;\,\, \pm i\sqrt 5 $ 3) Cho a, b, c Î R, a ¹ 0, ${z_1},\,{z_2}$ là hai nghiệm phương trình $a{z^2} + bz + c = 0$. Hãy tính ${z_1} + {z_2}$ và ${z_1}{z_2}$ theo các hệ số a, b, c. Hướng dẫn​${z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a};\,{z_1}{z_2} = \frac{c}{a}$ 4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, $\bar z$ làm nghiệm. Hướng dẫn​Phương trình ẩn x nhận z, $\bar z$ làm nghiệm nên có (x – z)(x –$\bar z$) = 0 ↔ ${x^2} - (z + \bar z)x + z\bar z = 0$. Với z + $\bar z$= 2a, z$\bar z$= ${a^2} + {b^2}$. Vậy phương trình đó là ${x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0$ 5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì $\left| z \right| = \sqrt {\left| w \right|} $ Hướng dẫn​z = a + bi là một căn bậc hai của w →${z^2} = w \Leftrightarrow \left| {{z^2}} \right| = \left| w \right| \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = \left| w \right| \Leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt {\left| w \right|} $ VD: $3 - 4i = {\left( {2 - i} \right)^2}$ tức z = 2 - i là một căn bậc hai của w = 3 – 4i thì $\left| z \right| = \sqrt {\left| w \right|} $ 6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau: a) ${z^2} = z + 1$ b) ${z^2} + 2z + 5 = 0$ c) ${z^2} + (1 - 3i)z - 2(1 + i) = 0$ Hướng dẫn:​a) ${z^2} - 2.z.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow z = \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}$ b) ${z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} = - 4 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} = {\left( {2i} \right)^2} \Leftrightarrow z + 1 = \pm 2i \Leftrightarrow z = - 1 \pm 2i$ c) $\Delta = {\left( {1 - 3i} \right)^2} + 8\left( {1 + i} \right) = 2i = {\left( {1 + i} \right)^2}$ Phương trình có hai nghiệm phức là ${z_1} = 2i;\,\,\,{z_2} = - 1 + i$. 7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không? Hướng dẫn​a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là ${z_{1,2}} = \frac{{ - B \pm \delta }}{{2A}}\,\,\left( {{\delta ^2} = \Delta = {B^2} - 4AC} \right)$ nên ${z_1} + {z_2} = - \frac{B}{A};\,\,\,{z_1}{z_2} = \frac{C}{A}$. b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình ${z^2} - \left( {4 - i} \right)z + 5\left( {1 - i} \right) = 0$ Có $\Delta = - 5 + 12i = {\left( {2 - 3i} \right)^2}$ nên hai số cần tìm là ${z_1} = 3 + i;\,\,{z_2} = 1 - 2i$. c) Phương trình ${z^2} + Bz + C = 0$ có hai nghiệm là $z = a + bi;\,\,\,\bar z = a - bi$ thì $B = - \left( {z + \bar z} \right) = - 2a$ là số thực và $C = z.\bar z = {a^2} + {b^2}$ là số thực. Điều ngược lại không đúng. 8) a) Giải phương trình sau: $\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0$ b) Tìm số phức B để phương trình ${z^2} + Bz + 3i = 0$ có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. Hướng dẫn​a) $\left( {{z^2} + i} \right){\left( {z - i} \right)^2} = 0$ có 3 nghiệm là $\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i;\,\,\,\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i;\,\,\,\,\,\,i$. b) Ta có ${z_1} + {z_2} = - B;\,\,\,{z_1}.{z_2} = 3i$ nên $\begin{array}{l} z_1^2 + z_2^2 = 8 \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2} = 8 \Leftrightarrow {B^2} - 6i = 8\\ \Leftrightarrow {B^2} = {\left( {3 + i} \right)^2} \Leftrightarrow B = \pm \left( {3 + i} \right) \end{array}$ 9) Tìm nghiệm của phương trình $z + \frac{1}{z} = k$ trong các trường hợp sau: a) k = 1; b) k = √2; c) k = 2i. Hướng dẫn​$z + \frac{1}{z} = k \Leftrightarrow {z^2} - kz + 1 = 0$ có 2 nghiệm ${z_{1,2}} = \frac{{k \pm \delta }}{2}\,\,\,\left( {{\delta ^2} = \Delta = {k^2} - 4} \right)$ a) k = 1 thì ${z_{1,2}} = \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,\,$ b) k = √2 thì ${z_{1,2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}i\,\,$ c) $k = 2i \Rightarrow {z_{1,2}} = \left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)i\,\,$ 10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau: a) ${z^3} + 1 = 0$; b) ${z^4} - 1 = 0$; c) ${z^4} + 4 = 0$; d) $8{z^4} + 8{z^3} = z + 1$ Hướng dẫn​a) ${z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z = - 1,\,\,\,z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i,\,\,z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$. b) ${z^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow {z^4} = 1 \Leftrightarrow {z^2} = \pm 1 \Leftrightarrow z = \pm 1\,,\,\,z = \pm i$ c) ${z^4} + 4 = 0 \Leftrightarrow {z^4} = - 4 \Leftrightarrow {z^2} = \pm 2i \Leftrightarrow z = \pm \left( {1 - i} \right),\,\,z = \pm \left( {1 + i} \right)$ d) $\left( {z + 1} \right)\left( {8{z^3} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {2z - 1} \right)\left( {4{z^2} + 2z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z = - 1,\,z = \frac{1}{2},\,z = - \frac{1}{4} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{4}i$

   Bài viết mới nhất

   • Giải nhanh số phức từ cơ bản tới nâng cao21/01/2019
   • Ứng dụng số phức giải toán khai triển, tính tổng nhị thức Niutơn06/12/2018
   • Tìm môđun và acgumen của số phức06/12/2018
   • Áp dụng công thức Moa-vrơ để tính căn bậc n của số phức06/12/2018
   • Viết số phức dưới dạng lượng giác06/12/2018
   Doremon, 6/12/14 #1

(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.) Show Ignored Content

Chia sẻ trang này

Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email: Mật khẩu: Bạn đã quên mật khẩu? Duy trì đăng nhập Đăng nhập

Thống kê diễn đàn

Đề tài thảo luận: 6,075 Bài viết: 12,740 Thành viên: 18,036 Thành viên mới nhất: DuyChien

Chủ đề mới nhất

• 314 bài tập vật lí hạt nhân... Tăng Giáp posted 8/2/26 lúc 08:49
• Giải chi tiết gần 300 bài tập... Tăng Giáp posted 30/1/26
• 82 Bài Tập Khí Lý Tưởng Vật Lí... Tăng Giáp posted 26/4/25
• [HOT] Đề Toán Thi Thử 2025... Tăng Giáp posted 10/4/25
• [8+] Phân tích bài thơ Đất nước... Tăng Giáp posted 6/8/20

Đang tải... Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Chủ đề 4. SỐ PHỨC > Bài 1. Các dạng toán liên quan đến số phức >