Bài 2: Dãy Số đơn điệu Và Phân Kỳ Ra Vô Cực

https://www.elib.vn/huong-dan/

1. Trang chủ
2. Hướng dẫn
3. Ôn thi
4. Môn học ĐHCĐ

Bài 2: Dãy số đơn điệu và phân kỳ ra vô cực (9) 177 lượt xem Share

Mời các bạn cùng eLib tham khảo nội dung bài giảng Bài 2: Dãy số đơn điệu và phân kỳ ra vô cực sau đây để tìm hiểu về định nghĩa và định lý của dãy số đơn điệu, phân kỳ ra vô cực.

Mục lục nội dung

1. Dãy số đơn điệu

1.1 Định nghĩa

1.2 Định lý

2. Dãy phân kỳ ra vô cực

2.1 Định nghĩa

2.2 Định nghĩa

2.3 Mệnh đề

1. Dãy số đơn điệu

1.1 Định nghĩa

i) Dãy {un} gọi là đơn điệu tăng nếu \({u_n} \le {u_{n + 1}},\forall n \in N \).

Bỏ dấu “=” ta có định nghĩa một dãy tăng nghiêm ngặt (nghiêm cách).

ii) Dãy {un} gọi là đơn điệu giảm nếu \({u_n} \ge {u_{n + 1}},\forall n \in N\)

Bỏ dấu “=” ta có định nghĩa một dãy giảm nghiêm ngặt.

iii) Dãy tăng hoặc giảm gọi chung là dãy đơn điệu.

1.2 Định lý:

i) Dãy tăng và bị chận trên thì hội tụ.

ii) Dãy giảm và bị chận dưới thì hội tụ.

Chứng minh: Đặt \(A = \left\{ {{u_n}/n \in N} \right\} \subset R\)

i) {un} bị chận trên ⇒ A bị chận trên. Theo tính chất được sắp hoàn chỉnh ta có : sup A tồn tại.

Ta sẽ chứng minh {un} → sup A.

Với \(\varepsilon > 0\) cho trước, theo tính chất của sup thì

\(\exists N:\sup A - \varepsilon < {u_N} \le \sup A\)

Vì {un} tăng nên \(sup A - \varepsilon < {u_N} \le {u_n},\forall n > N\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sup A - {u_n} < \varepsilon ,\forall n > N\\ \Rightarrow \left| {{u_n} - {\mathop{\rm supA}\nolimits} } \right| < \varepsilon ,\forall n > N \end{array}\)

(vì \(\left| {{u_n} - {\mathop{\rm supA}\nolimits} } \right| = \left| {\sup A - {u_n}} \right| = \sup A - {u_n}\))

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = \sup A\)

Tương tự {un} giảm và bị chận dưới thì hội tụ về infA.

Ví dụ 1: Xét dãy số {un} với \({u_n} = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\)

Chứng minh: {un} hội tụ.

Giải: Ta có \({u_{n + 1}} = \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right){u_n} \le {u_n},\forall n \in {N^*}\)

⇒ {un} giảm và \({u_n} > 0,\forall n \in {N^*}\)

Vậy {un} giảm và bị chận dưới bởi 0 nên {un} hội tụ.

Ví dụ 2: Cho dãy số {un} với = \({u_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}\)

Chứng minh {un} hội tụ và tìm giới hạn của {un}.

Giải

Ta có: \({u_n} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 - \frac{1}{{{2^n}}} < 1,\forall n\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} > {u_n},\forall n\)

⇒ {un} tăng và bị chặn trên bởi 1 ⇒ {un} hội tụ

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) = 1\)

2. Dãy phân kỳ ra \(\infty\).

2.1 Định nghĩa:

Dãy số không hội tụ gọi là dãy số phân kỳ.

Ví dụ: {un} với {un} =(-1)n là một dãy phân kỳ.

2.2 Định nghĩa:

i) Dãy {un} gọi là phân kỳ ra \(+\infty\) nếu tính chất sau thỏa:

“\(\forall A > 0\) cho trước, \(\exists N:n > N \Rightarrow {u_n} > A\)”

ii) Dãy {un} gọi là phân kỳ ra \(-\infty\) nếu tính chất sau thỏa:

“\(\forall A > 0\) cho trước, \(\exists N:n > N \Rightarrow {u_n} < -A\)”

• Nếu dãy {un} phân kỳ ra \(+\infty\), ta viết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n} = + \infty \) hay \({u_n} \to + \infty\)

• Nếu dãy {un} phân kỳ ra \(-\infty\), ta viết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n} = - \infty \) hay \({u_n} \to - \infty\)

Nhận xét: Định nghĩa trên giống định nghĩa sự hội tụ về a của dãy, trong đó thay \(\varepsilon > 0\) bằng A > 0 và \(\left| {{u_n} - a} \right| < \varepsilon\) bằng un > A (hoặc un < -A).

