Bài 2: Hai đường Thẳng Vuông Góc - Tìm đáp án, Giải Bài Tập, để Học

1. Góc giữa hai vectơ

Cho \(\vec u\) và \(\vec v\) là hai vectơ trong không gian. Từ một điểm A bất kì vẽ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v\). Khi đó ta gọi góc \(\widehat {BAC}(0 \le \widehat {BAC} \le {180^0})\) là góc giữa hai vecto vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\), kí hiệu là \(\left ( \vec u ;\vec v \right )\). Ta có: \(\left ( \vec u ;\vec v \right )=\widehat {BAC}\).

2. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) đều khác vectơ-không là một số được kí hiệu là \(\vec u .\vec v\) xác dịnh bởi:

\(\vec u.\vec v = \left| {\vec u} \right|.\left| {\vec v} \right|.\cos (\overrightarrow u .\vec v)\)

Nếu \(\vec u= \vec0\) hoặc \(\vec v= \vec0\) thì ta quy ước

\(\vec u.\vec v=0.\)

b) Tính chất tích vô hướng của hai vectơ

Với ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c\) trong không gian và với mọi số k ta có:

• \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a\) (tính chất giao hoán).
• \(\overrightarrow a (\overrightarrow b + \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c\) (tính chất phân phối).
• \((k.\overrightarrow a ).\overrightarrow b = k.(\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \overrightarrow a .k\overrightarrow b .\)
• \({\overrightarrow a ^2} \ge 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0.\)

c) Ứng dụng của tích vô hướng

Xác định góc giữa hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) bằng \(\cos (\overrightarrow u .\vec v)\) theo công thức:

\(\cos (\overrightarrow u .\vec v) = \frac{{\vec u.\vec v}}{{\left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|}}\)

3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ \(\overrightarrow a\) song song hoặc trùng với đường thẳng d.

Nếu \(\overrightarrow a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ \(k\overrightarrow a\) với \(k \ne 0\) cũng là một vectơ chỉ phương của d.

Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định được nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a\) của d.

4. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song với a và b.

5. Hai đường thẳng vuông góc

a) Định nghĩa

Hai đường thẳng a và b gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.

Ta kí hiệu là: \(b \bot a\) hoặc \(a \bot b.\)

b) Tính chất

• Nếu \(\vec u\) và \(\vec v\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: \(a \bot b \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = 0.\)
• Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
• Hai đường thẳng vuông góc nhau thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

6. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} .\)

c) \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\).

Hướng dẫn giải:

a) Vì EG // AC nên góc giữa

\(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG}\) cũng bằng góc giữa

\(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {AC}\)

Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {EG} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {45^0}.\)

b) Vì AB // DG nên góc giữa \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\) cũng bằng góc giữa \(\overrightarrow {DC}\) và \(\overrightarrow {DH}\)

Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right) = {45^0}.\)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có \(\widehat {{\rm{ASB}}} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}.\)

Chứng minh rằng: \(SA \bot BC, SB\bot AC, SC \bot AB.\)

Hướng dẫn giải:

Xét các tích vô hướng:

\(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} .\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .(\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} )\\ = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \end{array}\\ \begin{array}{l} = \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\cos \widehat {CSA}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\, - \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SB} } \right|\cos \widehat {ASB} \end{array} \end{array}\)

Theo giá thuyết: \(\left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right|\)

Và: \(\cos \widehat {CSA} = \cos \widehat {ASB} \Rightarrow \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0\)

Vậy: \(SA \bot BC.\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(SB\bot AC, SC \bot AB.\)

Ví dụ 3:

Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ}\)

Và: \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ}\)

Do đó: \(2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}\)

Vậy: \(2.\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right).\overrightarrow {AB}\)

\(= \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AB} = 0\)

Hay \(\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = 0\) Tức là: \(PQ \bot AB.\)

Ví dụ 4:

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}.\).

a) Chứng minh rằng AB vuông góc CD.

b) Nếu I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \(AB \bot IJ.\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \end{array}\\ \begin{array}{l} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos BAD\\ \,\,\,\, - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos BAC \end{array} \end{array}\)

Mặt khác ta có:

\(AB = AC = AD,\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\)

Do đó:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos BAD\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos BAC = 0 \end{array}\)

Vậy AB vuông góc với CD.

b) Do I, J là trung điểm của AB và CD nên ta có: \(\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\)

Do đó:

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right) \end{array}\\ \begin{array}{l} = \frac{1}{2}(\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|\cos {60^0} - {\overrightarrow {AB} ^2}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|\cos {60^0}) \end{array}\\ { = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}{a^2} - {a^2} + \frac{1}{2}{a^2}} \right) = 0} \end{array}\)

Vậy AB và IJ vuông góc nhau.