2.3 Mệnh đề

Giả sử {un} tăng và {vn} giảm thỏa:

\(\left\{ \begin{array}{l} {u_n} \le {v_n},\forall n \in N\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = 0\,(*) \end{array} \right. \)

thì {un} và {vn} hội tụ về cùng một giới hạn.

Chứng minh:

Ta có \({u_n} \le {v_n} \le {v_1},\forall n\)

⇒ {un} bị chận trên bởi v1 (và un tăng)

⇒ {un} hội tụ về x1.

\({v_n} \ge {u_n} \ge {u_1},\forall n \)

⇒ {vn} giảm và bị chận dưới bởi u1

⇒ {vn} hội tụ về x2.

\( \Rightarrow {x_1} - {x_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {u_n} - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } ({u_n} - {v_n}) = 0\,\,do\,\,(*)\)

\( \Rightarrow {x_1} = {x_2} \)

Trên đây là nội dung bài giảng Bài 2: Dãy số đơn điệu và phân kỳ ra vô cực được eLib tổng hợp lại nhằm giúp các bạn sinh viên có thêm tư liệu tham khảo. Hy vọng đây sẽ là tư liệu giúp các bạn nắm bắt nội dung bài học dễ dàng hơn.

• Tham khảo thêm

• doc Bài 1: Khái niệm và Sự hội tụ của dãy số
• doc Bài 3: Vài dãy số đặc biệt và dãy Cauchy

(9) 177 lượt xem Share Ngày:25/11/2020 Chia sẻ bởi:An TẢI VỀ XEM ONLINE Đại học Dãy số thực Toán cao cấp đại học

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM

• Đối tượng và lớp (class) trong Java
• Lịch sử và tổng quan về ngôn ngữ Java
• Chương trình Java đầu tiên Hello World
• Cài đặt môi trường và thiết lập Path trong Java
• Cú pháp Java cơ bản
• Giới thiệu JDK, JRE và JVM trong Java
• Các kiểu biến trong Java
• Kiểu dữ liệu trong Java
• Toán tử trong Java
• Các loại vòng lặp trong Java

Toán cao cấp

Chương 0: Tập hợp - Ánh xạ

• 1 Bài 1: Tập hợp
• 2 Bài 2: Ánh xạ

Chương 1: Số thực

• 1 Bài 1: Số thực

Chương 2: Dãy số thực

• 1 Bài 1: Khái niệm và Sự hội tụ của dãy số
• 2 Bài 2: Dãy số đơn điệu và phân kỳ ra vô cực
• 3 Bài 3: Vài dãy số đặc biệt và dãy Cauchy

Chương 3: Giới hạn của hàm số một biến

• 1 Bài 1: Khái niệm và giới hạn hữu hạn của hàm số
• 2 Bài 2: Giới hạn vô cực của hàm số và giới hạn thông thường, các đại lượng tương đương

Chương 4: Hàm số liên tục

• 1 Bài 1: Hàm số liên tục

Chương 5: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến

• 1 Bài 1: Đạo hàm
• 2 Bài 2: Vi phân - Khái niệm, định lý, qui tắc, đạo hàm
• 3 Bài 3: Vi phân - Công thức Taylor
• 4 Bài 4: Vài ứng dụng của đạo hàm và vi phân

Chương 6: Tích phân bất định

• 1 Bài 1: Tích phân bất định - Nguyên hàm, Tích phân bất định
• 2 Bài 2: Tích phân bất định - Tích phân các hàm hữu tỉ, biểu thức có chứa căn

Chương 7: Tích phân xác định

• 1 Bài 1: Tích phân xác định - Khái niệm, điều kiện, tính chất của tích phân xác định
• 2 Bài 2: Tích phân xác định - Tích phân xác định, Tích phân suy rộng

Chương 8: Hàm nhiều biến

• 1 Bài 1: Hàm nhiều biến - Khái niệm hàm nhiều biến
• 2 Bài 2: Hàm nhiều biến - Cực trị hàm nhiều biến

Chương 9: Phương trình vi phân

• 1 Bài 1: Phương trình vi phân cấp I
• 2 Bài 2: Phương trình vi phân cấp II

Chương 10: Ứng dụng vào kinh tế

• 1 Bài 1: Ứng dụng vào kinh tế - Kí hiệu, khái niệm, ví dụ
• 2 Bài 2: Ứng dụng vào kinh tế - Cực trị ràng buộc

Đề thi kết thúc môn Toán cao cấp

• 1 Ngân hàng câu hỏi ôn tập môn Toán cao cấp
• 2 Đề thi kết thúc học phần môn Toán cao cấp

Tài liệu tham khảo

• 1 Giáo trình môn Toán cao cấp
• 2 Bài giảng môn Toán cao cấp
• 3 Những cuốn sách hay về Toán cao cấp nên đọc qua một lần

Thông báo

× Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này Bỏ qua Đăng nhập ATNETWORK ATNETWORK ×